PROBLÈME XXX

256. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A, B, C^ cette tête A soit la seconde qui s'éteigne.

SOLUTION

La somme peut être reçue à la fin de la première année, si Tun de ces trois différens événemens a

( i85 ) L€u^ I*. OU les trois têtes s'éteindront dans rannëe> \ étant mort le second ; :2*. ou  et B mourront lans l'année 9  étant mort le dernier^ et C vivant mcore à la fin de cette année ; 3"^. ou A et C mourront dans l'année y  étant mort le dernier et B irivant encore à la fia de cette année. Les probabilités de ces divers événemens sont respectivement

3abt' ' ' iiabc 7,abc

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)""S donneront Tespérance qu'on ^ de recevoir la sommé à là fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes ^ la somme désignée peut être reçue si l'un quelconque cle ces sept différens événemens a lieu ; i*. ou toutes les trois têtes s'éteindront dans l'année , A étant iBort le second ; 2"*. ou A et B mourront dans l'année , A étant mort le dernier et C vivant encore à la fin de Tannée; 3**. ou A et C mourront dans Taniiée, A mourant le dernier et B vivant encore à la fin de l'année; 4''* ou A et B seront moiis dans l'année , B mourant le dernier et C étant mort dans ïane des années précédentes ; S"*, ou A et C seront morts dans l'année^ C mourant le dernier , et B étant mort dans l'une des années précédentes ; &. ou senlemçnt A sera mort dans l'année y B vivant encore à la fin de cette année/ et C étant mort dans Vuiic des années précédentes ; 7**. ou enfin A seule-»^

(i84) ment sera mort dans l'année, C vivant encore h 1» fin de cette année, et B étant mort dans Tune des années précédentes. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la seconde armée ^

Sabc 7,abc ' 7.abc

2ab \ c/' 2ac \ b )^

Çi:^ (. e. <i^ (. -1) . e,p«,.

sions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j(i+p)""% donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde, an née. Delà même manière, on trouvera que les. probabilités de ces divers événemens, pour la troisième années seront représentées respectivement par

^abc ' 2,abc * o.abc

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