PROBLÈME XIX
157. Trouver la valeur d'une annuité en réversion ur la têle A, après le dernier décès de deux têtes ) et C^ à condition que B meure après C.
soLirrioN.
La chance que f^ a de recevoir l'annuité à la fin Tune année quelconque, dépendra de la continuaion de son existence à la fin de ce terme , et de l'exinction, avant ce même terme, des deux têtes B ît C, mais avec la condition restrictive que B meure e dernier. C'est cette condition qu'il est très difficile le représenter d'une manière propre à l'usage géné- 'al. Dans le court espace d'une année , comme je l'ai aît observer plus haut (note de la page 92) , on ne îommet pas lîne erreur sensible en prenant la moitié la produit des probabilités que les deux têtes ont de 'éteindre dans ce laps de temps ; mais quand le lombre d'années et la différence entre les âges des leux têtes sont considérables, ces chances différent laDs la même proportion, et par conséquent, à lioinsque quelque autre circonstance en sens contraire le diminue ou ne corrige Terreur , le résultat qu'on obtient en supposant ainsi les chances égales , devient ixtrêmement inexact.
158. Si l'on représente par ^', y, t*'", etc. les probabilités du décès de B après celui de C, en un^
(iû6)
deux, trois, etc. aus^ trouvées par la méthode du Umïxm II, les espemnces que A a de recevoir ran** nuité à la fin de ces divers laps de temps , seront re** présentées avec un degré suffisant d'exactitude par
*^ "^ , etc. Mais dans ce cas la
Yr^e valeur de l'annuité ne pourrait être exprimée par moins de n séries différentes ; et par conséqiieQt cette méthode ne peut convenir à l'usage général.
1$9- On sait , d'après ce qui a été dit plus haot, que U probabilité qu'uue tête a de mourir ayant ou aprè^ une autre, diffère à chaque année de leur eicisteoce simultanée , et qu'on ne peut la représenter par une quantité constante qu'après l'extinctiou de la plus vieille des deux têtes. Mais après cette époque, l'espérance que A a de recevoir l'annuité 4 la fin d'une des années suivantes, peut être déterminée au moyen des lemmes précédens avec uu degré suffisant d'exactitude.
Il ne resterait donc plus à trouver qu'une expression approximative qui indiquât la valeur de h probabilité que B a de mourir après C , pendant chacune des années de leur existence simultanée* l^^ présentons par % cette expression (dont la valeur sera, plus loin le sujet de nos recherches : voyez n* 175); alors la valeur de l'annuité en réversion i dépendant de la condition énoncée dans le problème» se déterminera de la manière suivante*
160. Il est évident que le paiement de l'annuité à la fin d'une aimée quelcooquei dépend de. Xa oonti^
( Ï07 ) WatMP d^rexistence de A à la fia de cette aenëe, et 4^ J'ei^tioctioa rrant ce terme des deux tètes B et C, 9 étant mort le dernier; les probabilités de ees iwé* Qemens pour les pi^mière , atconde , troisième^ tfc« années y sont respectivement désignées par '■
j|"(i— ^y^jM — ^)x, etc. Par conséquent , h
sommç des espérances que l'on b, de recevoir Tannuité à ^es diverses époques ^ sera pour les n (i) preniièrQS ^nées^ représentée par la série suivante :
a a Q çk c aoc\
161. I*'' CAS.. Soit A la plus yieiUe des trois têtes» Ç est évident que dans ce cas la série ci-dessus ex- (^rimera la totalUé de la yaleiu' de l'annuité en r^ ver$iou dem^Q^éef puisquà. la i^*'"' année la tçte A s'çtçint j et tous les teri^^s syhrai;^. de la série s'é- TanouîssQQt^ Qr la série ci - dessus est égale à
fT"
(i) J'observerai ici, une fois pour toutes , que dans ce pror l^lème ètlçs suivions j^appellerai n le nom^e d'années compr^ çntre Fâ|[e de la plus vieille des tètes proposées , et la limite ie la tli^le d'^bsermtiôps : par conséquent la valeur de n itn di^UfloUe dans les. tMU cas qu'eipbxafseac ces probièines^
( 'o8) XiA-^-AB^AC+ABC), c'est-à-dire égale à la valeur d'une annuité en réversion sur la tête A après le décès des deux têtes B et C, multipliée par la chance que B a de mourir après C*
162. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la série ci-dessus désignera la valeur des n premières années de l'annuité en re version, n désignant maintenant la différence entre l'âge de B et la limite de la table d'observations : et sa somme sera trouvée égale à x(-^'-r-^jB — {-^^Y + ABC). Car si l'on continue jusqu'à n termes seulement la première et la troisième colonne verticale de cette série, là somme de leurs termes sera, d'après le pro* blême I, corollaire 4f représentée exactement par les caractères que je viens d'employer, et la deuxième et la quatrième colonne verticale désignent évidemment la totalité de la valeur d'une annuité reposant sur ces combinaisons respectives de têtes ; puisque dans la tî*'"' année la tête B s'éteint et tous les termes suivans s'évanouissent.
Maintenant, pour déterminer l'espérance qu'on a dé recevoir les renies des années dé vie qui restent à la tête A^, on devra observer que le paiement de l'annuité, une année quelconque, dépend de la Continuation de l'existence de A à la fin de cette année , et delà probabilité que B a de mourir après C avant là fin de cette année. Mais la probabilité que B a de mourir après C , avant la fin de la (72 -j^ if^xçàéQ et de toutes les suivantes, est représentée (d'après le scolie du lemme II) par la quantité constante
( 1^9 ) (i ^f) (i). Donc la somme des espérances que Ton a de recevoir les rentes des (/i+i)"% (/ï + 2)^% 'n + 5 j"% etc. années , sera représentée par la série
- > . ... , + , , v rzr + \ , V, T? + «te. , qui , con-
inuée pour toutes les années suivantes de la vie le  ^ donnera la vraie valeur de toutes les rentes i recevoir après la n'^"" année. Or la somme de :ette série est, d'après le problème I, corollaire 5, îgale à (i — ç) X ^^ expression qui, étant ajoutée mx n premiers termes des diverses colonnes verticales ci-dessus,, donnera pour la valeur totale de [annuité, dans ce cas % [^' — ^5 — [JCy+JBC] ■f-(i — ^)X^^* Mais puisque A*=:A — A^^ et que {jiCyz=iAC — {A&fy comme on le voit d'après le problème I, corollaire 4, î^ s'ensuit que cette valeur sera plus convenablement exprimée par. . .
X{4Cf.
165. np CAS. Soi^ C la plus vieille des trois têtes* La valeur des rentes dès n premières années (n désignant maintenant la différence entre l'âge de C et la limite de la table d'observations), sera dans ce cas , ccmime dans le précédent, représentée par les./t termes de la série du problème , dont là somjrDê
(î) Parce, que dans l'expression général^ , ^ deyient égale jk quand Best la plus vieille des têtes proposées y et qu'en con^
séqaence la fraction r s'éyanouit.
fserh maintenant égale à % [A'-^ABf^AC'^-ABC^ Car si l'on continue jusqu'à n termes la première e k seconde oolonnes verticalesy la somme de oèâ tertne» sera exactement représentée par leâ caractères i|ixe j i viens d'employer ; mais les denx dernières colônnef t^rticalê^ désignent évidemment la totalité de la va- Iett^ d'une annuité reposant sur ces comMnâisoos i^pectivèis dé têtes , puisque la tête C s'étèint ddn^ k 71*^"' année.
Or, pour déterminer l'espérance' qu'on a de recisvoir leà rentes des années de vie qui restent à Â, ou devra observer que les probabilités que Ê a de kontir âpres C, en (n+i)\ (n+2), (^+5)» etc.
àûnéeS, sont, diaprés le scolîé du lemme II, représentées respectir^ement piar ( i «— 9 *^^ jr j ^
(1--^ — ^)i (ï— ^ — t}^-®*^-»* donc ^ puisque
le paiement de l'annuité dans une année quelconque dépend de la continuation de l'esdstence de A à la fin dé èette année , et du décès de B après celui de C^ avant Celte même époque, il s'ensuit que si Ton mul-
tiplie respectivement ces valeurs par j^ ^y^ ^ <4tfi.
[ou les probabilités que A à de vivre à la fin des (n+l)^, [n+ny^^ {p+^y^9 etc. années], les produits seront les probabilités que l'on a de recevoir les rentes de ces années respectives. Et ces pr^uits ëtànf éncôirë mtilfipliéâ par la valeur actuelle de i fr. payable à la fin dé ces années respectives, donnerônl les espérances qu'on a de recevoir leâ fèmtes de ëei
années, et formeront la série suivante :
etc. etc. etc.
Mais là somme de ces deux colonnes v«ttic^6 ^ tofûtinttëe^ jusqu'aux dernières limites de la vie deA;^ tA, d'aprè^ le pitoblème I, Côrôllàit«e 5 > égale k (i — p) X Ji^ — (^-S)**, expression qui, étâttt àjoe-* tés 3iu:st ii teri»res des diverses colonnes veliicàleid thmvées plus haut^ donnera pour la valeur totale ée ratrauîtë, dans ce cas, yy}^{ABy-^AC^AB€^ +(i — ^) X A^ — {AB^y e^tession qui, d'après ^ée ^i à^é dit Ml, cas précédent^ peut être plus ci^nviftààMeiÂcnt exprimée par % {A^AB-*^Av^AB€)
Corollaire,
IA4é Si les deux tèles en possession ont le fném^ tgé, oelui de B, alors tp et % deviennent tous deux égaux à I, et les quantités {ABf ist {ACf s^ttduissent. Dans Ct cas^ Texpression devient dOafc i f^^^^B^ABB) c'est-à-dire est égale à la moitié de la valeur d'une annuité en réversion Sur la tête A^^if^ès le dernier décès de deux tètes égales B etB.
fit' si les deux tétes en possession étaient du Même higb que la téte A en revetsion ^ l'expression deviendrait ^ {A — nAA -f- A A A).
PROBLÉBiE XX.
165. Trouver la valeur d'une annuité en reversioi sur la tête A^ après la dissolution du groupe BCj à condition que B meure assaut C.
SOLUTION
Le paiement de l'annuité a la fin d'une année quelconque dépend de lexistence de A à la fin de cette année /et de l'extinction de B avant celle deC; antérietireraent à la même époque. Gomme cette dernière condition ne peut être représentée exactement pour toutes les années de la vie humaine , il devient nécessaire > comme dans le dernier problème^ d'avoir recours à une expression approximative pour Iç nombre d'années que les têtes proposées ont la chance de subsister simultanément.
Soient donc les mêmes caractères que dans le dernier problème ^ et considérons le paiement de Fannuité pendant les n premières années ^ comme de* pendant chaque année de l'un des deux évenemens suivans, i*". A peut subsister à la fin de l'année ^ e1 B et C être morts antérieurement ^ B étant mort le premier; a*. B seulement peiit être mort^ et Ael C subsister tous deux à la fin de l'année. La probabilité du premier événement est, pour la premièn
ànîiée, j (i—j-)(i—^)(i—X)(i),etla probabilité
(i) Puisque ^ désigne la chance <|ue B ade taoxmrapres^^ {Mandant chaque abnée de leur existence simultanée , il s'ensui 4|iie I — ^ désigne la chance que B a de mourir a^ant dans le même temps.
(ii3)
1— T-) — ; donc la somme de ces deux expressions , réduite à sa plus simple expression et multipliée par ( i H- p )"", donnera ( i + f )""*
ra' dV fd dh' de' db'c'\ 1
la valeur totale de Fespérance qu'on a de recevoir la rente de la première année. En raisonnant de la même manière , nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir les rentes des années suivantes ^ et la somme de toutes ces espérances , pour les n premières années, sera représentée par la série suivante :
, ^ ,., rd dV (d db' de' , dVd \^-\
166. Y" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Il est évident que dans ce cas la série ci -dessus exprimera la totalité de l'annuité en reversion demandée, puisque dans la rù'^* année la tète A s éteint et tous les termes suivans de la série s'évanouissent. Or dans ce cas, la série ci-dessus est évidemment égale à
V^.\^ç^. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dan^ ce cas, la série ci-nlessus exprimera la valeur des n premières années de l'annuité en revei'sion, ef la T. I 8
somme en sera trouvée égaleà ^'-<-^jB— <% [/i^-^^B — [ACy-\'ABC\. Dans les années^ suivantes^ la chance ^'on a de recer^r Tanntdté dépendra de ïa conti^ nidation de Texistence de A/ ef de la probabilHé que B a dé mourir airant C^ la valeur de l'annitité povr les années suivantes sera donc représentée par la série
« ^ -r.-à.*^'H-a T ^77X3?Hr i- etc. ^ 9 ^ .
Donc la valeur totale de l'annuité demandée sera A^AB^X {A—AB—AC+ABC) — (i— (p-%) X A'^x{AC)\
168* lir GAs. Soit Cla plus vieille des trois têtes. Dians ce casy la série ci-dessusdésignera aussi la valeur des n |>remières années de Tannuité en re version, et la somme en sera maintenant égale à A^-^ (ABJ -*- % {A'-^{ABy—AC+ABC): et la valeur des années suivantes de l'annuité sera véritablement exprimée^ comme dans le dernier cas ,. par ^ A^. Donc la valeur totale de l'annuité demandée sera A — AB^ %
{A^^B^AC+ABC)^{i^(p^X) X A'+(i^x) X {ABy,
CoroUiÈire.
VSSt, Quand les deux tètes en possession ont I0 tetnême âge, celui de B^ alors (p et x d^viennent^ comme dans le corollaire du dernier problèoiQi égau^ chacun à |, et le^ quantités {ABy et (ACy s'éva- OQUPlssenit; donc la vakvr à^ TannurCé en reversioti est f xpri4:née dans ce cas par | {A-^ABB).
Si qijutad lea deux têtes en ' possession sont dtt
même âge que la tête A en réversion^ cette expressioa devient égale à f {A^^AAA).
Scolie.
470. iSî l'on a|oalt la valeur trouyée pour Tua âeil Iroi» cas de ce problème à celle trouvée pour It Cis coirespondant du {Mroblème précédent , la somime sera égale à A^^AB. Donc , si Ton a une fois dé-;terminé I4 valeur de l'annuité dans lun des cas du problème précédent, on trouvera aisément la valeur de la même annuité pour le cas correspcadant du jfMX)blème actuel (pourvu que les trois têtes conser-ventles mêmes âges) en retranchant la première valeur (jb A^^AB y et réciproquement.
Cette règle est presque évidente en elle-cttéme^ car si Ton réunit les deux conditions des deux problèmes, on verra que A est certain de jouir de Tannuité après le décès de B, pourvu qu'il subsiste à cette ^M)que. Par conséqiii^t \^ somme des valeurs trouvées par les deux problèmes doit dans tous les cas être égale à la valeur d'une annuité en. réversion sur la tête A après le décès de B. Ainsi la yérité de ce ççolie ressort évidemnient de l'inspection seule 4i^ coqditions des deux problèmes*
171. B et C possèdent en comnmn une aîuûuité, cjfui, si B survit à C ^ doit être également partagée «atre A €t B pendant leur existence simultanée , ponrapl^rtellir en totalité au survivant jusqu'à son ^écès.
Trottver la -valeur de F intérèl de A ^1» cette amyteûté.
SOLUTION
Puisque A ne doit rien recevoir si C survit à B , il est évident qu'il a droit à la moitié d'une annuité en reversion sur le groupe AB après* rextinction de C, et encore à la totalité d'une annuité en revereion sur sa seule tête, après l'extinction de B, pourvu que B meure après CL La première valeur est d'après le scolie du n' 76, égale à ^ {AB — ABC), et la seconde peut être trouvée au moyen des formules du problème XIX, selon que la plus vieille des trois têtes est A , B ou C. De là on déduira aisément les valeurs suivantes, pour chacun de ces trois cas :
Quand A est la plus vieille des trois têtes, la valeur
demandéesera%(^— >^^4-(î— X) X (AB-^ABC).
Quand B est la plus vieille des trois têtes, elle sera X {A-^JC) + (i-x) X {AB^ABC) + ( i -<p~^) ^A^JrX^ACf.
Quatid C est la plus vieille des ti'ois têtes, elle sera
X(^-^C)X à-x) ^{AB^ABC)+{^-i^^x) ^A'—{x—xy:{AEf.
Quand les deux têtes en possession ont le même âge, celui de B, elle sera \ {A-^AB).''^\ quand toutes les têtes ont Tàge de A, elle 'sera égale à'f {A—AA).
Scolie général.
. 172«i II ne reste plus à déterminer que la valeur de X pour obtenir la solution dé ces. tfOîs problèmes; et si les chances qu'une des têtes. a(;de..mourir. avant ou après l'autre: iians chacune des années di^.leuiî existence simultanée,. iélaient dans un ;rapporJb oQins^
tant; il n'y aurait plus aucune difficulté. Mais puisque cette chance I d'après la .mortalité . réelle ^ varie çontiauellement^: nous devons recourir à un calcul approximatif pour trouver la valeur moyenne dé ce rapport.
avec assez d'exactiti^de par — — ^j — , et par j
175. Or, après un nombre suffisant d'épreuyes,^ j'ai reconnu que la valeur de X peut, quand B est la plus jeune des deux têtes B et C, être représentée^
quand G est la plus jeune des deux têtes B et C. Quoique ces deux valeurs ne soient pas strict^eilt correctes, elles conduisent à un résultat plus rapproché' de la vraie valeur de l'annuité en réversion, que' celui obtenu en égalant généralement % à \ quelâ que soient les^ges B et de C, et nous pouvons en fair^, ysag^ jusqu'à cç. qu'on ait trouvé plus exactement h vraie valpui:. de %. Mais si l'on obtenait par la suite une expression plus exacte de cette valeur^ ^ çUe n'apporterait aucun changement à la solution générale des trois problèmes , puisque nous pouvons, donner à % toutes les valeurs possibles.
Je vais maintenant exposeï: quelques exemples qui indiqueront l'application de ces diyerses formjaleç:. .
174. Exemple i. Quelle est la valeur d'une anuuité sur la tête A, âgée de 60 ans, après la tête B, âgée de 4^ ans, à condition que B meure après uue autre tête C âgée de 20 ans : on suppose que l'intérêt soit de 4 p. 100 et la mortalité conforme aux labiés deNorthampton.
Nous auroiiie ici ^ sss g^oSg» AB =s= 7^490 » j^Cr= 7,995, ABC^sg:&^,j^'i^ et xssr 0,395. L'an* nuit^ en i^Tet^km demandée sera done dans ce cas 4%ale à 0,^76 X 0,595 = e, 10g.
Mais si B avait 120 ans et C 40 ans , nous anrioDS %=o,6o5 et par conséquent l'annuité demandée serait danis ce cas égale à 0,276 X a,6o5 = 0,167.
De la même matnière, si A avait ut ans^ B 6oet
C 4o, nous aurions A = i6,o33, AB z=: 7,995,
AC=i io>924> ^5C=6,732, w = 57, %=:o,554,
et f) 2= 0,7 1 18. Par conséquent la vaJknir de Tannuite
serait dans ce cas 3,856 x Oy354 -^ 0,067 *^ 0^0^
qss 1,517. ^y ^^ ^ ^^^^ 4^ ^^^ 6t Ç 60, $lk viAevr çer^it trouvée égale à 2^519.
475. Quelle est la valeur d*une antraité Sur la tête A âgée de 60 ans , après la tête B âgée âë 40 àtiâ, pourvu que B mettre tissant une autte tète C Igi^ï de âô ians. Onsuppùseque Fititérét soît de 4p- ïod, et là mortalité confbrnié aux tâbleÈ; de Nôrthàtnptoiû.
Nous aurons ici A — ►^J?=±:9,o59— 7,490 3= i ,54^ •* pàt conséquent 1,649-— 0,1 iog=: r,44^^^ï^ d'après Ce qui a été dit au scoHe dun* 170, la valeur dé Tanlittjté en réversion pour le fcaâ pt*6posé. Et sî A avart tïKy ans et G 60, cette valietit seràîl égâte J( 5,109 — 2,519=2,590.
W»»'>ftV>» V< ^<^»^<MiW»WV«»l i WW<>M<»l|»»»»M<>^WW»WW>»»1< W W W <KvWWVW^^
CHAPITBE ri.
DBS ASfiORAIf CBS,
176. Dans les chapitres précedens j'ai considère la valeur aÂnelle des sommes proposées coinme dépenda&t de Fexisf ence Aes têtes proposées , où d'un certm ùtàte àé survivance entre elles ^ et dans )a sobtron des divers problèmeis, je n'ai eu égarcll qti'atit probabilités ((ae les personnes intéressées d^ns Fjititttiité ont àevwré. ^Tarrivé maintenant aux questiotils dil il ^'agit de tinouver la valeur actuelle des alîrïïtniês du deâ càpitàfùx 'q^î dépendent de Veçctinction d^ tétbs proposées; en un inot, je vais m^occuper ^ «isâtruANCËs ^ÛH LA VIE, cxpression qûl désigne çëtt^ ffànsactiôn par laquelle on garantit lé paieoient d'aune annuité ou d'un capital à l'extinctioÀ des têtes sur lesquelles repose le contrat, moyennant un paiement antérieur fait à l'assureur et qui doit être iilcQlé de maniène à campenscto* la «chance de p^te àlà«(ii«]le il /expose. L'obfet de ce cbajûtre sera^ëq déterminer la valeur de te paiemeuft ( qu'on >appeUe généralement prime ) dans tous les cas principaux qui peuvent se présenter.
177* U isera peut-*etre néoessMce d'c^enrwid'abdrd qœ^k mélhoie à suivre pour trouvjf r la vakmr d^iia crs^pi^/ dépendant de l'extinction de %&tes qatiécm*
( »2o ) ques différera essentiellement de celle à employer pour trouver la valeur d une annuité dépendant des mêmes circonstances. Dans le dernier cas, le bénéficiaire doit recevoir plusieurs rentes annuelles, et l'espérance qu'il a de recevoir chacune d'elles est in^ dépendante de l'espérance qu'il a de recevoir chacune des autres. Mais quand il s'agit àe capitaux y la question est tout-à-fait différente: car ici onuCidoit re« cèyoir qu'une soname unique à ^extinction des têtes proposées, et par conséquent l'espérance qii^'oii^ a (1|$, la .recevoir à la fia d^une année quelçQnq!;ie résijdte.de cela même qu'on ne l'a pas reçue à la fiq d'a^c^nef df^ années précédentes, ou ce qui est la même chosç^la, probabilité qu'on a de recevoir cette sommç à lafiii; d'une année quelconque se composera 4e la p^babf-; lité que les têtes proposées ont de s'éteiî^dre dai;i$.]^ courant de cette année, et de celle qu'elles oi^t eu de survivre à toutes les années précédentes. Lespro-r. blêmes syiivans répandront plus de jour $ur cette, question.
