B8 ASSURANCES QUI DÉPENDENT D'UN ORDRE PARTICULIER
DE SURVIVANCB.
22S. Le sujet de ce chapitre est cerlainement un î plus compliqués de toute la TTiéorie des Annuités, isqu'il implique des conditions pour lesquelles !St très difficile de trouver une expression concise 3n même temps exacte. Quand il s'agit seulement deux létes> lés calculs ne sont pas très laborieux^ Ton peut obtenir assez facilement une solution ivenable; mais quand la question embrasse trois 3s ou davantage, les calculs sont de plus en plus npliqués, et souvent même il devient impossible btenir une valeur exacte. Ces derniers cas, qui it aussi nombreux que ceux pour lesquels nous ivons trouver des solutions correctes, res5;ortent sujet que nous avons déjà traité dans le chapit. V^ ;e présenteront, pour la plupart, vers la fin de ce ipitre; nous pourrons cependant approcher de leur ie valeur au moyen des deux lemmes des n^' I4S 1S2, comme on le verra plus distinctement par la le.
J observerai ici que je nai considéré aucun des cas où il s'agit de plus de trois têtes; ces questions sont si rares qu'on perdrait son temps à établir des règles générales sur ce sujet : d'ailleurs il faudrait des yo^^ lûmes pour les traiter convenablement.
Pour éviter d'inutiles répétitions^ je préviens le lecteur, une fois pour toutes, que je représenterai toujours par s la somme proposée, et les probabilités de vivre comme au n^ 23. Les formules algébriques que nous obtiendrons suffiront au calculateur exercé pour en déterminer la valeur numérique; mais elles sont trop compliquées pour qi^e je les aie traduites en forme de règles.
229. J'observerai en outre que j'ai fait usage des caractères j4\ B', C, pour désigner les valeurs d une annuité sur une télé plus âgée d'une année que les têtes respectives A , B ou C; et des caractères jé^, B^f Cff pour désigner les valeurs dune annuité sur une tête plus jeune d'une année que les têtes respectives Aj, B ou C. Conséquemment quand les caractères >rf'V B^"" ou C* se présentent, ils désignent les v.aleut*s d'une annuité sur une tête plus âgée de n années que les têtes respectives A', B', ou Ç; c'est-à-dire sur une tête plus âgée de (n-\- i) années que les têtes respec^ tiyes A, B ou C,
Les mêmes observations s'appliquent aux carac-* tères ^/*, B/^, C^f qui désignent respectivement le& valeurs d une annuité sur une tête plus âgée de /} années que A^ B^ ouC^, c'est-à-dire sur une fêle plus âgée de {n — i) années que A, B ou C, tlçllç
remarque s^étendra aussi au* cas où ces têtes sont coQsîdërëes conjointement avec un nombre quelconque d'autres têtes; ainsi A'B désigne la valeur dune annuité sur un groupe de têtes composé de B et d'une tête plus âgée que A d'une année ; A'BC la valeur d'une annuité sur un groupe de têtes composé de B| de C et d'une autre tête plus àg|ée que A d'une année, et ainsi dé suite.
PROBLEME XXVU.
250. Déterminer là valeur actuelle d'une somme payable au décès de A, pourvu que cle deux têtes données A , B , celte tête A soit la première qui s'éteigne.
SOLOTlOiV.
La chance quon a de recevoir la somme à la.fii) d'une année quelconque dépendra de l'un de ces deux événemens, i"". ou A mourra dans le courant de cette année, et B-existera à la fin de cette même année; 3^. ou les deux têtes mourront dans le courant de celte années A étant mo^t le premier. La probabilité dti i^remier .événement est, pour la première
année , ^^ "\ ' , et la probabilité du second .événement est, pour le même temps, ifll5i--LlIl. J ^^
dpuc ces deux valeurs, ajoutées ensemble et multi*!^
pHées par j(i-f-f)""',"ou ia valeur actuelle de h somme proposée! si Ion était certain de la recevoii
à la fin de Tannée, donneront - Ci+f)*"*X
-T — — T Â"^" "T J P^"^ '^ valeur de 1 esperana
qu'on a de recevoir cette somme à la fin de la première année. De la même manière ^ puisque la probabilité du premier événement est, pour la secoad(
année, /~~^» ^* ^^ probabilité du second évé-
nement pour le même temps , ^ —^ -, i
s ensuit que la somme de ces deux expressions, iquI tipliée par s{i H-/)^* donnera la valeur de Tespé rance qu'on a de recevoir la somme à la fin de h seconde année. Par un raisonnement semblable , non pourrons trouver la valeur de l'espérance qu'on a A recevoir la somme à la fin.de la troisième année, e ainsi de suite pour toutes les autres années, jus* qu'aux dernières limites de la vie humaine, et l somme de toutes ces valeurs annuelles, ou la série
^lî-l-f; ^\ab ^r ab ^ ab )
-f- etc. , etc. ,
sera la valeur totale actuelle du capital s, dépendant des circonstances ci-dessus.
C i57) 2S1. Mais, la somme des deux premières de ces les verticales (indépendamment du multiplicateur
nmun -) est, d'après le problème XXII, égale -—^ — ; la troisième sera trouvée égale à . . .
\ — r— r- X -• f et la dernière à AB X — • Consé-
^mmenty la valeur totale actuelle du capital proposé a égale à
al (i+c) L (i+c) ' Uai
Comme dans les problèmes suivans on aura souit recours à cette formule , il sera plus commode la désigner par une expression plus simple; sup* sons donc qu'elle soit représentée par^df*, c'estlire désignons par A^ la valeur actuelle de i fr. , yable aux conditions énoncées dans le problème; Qséquemment, s x A^ sera la valeur actuelle du pital proposé, dépendant des mêmes circonstances.
Corollaire i.
232. Après avoir ainsi trouvé la valeur actuelle la somme proposée, payable si B survit à A, ^ trouvera aisément la valeur actuelle de la même ïîînae payable si A survit à B (c'est-à-dire payable ' décès de B, pourvu que A subsiste à ce décès), ^ substituant les caractères «, a', a'' . . . . aux ca-
ratières b^ b'^ ^',... dans la discussion cl-dessu cette valeur sera donc trauvée égale à
Mais si la valeur actuelle de la somme propose payable au décès de A , suivant les conditions du pr blême , est une fois déterminée , nous pourrons tro ver aisément la valeur de la même somme pajat au décès de B^ pourvu que cette tête soitla premii qui s'éteigne, en retranchant la valeur trouvée f le problème , de la valeur actuelle du capital pr posé, payable à la dissolution du groupe de têtes A comme nous Tavons trouvée par le problème XXI ce qui revient à changer le signe du second ten dans l'expression générale du problème. Airu
2 l (i+c) L (i+«) ' 'Jûj
désignera aussi la valeur actuelle du capital propos payable si A survit à B (i).
(i) On voit ainsi que rexpression exprime , dans l'un ou Tautre cas , la valeur demandée :
( i59) Comme cette formule se rencontrera souvent dans es problèmes suiyans^ il sera plus commode de la ésigner par une expression plus simple ; supposons onc qu'elle soit représentée par B^ ^ c'est- àire, désignons par B^ la val'eur actuelle de i fr. , layable aux conditions énoncées dans le problème ; OQséquemment , sX,B^ désignera la valàur actuelle lu capital proposé, dépendant des mêmes circonsaaces.
Corollaire 2.
235. Au moyen des principes exposés dans le problème, nous pourrons trouver aisément la valeur actuelle d'une somme quelconque dépendant de la condition que C survive à A , c'est-à-dire payable ^ la mort de A^ pourvu que de deux têtes A, C, ce soit cette tête A qui s'éteigne la première. La valeur de cette somme sera égale à
formule que, pour les raisons énoncées ci-dessus, je représenterai par s X ji^>
De la même manière , la valeur d'un capital quelconque, dépendant de la condition que C survive
^ne supérieur se rapporCe à la condition du prëdécès de A , et le signé inférieur à la condition dn prëde'cès de B.
( i6o ) à B> sera trooyée égale à
que y pour les mêmes raisons^ je désignerai par s X B^' Ces formules se présenteront souvent dans les problèmes suivans.
Corollaire 3.
234« Si la condition mentionnée dans le pro^ blême, et dont dépend le capital proposé, est différée d'un nombre quelconque d'années n, moindre que la durée possible de lexistence simultanée des deux têtes , il est évident que les diverses séries verticales de l'expression générale donnée à la page i55 doivent être prises à partir du /i'^"" terme seulement; et continuer alors jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de ces termes, en opérant de la même manière que dans le probK XXII, corollaire I , sera trouvée égale à
expression que je désignerai par s X {^^Y'
Corollaire 4.
255. Ou bien, si la condition dont dépend le paiement de la sonoime donnée, est temporaire (c'est-à-dire si elle doit durer seulement pendant un espace de temps fixé n^ moindre que la durée possible de l'existence simultanée des deux têtes), il est évident que les différentes séries verticales de Texpression générale donnée à la page i55 ne doivent être continuées que jusqu'à n termes seulement, et leur somme, en opérant de la même manière que que dans le probl. XXII, cor. 2 , sera trouvée égale à
Mais, puisque
nous pouvons (en substituant ces valeurs de la même manière que dans le problème XXII ) , rendre cette formule plus convenable pour la pratique, par réimpression suivante :
+4^•âc-H)-^-^,s•^^,•^•"ic.^r■]
sss.ji" — s, {M'y, c'est-à-dire égale Via diflféreaoe T. I. n
( 1 6« ) qui existe entre la valeur actuelle du capital^ trouvée dans le problème , et la valeur actuelle du même capital , différé comme dans le corollaire précédent.
Corollaire 5.
SS56. Si les deux têtes sont égales entre elles , ou du même âge que A , l'expression générale dti problème devient égale à - X T^J^ , parce que le second terme de cette expression , ou
s'évanouit entièrement; d'où il suit.qu^, dans ce cas la valeur est égale à la moitié de la valeur actuelle de la somme proposée , payable à la dissolution du groupe des deux têtes.
Cette observation s'âppliqttera égàietnênt aux formules des deux derniers corollaires, pour les assutkùte&ûiffëréés Ou temporaires , et cela est évident par Mi^mèùie. Car puisque le Capital assuré n^^t ]^a|^ble qu'après la dissolution du groupé des deû4 têtes , èi comme il y a certainement chance ^àle ^tir ehacàne d'elles de survivre à l'autre , il est évident que ta moitié de ta valeur actuelle dû capital , payable' a la dissolution de ce groupe de têtes ^ sera la vraie valeur actuelle du capital dépendant de cette conditioa restrictive 9 soit que cette condition s'étende â
toute la durée de la vie, ou seulement à un laps de temps déterminé.
Observations sur la méthode dont M. Morgan s'est sen^i pour résoudre ce problème.
237. Je ne puis passer outre sans faire quelques observations sur la manière singulière dont M. Morgan a additionné les quatre séries verticales de la page i55, qui expriment la valeur actuelle diji capital désigna ^i payable aux conditions mentionnées dans Ifiproblèmei et je suis d'autant plus porté à le faire , que de sem-r blables expressions se présentent dans la plupart de< problèmes suivans^ et qu'il a adopté pourtour lamelle méthode bizarre et embarrassée,, (ie sorte qu'il ^arér pandii sur toutes ces questions une bfecurité que je vais m'efforcer de faire disparaître. M. Mor^n partage toute Pexpression en deux séries colUtér^le^iji qui sont : . / .
T-r^rL «* "^^ ^ j
* ria'—a")^ (^ a") y -j
' ,• . . ■- / . I- • -^ . '-i il^i^i
et forment évidemment la même série que celle que j'ai donnée à la page i35«
( "64) 22f8. Il remplace la première de ces séries verticales par une autre plus compliquée^ en la faisant égale à
"*"2(i-hç)'L^ ab b'^abj
H* etc. , etc. , etc. ,
et ^alors il procède à l'addition de ces dernières sé^ ries verticales de la manière suivante. Il fait la premier^
[indépendamment du multiplicateur commun -^
égale à jS^ la seconde égale à -^^AB y la troisièn^^
ff b* . ^
égale à • — 7~ri ^ T ' ^* '^ quatrième égale ^ jêff fj r-v-^Xr-, de manière que la valeur totale de c^^
qtiatre séries verticales (ou de la première de cell^^ de la page i63) devient égale à
En opérant de la même manière pour la seconde séri ^ verticale de la page i65, on trouve que la somns'
en estégaleà5,x|^-^^-^5, X r' + (f^*
Conséquemment ^ la valeur totale actuelle du capî'* tal désigné payable aux conditions mentionnées datB^
le problème, est égale à Ij^^^Xy-' — ^|^+^j^
239. Mais y assurément, il est inutile de dif^e à M. Morgan que 5 — ^-^x|- est égal a^^><y,
il que B^X T- — r-.— x est égal à . , , seulement.
[)onc la formule si gênante et si compliquée don* xée ci-dessus peut être représentée plus simplement
lire par une des formules quej'ai donnée dans lanote le la page 1 58. En vérité^ on ne conçoit pas facilement romment il a toujours, jugé nécessaire de se servir les quantités qui désignent la valeur d une annuité »ar une seule tête , puisqu'il est clair , par la nature nêmedes différentes séries delà page i63, que ces vaeurs ne peuvent pas appartenir au sujets et que 1$ solution du problème nHmplique pas d'autres quantités ]ue celles qui se rapportent aux groupes de deux êtes.
Comme cette étrange erreur se reproduit dans lous les mémoires que M. Morgan a insérés dans les Transactions philosophiques , relativement à ces chances et à d'autres semblables, j'ai pensé bien faire îD publiant ces remarques, non-seulement pour prévenir les difficultés qui pourraient résulter de la comparaison de ses formules avec celles que j'ai tîxposées ici, mais aussi pour dégager ces questions de tout ce qui n'y est pas essentiellement lié. Par la suite, j'aurai occasion de faire de semblables re-
marques sur sa méthode d'additionner les diverses séries où il s'agit de trois têtes ; voyez les observations du n*" 2S1 , etc. ^ à la du problème XXIX , et du no 272, à la fin du problème XXXV.
ie
PROBLÈME XXVm.
240. Déterminer la valeur actuelle d'une somme payable au décès de A^, pourvu que de deux tètes données A, B, cette tète A soit la dernière quî s'éteigne.
SOLUTION
Il est évident^ dans ce cas , que la diance qu'(F^ a de recevoir le capital à la fin de la première aim ^ née, dépendra d'une seule circonstance, je veo^ dire^ que les deux tètes soient éteintes dans ce la|p^ de temps, avec la condition que A soit mort le der-^ nier; la probabilité de cet événement,, pour la pi*^-*
miere année, est ^^ —r ^, qui, étant multm-*
plié par s{i H-p)""? ou la valeur actuelle du eapit^^ proposé , payable d'une manière certaine à la fin d^
l'année, donnera^ (i+p)-X (^ + ^~^— ^)
pour l'espérance qu'on a de recevoir ce capital à I^ fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes , 1^ chance qu'on a de recevoir la somme, dépend d^
1 un ou de Tautre de ces deux ëvéneinens » i*. ou les deux têtes seront mortes dans lannëe , A étant mort le dernier; 3*. ou seulemeat A sera mort dan^ cette anuëe , et B dans une des années précédentes. La probabilité du premier événement est, pour la
seconde année ^ ^ — ^ ®* ^^ probabilité du
second est^ pour le même temps, (i -— ^ t-X
Donc ces deux valeurs ajoutées ensemble et multipliées par ^(i^^f)""* donneront
ponr Tespérance qu'on a de recevoir le capital a la fin de U seconde année.
De la mêmç manière^ on trenivera que la pnobiH* liilité du premier événement çst^ pour Ij^ troîsièiOK
années (SLZI^^lz:*^ . et la probabilité du second
événement, pour le même temps, "^ (i — t- J;
donc ces deux valeurs , ajoutées ensemble et multipliées par f(i-l-p)— ^, donneront
pour l'espérance que Ton a de recevoir la somme ^ la fin de U troisjième année , et a^nsi de su^te ppur toute» les auuées suivantes, îu^qu aux dernières limites <ie la vie humaine ; et la somme de toutes ces valeurs
annuelles^ OU la série
ab . fl'A' . «'A ab'\
+ etc. , etc. , etc. , etc. ,
sera la valeur totale actuelle du capital s payable aux conditions du problème.
241. Mais la somme des deux premières de ces séries verticales est , d'après le problème XXII , égale k la valeur actuelle du capital proposé , payable an
décès de A, c est-à-dire égale à jj ' "^^ j , et les
quatre autres séries verticales sont les mêmes^ avec un signe contraire, que celles du dernier problème ^ dont la somme a été représentée par
Conséquemment j la valeur totale de ces différentes^ séries sera exprimée par s ^ A^ j.
(i) Cette expression est évidemment égale à celle qi^^ nous avons trouvée page 166 pour Tespërance de la pre^ inière année.
Corollaire i.
242. Après avoir ainsi trouvé la valeur actuelle 1 capital proposé , payable si A meurt après B , Q pourra trouver aisément la valeur actuelle du lème capital payable si B meurt après A > c'est-àire payable à la mort de B ^ pourvu que A soit lort antérieurement, en retranchant la valeur trouée ci-dessus de la valeur actuelle du capital proméf payable au dernier décès des deux têtes. On vu, dans le problème XXII, corollaire 3, que cette
valeur est exprimée par s X '""^ . p - — • . Donc ,
a valeur actuelle du capital proposé , payable si B Qeurt après A , sera égale à
Corollaire a.
243. Si la condition dont dépend le paiement du ^pital assuré est différée d^un nombre d'années n, ^oindre que la durée possible de l'existence de la ^e A, il est évident que la somme de tous les -rmes des deux premières séries verticales, après ^ n""' année , sera , d'après le problème XXII, co-
( »7o ) rollaire i , égale a s X ^ X -(ï4-p)^"^ et la
somme de tous les termes semblables des quatre autres séries verticales sera représentée par l'expression du second corollaire du problème précédent , prise en signe contraire. Donc, si Ton retranche la valeur trouvée par ce corollaire, de la valeur actuelle de l'assurance du capital proposé payable à l'extioclimi de A , pourvu qu'elle n'ait lieu qu'après le terme donné , la différence sera la valeur demandée.
Corollaire 3.
244. Si la condition dont dépend le paiement du capital assuré , commence à courir immédiatement, maïs ne doit durer quW nombre d'années déterminé rif moindre que la durée possible de la vie de A , ou y en d'autres termes , si nous voulons détenniner la valeur d'une assurance temporaire de C6 capital ; il est évident que les diverses séries verticales données dans le problème doivent être continuées seulement jusqu'à n termes. Or la somme des n premiers termes des deux premières de ces séries verticales sera, d'après le problème XXII, corol. 3^ trouvée égale à
donc si nous en retrauchons les n premiers terme* des quatre. séries restantes, comme nous les avon* trouvés par le corol. 4 ^^ problème précédent ^
( '71 ) la différence sera la valenr de Fassurance tem- 30raire demandëe.
245. Si les deux têtes sont égales ou du même ige que A ^ l'expression générale du problème denent égale, d'après ce qui a déjà été dit dans le :orollaire 5 du problème précédent, à
c'est-à-dire égale à la moitié de la valeur du capital désigné, payable au dernier décès des deux têtes.
