PROBLÈME XXIX
246. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A , B , C , cette tête A soit la première qui ^éteigne.
SOLOTION.
Pour qu'on reçoive le capital proposé à la fin d une innée quelconque , il est nécessaire que l'un ou l'autre de quatre différens événemens s'accomplisse : i**. ou toutes les têtes s'éteindront dans l'année, A étant ïnort le premier; a", ou A et B mourront dans Tan-
( «72 ) née, A étant mort le premier et C étant encore vivant à la fin de cette année ; 3*. ou  et C mourront dans l'aqnée , A étant mort le premier et B étant encore vivant à la fin de cette année; 4** ^^ seulement A mourra dans Tannée , et B et C seront encore vivans k la fin de cette année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont^ pour la première année ,
3abc ' 2abc *
i a-a). (c-c)b' ^^ { a-a')ù'c\ 2abc abc '
et si on les ajoute ensemble et qu'oa les multiplie par f (i + f)""', on trouvera
-(i4-f)-' X ( ^^^^ ^^^^g' aa^^ aa^i/ ^b'c a'he^ aht^ oVc\ ^ \4ibc abc abc abc abç abc abc abcj
pour l'espérance qu'on a de recevoir le capital à la fia ^ de la première année. ^
De la même manière , on verra que les probabilités i^specti ves de ces différens événemens sont , pour k seconde année,
{ a'— a") {b'^ b") (c'--c') {cl^ a') (y— Vy 3abc ' 'labc '
2abc abc '
si on les ajoute ensemble et qu on les multiplie par x(i + f)""S on aura l'espérance qu'on a de recevoir
.somme à la fin de la seconde année. Par un raiiDementsemblable,on trouvera les espérances qu'on le recevoir la somme h la fin de la troisième année , de toutes les années suivantes^ jusqu'aux dernières lites de la vie humaine ; la somme de toutes ces eurs annuelles y ou la série
/ aabc atf'ftV lafhc làah'c* ab'e Jhe' abc' t^h'c \
\ ahc abc abc abc abc abc abc abc J
r^y«J aii^yc^ aa"5V aa^A V tf^^V g^^c" a'b'c" a*'b"c' >.
*\. abc abc abc abc abc abc abc abc )
r'ia"b''c'' -àd-b' d' i€l'b''e ' id'b'd* a^V^ a'^b"*^ é^by t^b ^c'^
!\ abc abc abc abc ope abc abc abc J
etc. etc. etc. ete. etc. etc.
a la valeur totale actuelle du capital proposé^ ^able aux conditions du problème.
247. Or les sommes de ces huit séries verticales ^ lépendamraent du multiplicateur commun s^ sont pectivement égales à
i +ABC ABC i-\-A'B C V . „^ a, 3(1 + «) T 3(. +«)-a"*"^'^^'35
i+JB'C b' j„ ^ b, , x^-ABC d .„ c
-g(7+«r • * ""^-^'^ • sï"'""6(i+ç) • c — ^^<^* • 6^-
rà l'on voit que la somme de la première et de la onde est, d'après le problème . XXII, égale à
somme de la troisième et de la quatrième est
( i74 ) égale à
U somme de U cinquième et de la sixième est efifaie a
et la somme de la septième et de la huitième eit égale à
(k>ti9ëquemnient, la valear totale actuelle du capital , payable aux conditions ci-dessns mentionnées, sera égale à s multiplié par
'WHi — 35L~ô+ri ^^^^}
Comme cette formule se reproduira souvent dffisie cours des problèmes suivans, il conviendra de la re^ {présenter par une expression pfaas simple ; supposons donc quelle soit représentée par A^^^ c'est*4*dire désignons par A^ la valeur actuelle de i fr. payable aux conditions ci-dessus; par conséquent s x A^^àkr signera la valeur actuelle du capital proposé dépen^ dant des mêmes circonstances*
ConlMre i.
248. Si l'on voulait trouver: la Taleur actuéiltt du ipital , payable au décès de là tête B , ^urvu-qu'elle it la premièi^ qui is'éteigae de trois têtes données , )iis pourrions facilement obtenir cette valeur en bstituant' A à B et B à A dans la solution du proème. De cette manière On trouvera que là valeur tuelle demandée est égale à s multiplié par
*ar UQ procédé semblable on trouvera <pxe Ja^ yaleiir
cluelle du capital , payable au décès de la léte G ,
K)urvn qu'elle soit la première qui s'éteigne des tlH^is
^tes données « est égale à $ multiplié par
^ine ces formules poiirront être litiles par la suite,, I ai jugé convenable de les insérer ici.
Corollaire 2.
249. Si les trois têtes sont égales , ou du même âge que A, les trois derniers termes de chacune des expressions ci-dessus se détruisent l'un l'autre , et
la formule se réduit alors à x x , ^ . — , expression égale au tiers de la valeur actuelle du capital désigné, payable à la dissolution du groupe trois têtes.
Corollaire 3. ^
250. Si la condition dont dépend le paiement du capital assuré ne doit durer qu'un temps donné n^ la valeur actuelle de ce capital sera égale à la somme des n premiers termes des diverses séries données dans le problème , et le moyen de la déterminer est suffisamment indiqué par les exemples des problèmes précédens.
Observations sur la manière dont M»- Mor^d^
a résolu ce pN>blème.
251 Les raisons qui m'ont porté , à la page 163^ ^ examiner l'étrange méthode qu'a en^ployéeM» Morgan pour ajouter les diverses séries qui proviennent de b
ft
( 177 ) discussiou du problème XXVII, expliquent suffisamnieat au lecteur pourquoi je vais encore critiquer la manière non moins diffuse et obscure qu'il a aussi adoptée pour Taddition des diverses séries provenant de la discussion du problème dont nous nous occupons actuellement.
En examinant les séries de la page lyS, on verra qu'elles peuvent être présentées de la manière sui- Yanle :
(14-p) \~%abc "*" ^bc "*" 6a6c "*" ^abc J
(i+f)*L 3gAc 6g^»c "*" 6gAc "* 5"g&c J
, r(g^g'^&"c\ (g^'-a*^)&''cV fja^-a'^jrc^ (g'r— a«^)^«rc«>-^ ^{ï+fJ^L 5gAc "*" Qabc ■*" 6a^r "^ 3^c J 4. etc. etc. etc. etc.
€t c'est la manière dont M. Morgan a jugé convenable de représenter la valeur actuelle du capital proposé y payable aux conditions mentionnées dans le problème.
2S2. Voici de quelle manière il ajoute ces quatre
séries verticales.
Il développe la première en celle-ci 2
/ bc abc
(,^ç)\3^c lobe
■T" (i-f-ç)» \Zbc 3abc Zbc "*" labc )
+. ^tc, etc., etc.,
T. I. ijl
( '78) dont il égale la somme (indépendamment du mu
tiplicatem* commun ^) à B^C, ^ T^ — -^A^/ >
En opérant de la même manière y il égale la se conde série verticale du n* 251 (indépendammen
du multiplicateur commun g) à BÇ^x -^ — jàBC^y.-^ — TT\ X r + 1—c^ X 7- > *a troisième a B.Cy. r
^D ^ b^ BC ^^ c' , ABC c' , ,
quatrième a BC — ABC — r x i f-zT-
^ (i-l-ç) bc (i+ç
X 7—. Conséquemment , la somme des quatre se
ries verticales du n" 231 ( ou la valeur totale actuelle du capital payable aux conditions stipulée! dans le problème) , sera trouvée égale ^ comme i l'observe^ à ^ multiplié par
