CHAPITRE V

1>B8 ANNUITÉS BN REVERSION Qtl BÉPEl^BENT D'UN OADAIE PARTICUUEA BE SURVIViUffGB.

143. Au nombre des questions d'antiiiités en re version qui n'eiïibrasàent pa$ plus de trois téte&;< qui sont exposées dans le scolie du n" 76 , il s'c trouve deux qui impliquent souvent une circon tance à laquelle il est très difficile d'avoir égard d'ui manière précise et exacte dans les formules algébr ques. Ce sont la seconde et la troisième de ces quei tions, et la circonstance dont nous parlons ici est qi l'une des deux têtes en particulier, P ou Q, nieu avant ou après l'autre.

Comme les raisonnemens qui conduisent à la s( lution de ces deux questions seront d'une impo tance considérable dans la suite de cet ouvrag< je consacrerai un chapitre entier à Texamen de sujet. La solution de ces problèmes eux-mêmes co duira à quelques antres questions sur les survivaoc qui y devant être appuyées sur les premiers , n'ont ] trouver place dans le chapitre précédent.

144. Au lieu des têtes A, P, Q, dont je me si servi dans le scolie cité plus haut, prenons les tel A , B , C , et supposons que B et C soient les têtes

possession et A la tête en reversion. La valeur d'une auQuité en réversion sur la tête A après le grâupe BC est égale à ^ •— ABC; mais si A ne doit jouir de l'annuité que si B meurt le premier, il est évident que cette restriction réduira considérablement là va-^ leur de l'annuité.

Quand les deux têtes en possession ont le même âge , ou à peu de chose près , il y a chance égale pour chacune d'elles de mourir avant ou après l'autre; mais comme il n'en est pas toujours ainsi ^ il serait extrêmement à désirer que Ton put obtenir une expression propre à Tusage général qui donnât cette probabilité pour chaque année de la vie humaine, puisque l'espérance qu'on a de recevoir la reate de chaque année dépend de cette probabi- Kté. Malheureusement «elle ne peut être représentée fiar tme quantité constante qu'après l'extinction de la plus âgée dés deux têtes; Car la chance de survivance varie d'année en année jusqu a cette époque r et même alors nous ne pouvons en trouver la valeur que par approximation. Quand la différence d'âge des têtes en possession n'est pas grande ^ on ne coniittelHtrapas une erreur sensible, comme je l'ai observé tout à l'heure , en supposant qu'il y ait chance égale pour chacune des deux têtes de mourir avant ou aprè^ 1 autre, pendant la durée possible (i) de leur existence

(i) On doit entendre par durée paisible , la plus grande dntéç possible de Texistenoe des têtes proposées. Quand il > agit d'une tête seule , cette durée est le nombre d'années compris entré son âge et la limite de la table d'observations.

( 90 simultanée; mais quand cette différence est considé' rable ^ on ne saurait opérer ainsi sans inexactitude. Passé ce terme , cependant, la chance demandée peut y dans tous les cas^ être appréciée d une manière assez correcte. Mais ayant de discuter les problèmes qui résultent de cette question, il sera nécessaire d'exposer les deux lemmes suivans.