PROBLÈME XXII

; 178. Déterminer la valeur, actuelle d'un capiéab pnyable à la (in de l'année dans laquelle un nombre quelconque de têtes viendra à s'éteindre.

SOLUTION. T

Supposons dans la discussion actuelle qu'il ne 9'a-> ^sse que d'un groupe de trois têtes ABC, dont k» probabilités d'exister i^ 2, 5. . . . ans, soient expjri^

( lai. ); mée» comme au n"" 24 , et représentons la somme désignée par s. Or la valeur actuelle de cette somme • si Ton était certain de la recevoir dans un au • serait j(i -f- f)"'; paais comme Tespérance (ju'on a de recevoir cette somme à la Hn de cette année dépend de la dissolution du groupe proposé dans cette an-

néa^ événement dont la probabilité est . ^: . .. * > :

Qu djçvra multiplier par cette pr^b^lnUlifi^ la \Tal6ur

ci-dessus, ce qui donnera ^(i + p)""* X -- — T

pour .la "valeur de l'espérance de -la première année. De la même manière , la valeur actuelle ' de la somme proposée, si l'on était cei^tain de la recevoir^ après deax ans, serait\f (i'-f* P)~"*; xn^is comme l'és-^ pérance cp'on a de i^ecévoir cette^somme à la fin^ela seconde année, dépend de la di^olution du gtoupedans cette année , événement dont la prohabilité est

■ — rr — : — f pn devra multiplier par cette problH ^

biKté la valeur ci<-dessus , ce quf^&iSJSaèra' -^ti-fr^)^f ^

X g — .pour la valeur de l'espérance dftla^

seconde année. - '^

De même encore on trouvera que si^\^ fY'^'

T^ ^^^^ ^^ valeur de 1 espérance de là

; troisième année , et ainsi de suite pour toutes les

\ années suivantes de la . vie humaine : la sfunme de

* oes valeurs sera la valeur totale àctùelte dé^a soniine

iproposee.

ft i ' •■: ■;• • ■ .■..-:».:•

U9. J\|(ais la soipme de ces quantités, rédiiite-si:

( laa )

sa fh» sini|^ ex{mssion , est égale aax deux sërtes sumiites :

la ; w reg iièr e «k cds iséries est ^al« à r-^-r (i •^ABC),

etihi^flÉî^âk jrX 2^J9C Dôtack tttlêfot totâteac- Mélle dèttiaDdae ddyieoi

cbtté -.ifiMstioti soit inestremtB «n «s À tiwS ttlteSy il^it aise dp ^ir qtie cette mëtbode de

ig^iérale et^siiioptiqfie il ma nondire 4{in3êtê$ % d'<Kk la règle saiVaute :

'180. Mtiltîpliez la valeur d*ùne annuité sur les tàtéLprofttséeS't- pat*: lo tâua: de riMé^k ^ et retranch ez

^ic 1|S produit d^ ^ ^j^it e> djvispE le .reste par le pror duîtdu placement de i fr. après un an, et le quotient , itfttltlpiié pat là âbmmé proposée y sera la valeur demandée.

' li^jqez^ pour llappitcalion dis ce problème^ la question XX VU, du chapitre XII.

Isl. Dans 09 problème , i'ai considéré la valeur actuelle du capital assuré^ comme dépendant, 4^ 13dissolution du groupe de têtes proposé dans une aa-^ Aeè çtt^conçwc de '3enr existeïïee simuhariée. Maïs

SI f MniMttce «si différée de n dtarstéé» , € W-^^dire

si not» vmilow défeemiitier là talenr sctuelle d'une

soiiiiwi {Mytble à la 4is$ollitiaii de cegnoûpe, pourm

que Cet ëvettetnetit n'tif lieu qu'après rtn délai fixé,

là fottndle éjmuVeiti un cbatygemént impoHant. Car,

m ttiivâM là méâie itiair^he cfisn^ dau» le {)roblfeftie ,

m iwwy er a ^e l'espéinuoe i{u'oti a ^ teeevûir ht

sema» propofeife à k Sa ^és (n^i)*', {Ht^)"%

(n+3)P% etc. années, jusqu'aux deHiièf es limites de la vie humaine, sera représentée par la série

L<»Mf+c)"'*' aic(i+^)«+*^ «ic(i+{)-+^ ~: 'J»

ipK^ pow plus de coitimodîcé, peut 9è divines eik dens autres^

La seconde de ces séries est , d'après le problème I, corallaire 5 , égale k r^^ (jéBCy ; «t la première

est ^le à ^ îX : '^;L^^) ■ > '^ l^.^fiHï^ ^en

- -^fT+?r^K^^«^

mandée est donc ^ga,le ks X — ■ ■ . mi-v .l i,'. . ■ ■ ' ■' ! r Arù la i^e raivantfe (t) :

(i) Puisque [ABCY est , d'après le prob, I ,' coroL 3 ^ égal i ^•5«C<' X^ (i + pr% il est évideiU que la valeur à^

l:b2. Multipliez la valeur d'une annuité différée sur les. têtes prppps^s , par le .tauix de l'iatérèft ; retran-f . chez le produit de l'espérance que lés tétës proposées ont de recevoir x fr. à la: fin du délai fixéyjét divisez le reiste par }e produit du placement de i fr. apnèsi un an. Le quotient qui en résultera étant multiplié par la somme proposée donnera^ la valeur demandée^

Voyez pour l'application de ;Cecorollairei la quefr». tion XXVIIl du chapitre XII* : >

Corollaire 2.

183. M aisy si l'assurance est temporaire ^ c'est-à-dire^ si noua voulons déterminer la valeur d'une somnifr^ payable à la dissolution du groupe proposé, pouFVUr que cet événement ait lieu dans les limites d'un délai fixé 71^ on en trouvera la Taleur en ajoutant les n premiers termes de la série donnée dans le pro- Même. Cette valeur sera donc désignée dans ce cas par la série

r aftc-V^V u'IJ^à'^^V e" ^'^^''-^i^l/ 'eF afi^^^^'\.

qui pour plus de commodité peut se diviser ën^deàx'

ifnandée, dans. te çaïf tl'ufie seule tête ou d'un gtoiui>e dé j^lù- ^ sieurs têtes ^ peut être plus commodément exprimée ';p>^

s X / r-— -^ (i + e)""" •• et c'est de fetre" formule

(i+ç) abc .

que j'ai de'duitla règle de la question XXYIII ducbapilrcXHt

Mais cette règle ne s'étend pas à tous les cas.

( 125 ) très

r(i+c)L^ ^(i4ç)"*"(i+çr"^(i+çr"*"' ••(i+ç)--- J

JL.r^^-^^-4.^^^^+ ^^ï^1 Mais

première de ces senes est égale a j x — ^ . — ; (i)

la seconde à s {ABCJi la valeur de l'assurance mporaire demandée peut donc être représentée par

formule. [l±i^^-(^5C^Q.^ Mais puisque {ABC^^ + -^ Jî^égale {ABCj,

W Ton tire {ABC)'-^^ {ABCJ— ?^x(i-f-pr';

[puisque d'après le prob. I. cor, 4 5 {ABCJ est égal ABC — {ABCY; nous pouvons rendre la formule î-dessus plus propre à l'usage général en remplaçant 4BCy par cette valeur : elle deviendra donc égale

où la règle suivante :

184. De la valeur actuelle de l'assurance payable Textinction des têtes proposées, retranchez la vanr actuelle de la même assurance différée du délai ié ; le reste sera la valeur demandée.

Voyez pour Inapplication de ce corollaire, la ques^ on XXIX du chapitre XII.

(OCe nouveau caractère {ABCy".^ .désigne la valeur d'une ttnuité temporaire sur le groupe ^iïCpepdjint (/i— .|) sni^e'es;.;

( ia6)

Ï8S. Quoique dans la discnssion de ce problèi \e n'aie considéré que le cas où il s'agit d'un gvbu de trois tètes, il est cependant facile d'appliqMr même raisonnement lorsqu'il s'agit d'une seule M quelconque, ou d'un groupe quelconque d'auti têtes y ou de la dernière vivante des têtes prop sées^ etc. n suffira pour obtenir les valeurs dema dées, de substituer la valeur d'une annuité reposa sur cette tête, ou sur ce groupe de têtes^etc. à laqua tîté représentée par JBC dans la formule du n* 17

I8& \js^ même observation s'appliquera aus$i ¥ deux corollaires précédents, si , outre la substitutif dont nous venons de parler > nous i*emplaçoas an par la valeur d'une semblable annuité, différée < délai désigné, la quantité {ABC y des formel n"* 181 ou 185. Mais ici on devra spécialenie observer q^ie quand une ass^^rance difl^ée ou te; poraire dépend du dernier décès des têtes proposée

la quantité ^(i+f)^" dans la formule donnée Ai

designer respérance que la dernière vivante de ( têtes a de recevoir \ fr. à la fin du délai fixé; et qu quand Fassurance dépend de l'extinction de dex quelconques de trois tètes proposées , la même quai tité doit désigner l'êSpéranCé que deuit quelço^iqu de ces trois têtes ont de recevoir i fr. à la iSii < déhci, etc. etc." '

Voyez^ pour l'application de eecoroHaire> les que! tions XXVn, XXVIII et XXIX du chapitre X».

PBOBL£M£ XXUI.

187. Tronver la valeur d^une annuité qui com«^ mencera à courir à la fin de raonëe dans laquelle s'ë<teiiidna ui^e coxBhioaisoa quelcoaqne de tâles*

SOLDTIOIf.

Supposons, cmnine dans tç problème précédent, que le question n embrasse qu'uD groupe de trois têtes ABC, et que Fannuité proposée soit une rente perpétuelle ou une propriété foncière» Or^ la chaace que rhéritier de cette propriété a d'en toucher la fente h, la fin d*nne année quelconque dépend toujours de la dissolution du ^oupe de têtes avant la fin de cette smnée. La probabilité de cet événement est

pour la première année ( i S""/ ^ expression qui

tnnltipliée par ( i +p)"^' donnera l'espérance de la prenrièfe année. De même la probabilité que le groupe ^ têtes a de se dissoudre avant la fin de la seconde

année est (i r— -J, expression qui multipliée par

[i-|-f)~* donnera l'espérance de la seconde lènilée.

A Cto trouver» de même que l'expresmon \\ — -^ — \

fimltipliée par (i-f-p)^* désignera l'espérance de la troisième année; et ainsi de suite jusqu'à l'infini: puisque la propriété est perpétuelle de sa n^ure. Donc la somme de toutes ces valeurs continuées in- [^ défîniment sera la valeur totale actuelle de la pro- ^' pfiété dont on doit jouir après la <tis9olatioii du

groupe ABC y ou en d'autres termes sera la somme qu'on aurait à payer aujourd'hui pour s'ussurer la juîssance de cette propriété après la dissolution de ce groupe de têtes.

188. Mais la somme de tous ces termes est égale aux deux séries suivantes :

+ ;:i:^T + 7r^,^-...•oo

I falb'c' , a'b"c" , a'b'd' , ^ \ t

- ^c X ((7+7) + (T+1? ^- (iT^ + ^*^-> ^* P'*-

mîère de ces séries est égale à -, ou la valeur actuelle

d'une annuité perpétuelle de i fr«, et la seconde doit se terminer à l'extinction de la plus âgée des trois télés y et est conséquemment égale ' à la valeur d'une annuité sur le groupe ABC. Donc la valeur totale de

l'annuité demandée est égale à ABC: et quoique

cette solution ne s'applique qu'au cas d'un groupe de trois têtes, il sera cependant facile d'employer le même raisonnement pour une combinaison quelconque de têtes : de là la règle suivante :

189. Retranchez la valeur d'une annuité reposant sur les têtes données , de la valeur actuelle de l'annuité ou de la propriété en question; le reste sera la valeur demandée.

Voyez pour l'application de ce problème^ la question XXVI du chapitre XII. ,

Corollaire i.