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(i+C) ABC . . c' . BC ABC B'C . b'c
>< 6c + 3 "" 3 "~ (i+j) ^ îhc
^ AB'C Ud ■+"(i+c) ^ 3*c-
253. Maintenant, en donnant un moment d'al' tention aux différens degrés de l'opération, on s^
( ^79 ) convaincra que toutes les quantités qui impliquent deux têtes réunies ^ sont introduites ^^2/2^ nécessité j dans la formule ci-dessus; car elles se détruisent évidemment les unes les autres. En eflet,
^'*^' ^ bc (, + j) — (,+j)'
d'où la formule si compliquée donnée par M. Morgan peut se réduire à s multiplié par
3(i-+-ç) . ' 3^cL (it-ç) ' ' ' ' J
Cest absolument la même que celle que nous avpns trouvée à la page 174 i excepté le second terme
+ 3ÂZ- L"^fr+ç) ^^'^' • ^'''u ' .
<|oe l'on ^ si^bstitué à son égal
( i8o) On voit donc clairement que la foimule de M. Morgan comprend un nombre de termes double de celui qui est nécessaire pour résoudre le problème . ce qui fait que non-seulement elle est compliquée de quantités inutiles^ mais encore sujette à beaucoup d'erreurs dans la traduction arithmétique. Il est, de pi us> évident, par la nature même de la série de la page lyS, que ce n'est que fort improprement qu'on a pu y introduire des expressions impliquant deux tètes réunies^ et il est singulier que cette considération n'ait pas porté M. Morgan (s'il se proposait pour objet d'éclairer et d'instioiire), à repasser tous les degrés de son opération, pour la rendre à la fois plus simple et plus claire.
254. Mais il y a une autre partie de la solution de M* Morgan sur laquelle je juge également nécessaire de faire quelques observations. Il pi^tend que la formule qu'il a trouvée, comme nous l'avons vu plus haut, « donne la valeur exacte lorsque B oti C » est la plus vieille des trois têtes; mais que quand A n est la plus vieille, il devient nécessaire de chan- M ger les caractères, etc. », et il a donné une aulre formule pour résoudre le problème dans ce cas, avec d'autres caractères qui rendent la solution encore plus confuse. De tout cela il ressortirait que la première formule n'est pas applicable au second cas.
Mais la seconde formule qu'il a donnée est encore la même (quoique embarrassée des quantités étrangères et inutiles dont nous avoués parlé plus haut)>
( '8i ) que celle que j'ai donnée à la page 174 ^ si ce n'est qu'il a remplace le dernier terme
par son égal
"^ 6^ L — (T+TT ^A^-^.^Ji.
et il sera peut-être utile de remarquer que la for-, mule que j'ai donnée à la page 174 est unwerselrlenient vraie, et ne dépend pas des relations d'âge des tètes proposées^ Les substitution^^ mentionnées. ci-dessus sont des arrangemens purement arbitraires, pour la solution numérique du problème , dont on^ peut se servir ou non , au choix du calculateur..
2SS. Il est aisé de voir, d'après ce qui vient detre dit, que la formule qui désigne la valeur du capital dépendant de la condition énoncée dans le problème, peut être présentée de trois diflérentes oianières , selon qu'on ajoute différemment les diverses séries verticales données à la page 173. Mais, il n'est nullement nécessaire, ni même utile , de représenter ces trois diverses méthodes. M. Morgan,, après bien des longueurs et de la confusion , en a démontré seulement deux, mais en s'efforcant ainsi d eclaircir la question, il l'a certainement rendue plus confuse encore. On doit blâmer toujoujrs l'introduction de quantités inutiles dans la discussion d'ujii
problème , surtout lorsqu'on les conserve dans les formules qui en résultent; et des changemens capricieux dans les caractères employés sont également condamnables , non-seulement comme contraires aa véritable but de la science , dont l'objet est d'instruire et non de proposer des énigmes , mais aussi comme détruisant Tordre et l'harmonie dans les raisonnemens mathématiques.
J'ai jugé convenable de faire ici ces observations^ parce que ce problème est d'une importance considérable pour nous aider à résoudre plusieurs des questions suivantes, et que M. Morgan y a eu recours lui-même; ainsi les remarques que j'ai faites ici s'appliqueront également aux problèmes que M. Morgan a déduits de celui-ci. En vérité, je ne crois pas qu'on puisse troui^er un seul problème traité par lui dans les Transactions philosophiques ^ sur la valeur des assurances conditionnelles , pour lequel il n'ait pas adopté dans la discussion, cette méthode prolixe et confuse.
