I -J. ABC ^jj^ probl.XXIX,coro]. i, on verra que xB'-ss C
( ao5 )
IX deux tiers de la valeur actuelle de la somme osée, payable à la dissolution du groupe des têtes.
rvations sur la méthode dont M. Morgan s'est servi pour résoudre ce problème.
2. Je ne puis laisser passer cette occasion d'ap- ' encore une fois l'attention du lecteur sur la ière bizarre et confuse dont M. Morgan trouve ileur de la série générale de la page 200 ; et ce ne porte à le faire , c'est qu'il parait qu'à meque M. Morgan entre plus avant dans ce sujets pand dans ses développemens encore plus de osion et de désordre. Je dois toutefois commen- »ar demander beaucoup de patience au lecteur^ t de le conduire à travers les détours de ce laithe mathématique.
. Morgan égale à la série suivante la somme espérances qu'on a de recevoir le capital proaux conditions stipulées dans le problème.
en
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(ao4)
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( ao5 )
273. Or 9 le3 six dernières séries latérales de FexîssioQ générale ci-dessuis peuvent se réduire aux w suivantes :
(« + d L 2^*^ aoôc J
('+?)* L m6c "^ nabc J
+ . etc., etc.;
is ce cas , cette expression > au lieu d'être corn- ;ée de vingt différentes séries, pourra se réduire 'en avoir que douze. Ou , si on les réduisait à leur s simple expression, elles formeraient précisent la même expression que celle de la page 200 , ne contient que huit termes différens. Mais, par *et de cette manière négligente et confuse de céder, on voit que la formule qui d&igne la va- ' d'une somnie dépendant de la condition meninée dans ce problème ne contient (par la mêle de M* Morgan), pas moins de vingt différens nés; et quand on considère que pour ojbtenir ces nés il est. nécessaire d'ajouter de trente à qua^ te séries différentes , on est frappé d'étonneit , et l'on se demande quel est le motif qui a pojTter l'auteur à poursuivre une ; aussi étrange thode.
(74^, Il y ^ cependant encore iuie autre partie 1 raisonnemens 4ç M. Morgan, sur laquelle je
( ûo6 ) juge égalemeot nécessaire de fiiire qaelcpies olMe YatioQS* Il dit que la formule donnée plus bi exprime la valeur exacte de la quantité efaerdi quand C est la plus âgée des trois têtes, maisq « quand A est la plus Agée , il faut changer » caractères », et, dans ce cas, il désigne par ( autre formule la valeur clierchée , et cette form diffère beaucoup de l'autre pour la forme et les ractères. Cependant quand on la dépouille des qu) tités inutiles et étrangères qu'elle contient , elle * vient absolument semblable à celle que j ai don à la page 202, excepté la quantité
qu'on a remplacée par son égale
~ SSL (i+çj ^z^'^- ''/*d ' :
275. M. Morgan ne peut ignorer que la V2 de l'assurance proposée ne dépend pas, dans ce des relations d^ge qu'ont entre elles les tête queation. Car quelque râleur qu'il donne aux* de A, B et C, et quelque changement quil subir aux caractères , il devra en venir toujcA la même série générale que j"âî donnée à la page' dont la somme peut s'exprimer de trois mat différentes, selon qu'on ajoute différemment le verses séries vertical^ qwi \h composent. Ef clùk de ces formules dé^nera la valeur de k so
a , aoit que  , B on C soit la plu» vieille is tètes.
d'aatant plus nécessaire de se pénétrer de sse de ces observations , que la soln^tsoa du problème nous mettra à même de déter-* la valeur des sommes dépendant dés connentionnées dans les problèmes suivans. Connenty plus nous simplifierons la dernière , plus nous aurons de facilité pour résoudre ^mes. Cette raison suffira donc pour ex-* itte digression.
FROBLÉBiE XXXn.
Déterminer la valeur actueUe d'un capital au décès de A ou de B^ pourvu qgiç Vmie têtes soit la seconde qui setçigue .de trois unées A, B^ C.
SOLUTION
mme proposée peut être reçue à Jb fin de la e année , si Tun ou l'autre d^i quatre événef fférens a lieu: x°. ou les trois têtes monr^ IS l'année » A ou B mourant le second ; a"^. ou pourront toi;^ deux dan$ Faonée, et C vivra la fin de Tannée ; 5*. ou A et, C mourront tous ns l'année, A mowant W dernier, et B étant ivant à la fin de cette aimée; 4^* <^u B etC
mourront tous deux dans cette année , B mourant le dernier, et A étant encore vivant à la fin de cette année. Les probabilités de ces divers événemens sont respectivement
2(g — a).(&— y)>(c — cf) {a'--a!).{b — b y
Zabc ' abc ^
2MC 7.abc ^
expressions qui , étant ajoutées ensemble et rnulti^ pliées par J (i + f)''\ donneront Tespérance quon a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais f dans la seconde année et les suivantes , la somme peut être reçue si l'un de onze diflërens événemens a lieu ; i"*. ou toutes les têtes mourront dans Tannée , A ou B mourant le second ; 2°. ou A et B mourront dans Tannée ^ et C sera encore vivant à la fin de cette année ; 3*. ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le dernier et B étaint encore vivant à la fin de Tannée ; /^. ou B et C mourront dans Tannée, B mourant le dernier et A étant encore vivant à la fin de Tannée; 5*. ou A et I mourront dans Tannée , C étant mort dans Tune de années précédentes ; &. ou A et C mourront daiK Tannée y A mourant le premier, et B étant mort dani Tune des années précédentes; 7'». ou B et C mour ront dans Tannée , B mourant le premier, et A étanl mort dans Tune des années précédentes ; S"", on sea lement A mourra dans Tannée , B étant encore vivant à la fin de Tannée et C étant mort dans une des
( 309 ) attnees pTécédente& ; g*, ou seulement A mourfà dans l'année, C étant encore vivant à la fin de Tannée et B étant mort clans une des années précédentes; 10". ou seulement B moun^a dans l'année , A étant encore vivant k la fin de l'année et C étant mort dans une des années précédentes ; lI^ou B seulement mourra dans l'année , C vivant encore à la fin de Tannée et A étant mort dans une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la seconde année ,
i{a^a").{b ' ^b").{c''-^c'') {a''-a").{b'^b")c" 3abc ' abc ^
(a'^a"),(c'—c'')b'' {b'^b").(c'^c")a'' 2abc ' liabc '
(&-^')-(c'-0 /^. A Ja'-p'W / c'\ ac V bP ab \:'~T)
{b'-b' y ( «\ AT"" Va;»
xpressions qui , étant ajoutées ensemble et niulti- Jiées par j(i+p)~*, donneront l'espérance qu'on I de recevoir la somme à la fin de la seconde anlée. De la même manière, on trouvera les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les suivantes , jus-
({u'aux dernières limites de la vie humaine; la TI. 14
somme de toutes ces valeurs annuelles sera la yaleui totale actuelle de la somme proposée , payable aui conditions ci--des8us.
Mais ces diverses espérances annuelles p étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres^ formeront dix-huit séries verticales, dont la somme sera trouvée égale à
Corollaire,
277. Quand toutes les létes sont égales , ou du même âge que A, cette expression (diaprés ce cpii a été dit dans le corollaire du prob. XXXj devient
, j y us I — P (3AA — 2,AAA) , »^
égale a -=- X — 7—7-^ - ou aux deux tiers
de la valeur actuelle de la somme proposée payable à l'extinction de deux quelconques des trois têtes données.
PROBLÈME XXXVTI.
278. Déterminer la valeur actuelle d'un capitsl^ payable au décès de A ou de B, pourvu que Yufi^ de ces têtes soit la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A, B , C.
( 2iï y
SOLUTION
La somme proposée ne peut être reçue à la fin de la première année que dans un seul cas : celui où toutes }es têtes s'éteindraient dans Tannée ^ C étant mort le premier ou le second* La probabilité de cet événement est
2(a^ «).(* — i/).(c~c) 3abc ^
expression qui , étant multipliée par ^(i+f)—% donnera ^espérance qu'on a dé recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, la sommé proposée sera reçue si Tun de six différents événemens a lieu: i*^ ou les trois têtes mourront dans Tannée , C étant mort le premier ou le second ; 3* ou seulement A et B mourront dans Tannée , C étant mort dans Tiiile des années précédentes ; 3° ou A et C mourront tous deux dans Tannée , A mourant le dernier et B étant mort daps une des années précédentes ; 4* au B et C mourront daiis Tannée, B mourant le dernier et A étant mort dans une des années précédentes ; 5* ou seulement A mourra dans Tannée, B et C étant morts dans une des années précédentes; 6"* ou seulement B mourra dans Tannée,, A et C étant morts dans une des années pré<tédentes. Les probabilités de ces divéra évêûth-
mens pour la seconde année sont respectivement
2(a'— a' ) . {b '—b') . {c'—c ') {a-a."),{b'—by c'\
iabc * ab V ~"W'
2,ac
V^Tj' 1^ K âj'
expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ,y(i4-f)""* donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière , nous pouvons trouver les es* pérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année , et de toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie hu' maine^ et la somme de toutes ces valeurs annuelles sera la valeur totale actuelle du capital proposé; payable aux conditions ci-dessus.
Ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres, formeront vingt-deux séries verticales, dont la somme sera trouvé égale à
Corollaire.
279. Quand les trois télés sont égales, ou dtt même âge que A , cette expression devient égale à
