AK
Probabilité
de A, femme.
deB, homme.
pour que A UiMrelA première.
On pourrait dresser deux autres tableaux setâ* blabks pour les inémes âges, et répondant au oto où les têtes proposées seraient toutes deux du seM masculin, ou toutes deux du sexe féminin. Mais j'M tti dit assez pour cpse le lecteur puisse calculer is probabilité de survivance pour une question qiièi^ covique*
CoroUeire i.
149. Si Ton retranche la somme d'un nombre quelconque de termes de la série , de la probabilité que le groupe des deux têtes a de se dissoudre dans l'espace représenté par ce nombre de termes, le reste sera la probabilité que B a de mourir ayant A dans ce laps de temps. Conséquemment, puisqu'il est cerf^^ que Tune de ces tètes mourra avant la fin de la vl*^' année, si Ton retranche de Tunité la somme de tous
(99) les termes de la série ^ le reste ^ ou, i — *'4/| sera la chance totale que B a de mourir avant A jusqu'au terme nécessaire de leur existence simultanée.
CoroUaire 2.
lËM). Quand les deux têtes sont du même âge, la somme des termes de la série générale du problème est égale à ~ ; c'est^ànlire que 4 =s î •
Scolie.
151 é Putttfue A et B peuvent représente!^ 9^ têM^ de tous les âges, et que pkr conséquent la sétië donnée dans le problème, embrasse toutes les questions, 4 (^ pat là même Texpres^^on générale de la prol)a« bitoy dé àntvîvàtrcb entre deux têtes quelconques; eèpendifùi totiinlè lé tï^êfiié probleAie pourrait impH(]ttèffpfa!ESietnrs probabilités dé cette nature^* et que f^ploi d^ti mèmfr tiâi^acfère {>oùr représenter des ({tiaÀîtés différentes occasîonêrait i>éaùcoup de confiaisuwk^ je désignierat par lés tîaràctèros ^uiv^ii» tei probabilités de survivance qui peuvent se rencontrer ma^ dëû qîàéUMMcpiès dés trols^tes A , B, C.
La probâbilit)é que A a <k mourir as^ant B = 4 .
:•.. B • • Git^. '
B^ôAHiiuit, ffapir&îècdrolfalrèi, qué^ '^''^ ^ pMbkMlité que B a dé Ddôiirir à^ani À =1 — ^
G A=îi-^«r
( loo )
LEMMfi IL
152. Déterminer la probabilité que de deax têtes , données A et B ^ Tune en particulier  ^ a de mourir après l'autre.
SOLUTION
Il est évident que cette circonstance ne peut se réaliser la première année que par l'extinction des deux têtes, A mourant le dernier; la probabilité de cet
événement est -^^ x ~y- X i (i); expression que pour des raisonls que j'exposerai plus tard^ je ferai égale à ^-^ - ^f-fli^.
Mais dans la seconde année et les suivantes ^ la circonstance proposée peut s'accomplir i** par l'extinc-' tîon 4^s deux têtes dans le courant de l'année ^ A mourant le dernier; 2"" par le décès de A dan^ l'année^ B étant mort dans une des années précédentes. La probabilité du premier de ces événemens pour 1^
seconde année est - — . ■ ab'^* ^ et la probabilité dû secondest — ^-^, X (^i— j-J; .cî^;^îïi,^.scM»m© 1^
ces deux expressions ou r — ^^ h — '
désignera la probabilité totale que A a de mourir
/après B dans la secpr^f^e ^^nnée^^^ et cette .^xpfjÇf^Y^^
lyoutée à celle quç nous^ venons de trouver} ^ur 1^
^4^ Vi^^t la note de la page 92. '
C loi T
première aanée^ donnera
a-fl' (a— a') (b+b') a'— a" a ^ab ' a
nab
pour la probabilité que A a de mourir après B dans l'espace de deux années.
De la même manière ^ la probabilité du premier
événement pour la troisième année est - — ''
aab
et la probabilité du second ?-^— x (ï -^ r"J > 1* somme de ces deux expressions^ ou
çlésignera la probabilité totale que A a de mourir «près B dans la troisième année; et cette expression, tyoutée à la valeur que nous venons de trouver pour
2 , a— a' (fl-aOCÎ+^Ô ; a—af
tfeux ans , donnera .-^ — ^-^-t — - H : — r-
■: ^-V-î — ^ H ^ \ y pour
la probabilité que A a de mourir après. .B dans. l!es-^ pace de trois années. On raisonnera de même pour tous les années. suivantes; et si nous appelons n la ^fierence «^entre Tàge de la plus vieille des têtes proposées et la limite de la table d'observations, on
trouvera que la série ^^^^^-| f- -|- , , . .
exprime la chance totale (foe A a de Hievirir après B 4i|rant cette période; ç'est-à-dirçjii$(ju'au terme néc eM»ire de leur existence simvdtané^f
Mais la première partie de cette série , ou
a^a! a'^a" q'^qr
^éyidenune^t égale à ^—^ ;=; i — — ; c'est-à-dire
égale à la probabilité que la tête A a de mourir dans C^tte période ; et la derniive partie àt la sérîf , est d'après le lemroe précédent, égale à 4> doue la trieur demandée pour n années sera représentée par^
CoroUaire.
155. Si ^o^ retranche la ioomvi? d'un i|ombr< C|ueJiconquç d^ termes d/ç la ^rie cirdessu^ « d(9i U probabilité q.uç les dciuiç t^tes ont de s'éteindre dans Feçpace représenté par ce nombre de termes , le reste sera la probabUité que £t a de mourir après A dans ce laps* de temps* Conséquemment si l'on retranche la samme: ée^ la séirie en4lière , de la probabililé que les. i^en|: tètes ont de se s'éteindre en n anirées, Ojui df
(.-3 x(i-f)=. -={(.),> «.le».
(i) Puisqu'il est ceHain que l'une ou Fàqtre des l^tes sets ^teîntct à la liu de « années , il s'euisuit que la qusMitUé -j qu\ resultCEait de ce produit , s'annulera dans teus les cas.
( 103) mera la chance que 3 a de mourir après A dans ceUio période.
Corollaire,
