CHAPITRE XI

DE LA VALEUR ^ EN PRIMES ANNUELLES ^ DES ANNUITES DIFFEREES j DES ANNUITÉS EN REVERSION ET DES ASSURANCES.

564. Dans tous les cas d'annuités difFërëes mentionnés au problème I, corollaire 5, et dans les corollaires des problèmes suivans, aussi bien que dans toutes les questions d'assurances, j'en ai déduit les valeurs en un paiement ionique; mais on a souvent besoin de determiner ces valeurs en primes annuelles. Je vais exposer maintenant la manière dont se fait cette conversion.

Dans le cas des annuités différées reposant sur un groupe quelconque de têtes ABC, la valeur en un seul paiement est, d'après le problème I, corollaire 3, désignée par {ABCy. Mais si celui qui achète cette annuité désire en acquitter le prix en paiemens annuels égaux , payables pendant le temps dont est différée l'annuité (i), ces paiemens égaux

(i) Cette prime annuelle cessant toutefois d'être payable si les têtes proposées s'éteignent avant l'expiration de ce délai.

doivent être tels que leur valeur totale actuelle soît égale au paiement unique cité plus haut, ou , en d'autres termes , il paiera au lieu de cette somme une annuité équivalente pendant l'espace désigné.

565. Représentons par p la prime annuelle demandée, et la valeur d'une annuité temporaire sur les têtes données , c'est-a-dire d'une annuité qui doit durer jusqu'à l'époque où l'annuité différée commence, par (ABCy : alors, puisque la valeur de l'annuité différée, ou {ABC^y doit être payée par paiemens annuels égaux pendant l'espace dont est différée la jouissance de cette annuité (ces paiemens devant cesser d'ailleurs si l'une des têtes données s'éteignait dans cette période) il est évident que la somme ou la valeur de ces paiemens sera égale à la valeur d'une annuité temporaire sur les têtes données et pendant l'espace désigné , et dont la quotité annuelle serait/?; c'est-à-dire,

p[ABCy=:{JBCy.

Cette équation n'a lieu cependant que dans la supposition où le premier paiement annuel n'est effectué qu'a la fin de la première année, et continue de l'être à la fin de chacune des années suivantes, jusqu'à l'expiration du délai. Mais cette supposition n'est jamais ou presque jamais exacte; et la manière la plus commune, sinon la manière invariable dont se paie cette prime, est que le premier paiement en soit eftectué immédiatement et les autres au corn--

( 3^1 ) mencement de chacune des aunées suivantes; de sorte que le nombre de primes soit égal au nombre d'années dont est différée l'annuité. Donc, puisque le paiement qui, dans le cas précédent, est effectué à la fin du délai, l'est maintenant au commencement, nous devons ajouter l'unité à la valeur d'une annuitépayable pendant un an de moins que le délai fixé; et cette quantité multipliée par le montant de la prime a^nnuelle sera égale à la valeur de l'annuité différée. Conséquemment la formule deviendra , dans ce cas ,

p[i+ {JBCy-^] = {ABCV; donc

^ i-i-iABCy-^ ' d'où la règle suivante :

^ 366. Divisez la valeur de l'annuité diffè'rée par l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité temporaire sur les mêmes têtes pour un an de moins que le délai fixé, le quotient sera la prime annuelle demandée.

Voyez, pour l'application de cette règle, le scolie de la question VI dans le chapitre XII.

567. La même règle s'appliquera au cas des annuités différées, payables jusqu'au dernier décès de deux ou plusieurs têtes (vojez problème II, corollaire 2). Car si l'on représente par L la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes, alors la valeur d'une semblable annuité

différée sera representee par U^ et la valeur d'une semblable annuité temporaire pendant un an de moins que le délai fixé sera représentée par Z'""'. Donc, d'après ce qui a été dit plus haut, nous aurons