LEMME I
145. Déterminer la probabilité que de deux têtes données A et B ^ l'une en particulier  ^ a de mourir as^ant l'autre.
SOLUTION
U est évident que cette circçnstance peut se réaliser dans une année quelconque^ i*". ou par la mort de A dans cette année , B n'ayant pas cessé d'exister ^ 2*. ou par l'extinction des deux têtes dans cette année , A étant mort le premier. La probabilité du premier' événement est , pour la première année ^ d'après \o^
n"24 et 25, ^ ^ rî ^* ^^ probabilité du secoua
Quand il s'agit d'un groupe de têtes ou de l'existence simultané^ ou du premier décès de plusieurs têtes (toutes ces expresûot^ ont la même signification), cette durée possible est le nombiT^ d'années compris entre l'âge de la plus vieille des têtes prc^ posées et la limite de la table d'observations ; enfin , quand ^ s'agit du dernier décès de plusieurs têtes , cette durée possibf^ est le nombre d'années compris entre l'âge de la plus jeun.^ des têtes proposées et la Limite des tables. {Note du traducteurs^
(93) événement est , pour le même laps de temps , ^ ^
X — 7 — - X - (i) - la somme de ces deux valeurs oa ^^ ^^ — -^ ' sera la valeur totale de la proba-
(i) Dans le calcul de toutes ces probabilités annuelles, j'ai supposé que la chance que A a de mourir avant B soit toujours égale à { , quelle que soit la différence d'âge ; cette supposition ne devient vraiment exacte que qiland les deuit têtes ont le même âge ; mais comme dans la discussion qui nous occupe je n'ai tenu compte de cette chance que pour chaque année isolée, et que d'ailleurs, dans la pratique , les autres quantités avec lesquelles elle se combine corrigent une grande partie de l'erreur qui résulte de cette supposition , il Serait inutile de rendre la solution plus compliquée et plus difficile pour obtenir un plus grand degré d'exactitude. On Verra cependant, d'après cette remarque, que le résultat ob^ ^enu ne donne la valeur demandée que par approximation ; Pliais il approche de plus en plus de la véritable valeur à mesure que l'on continue la série.
Quand  est la plus jeune des deux tètes, la fraction } ex-
^ède la chance que A a de mourir avant B , et par conséquent,
la valeur de 4/ , trouvée au moyen du lemme , excédera la
Vraie valeur de la probabilité que A a de mourir avant B , dans
^ne période quelconque de leur existence simultanée. D'uu
^utre côté, quand A est la plus vieille des deux têtes, la
chance que A a de mourir avant B est supérieure à ^- , et par
conséquent 4 ^^^^ dans ce c^ moindre que la vraie valeur de
la probabilité que A a de mourir avant B ,. dans le même lapus
de temps. On pourra d'ailleurs , dans les cas particuliers qu'on
^ura à résoudre , prendre en considération la différence d'âge
des têtes proposées, quand elle se trouvera trop sensible.
proposées > comme nous l'ayons fait pour trouyer la yaleur numérique des annuités ( voyez prob. I, cor. 2} Cette méthode abr^e considérablement ropératiim nécessaire pour trouyer la probabilité de suryiyance entre deux autres têtes ^ dont les âges auraient la même différence que ceux des têtes proposées; car les derniers termes de la série seront les mêmes dans les deux cas.
147. Exemple. Soit proposé de trouver la probabilité que la tête A a de mourir avant la tête B , plus âgée de 10 ans; en se servant des tables générales de Suède. Lie tableau suivant indiquera l'opération à faire pour trouver ces valeurs pour des kgcs q^elconques.
Age de A.
etc.
Age deB.
.etc.
PROBABmiTÉ DE PRÉDÉCÈS DE LA TETE À.
axi44
x[45x( 04- iH-35]
xC55x( 5+ a):t-45x( a-l- 1)4.36]
^x,,^3 - ^ x[65x(ii-h 5)+55x( 54- a)-l-45x( a-f. iH^] ■
!ixai'x3h4 ^^^^^^^"^"^'^^^^"''*' ^+^5x( 54- 3>fetc.] i73jy^>?[84x(334-ai)4-75x(îii4'iî)4^x(ii4* SyheUJ[ ,y^j^^ xiqox (47+33)+84x(33-|.»i)+75 x(ai+ii)+ei;.]^
ete.
etc.
etc.
»fc -»■
( 97 ) On voit d'après ces exemples que la probabilité 'une tête de 80 ans a mourir avant une autre tête ée de 90 ans, est exprimé par la fraction 0,2999, certitude étant prise pour unité , et si les deux têtes aient 82 et 92 ans, la probabilité serait exprimée ir 0,2477* On verra aussi en examinant la série de raies qui correspond à chaque année, qu'elle n'est *esque composée que des termes de la série précepte, et par conséquent, qu'il est à peine plus long 3 calculer la probabilité de survivance entre des ites de plusieurs diiférens âges , pourvu que la diffémce d'âge reste la même , que de les calculer seuleleoit pour les deux plus jeunes de ces têtes.
148. L'exemple ci-dessus indique la probabilité e survivance entre deux têtes , d'après les obserVaious générales iaiies en Suède, sans distinction de sxe; mais si une des personnes est désignée comme u ^xe masculin et l'autre comme du sexe, féminin, % r&ultats différeront sensiblement, comme on le oit dans les deux tableaux suivans, où la réponse arie suivant que la plus âgée des deux têtes proposées st celle de l'homme ou celle de la femme.
■Ai
Af»
Ac
ProbabUM
de At
deB,
pour que A
homme.
femme,
meure le :
premier.
mmm
