X — ^^ T ^; Qu'aux deux tiers de
a valeur actuelle de la somme proposée* payable u dernier décès des trois têtes.
Scolie.
280. Si l'on ajoute ensemble les valeurs actuelles lu capital proposé , obtenues au moyen des problènés XXXV, XXXVI et XXXVII, on les trouvera îgales à la valeur actuelle de la même somme, )ayable au décès de A , ajoutée à la valeur actuelle le la même somme , payable au décès de B ; :est-à-dire que la somme de ces trois valeurs sera
lOUTée égale à ^[l;^! + 1=5^].
PROBI^ÈME XXXyiU.
281. Déterminer la valeur actuelle d'un capital', ^yable au décès de A ou de B, pourvu que Vune le ces têtes soit hi- première ou la seconde qui s'é» teigne de trois têtes données A, B, C.
SOLUTION
U est évident que dans ce cas. ,1e paiement de, la ^OQime proposée à la fin d'une année quelcoiique
dépend uniquement de la dissolution du groupe de tètes A B dans Tannée, indépendamment de C; par conséquent, d'après le prob. XXII, sa valeur actuelle
sera dans tous les cas égale ks x , ; —.
Scolie.
282. Dans les problèmes précédeue, nous avons pu obtenir des expressions exactes pour là valeur des capifiaux etk reversion qui dépendent des diverses oû3)ditions«pé nous avons examinées, tnaîs lesproiiSèmes sûivans impliquent^ pour la plupart, une «cimnee pour laquelle il est très difficile de trouver une expression qui en déstgn^^ exactemeot Ja valew et soit en même temps propre à Fusage général. La chance dont nous voulons parler est la probabilité qu'une tête en particulier a de mourir avant ou après une autre , pendant un espace désigné de leur existence simultanée. Ce sujet a déjà été discuté dans le cb^pitre Y, quassd il s'agissait de dét«enmiiler lay^^ur ^tqeU^ de oertain^s annmâés en rei^emonj^ et je yaÎB jspai&t^iiatit le oouâidiérer de iityqLveau danssan'^pf^ication à la manière de détermiixer la valeur acfuaUc des capitaux en reversion. Dans la discussion des problèmes suivans, les conditions particulières dont nous parlons seront exprimées en caractères italiques, Et puisque, au moyen des deux lemmes du chapitre V , on peut obtenir une expression plus convemlbl^ pour les espérances qu'on a d0 recevoir b
somme proposée après l'extinction de la plus vieille des têtes en question , je diviserai la discussion en deux parties distinctes ;. la première aura pour objet de déterminer la valeur de toutes les espérances des n premières années^ ou juscju'à l'extinction de la plus vieille des têtes en question ^ et la seconde de déterminer la valeur de toutes les espérances posté* rieures à cette époque.
PROBLÈME XXXtX.
283. Déterminer la valeur actuelle d'une somme payable au décès de A ou de B ^ pourvu que Vnne de ces têtes soit la seconde ou la troisième qui s'éteigne de trois têtes données A, B^ C.
SOLUTION
La somme désignée peut être reçue à la fin de la Nremière année si l'un de quatre différens événe* nens a lieu : i"^. ou toutes les tètes mourront dans ette année; 2^ ou A et B mourront dans cette anlée , et C sera encore vivant à la fin de cette année ; >**• ou A mourra après C dans cette année ^ et B era encore vivant à la fin de l'année; 4^* ou B QOurra après C dans cette année , et A sera eùcore îvant à la fin de l'année. Les probabilità; respectives
(2x6) de ces divers événemens sont
{a -- a) {b — b') {c -~ c) (g — a) [b — hy
abc ' abc *
nabc labc '
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + f)""', donneront l'espérance quoa a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, jusqu'à l'extinction de la plus vieille tête , la somme désignée peut être reçue si l'un ou l'autre de treize différens événemens a lieu : i**. ou toutes les tètes mourront dans l'année ; 2*. ou A et B mourront dans l'année, et C sera encore vivant à la fin de l'année; 5"*. ou A et C mourront dans Tannée, A mourant le dernier et B étant encore vivant à la fin de l'année; 4''« ou B et C mourront dans l'année, B mourant le dernier et A étant encore vivant à la fin de l'année ; 5*". ou A et B mourront dans l'année , C étant mort dans une des années précédentes; 6*». ou A et C mourront dans l'année , B étant mort dans une des années précédentes ; y*", ou B et C mourront dans l'année; A étant mort dans une des années précédentes; 8^. ou seulement A mourra dans l'année, B vivant . encore à la fin de l'année et C étant mort dans une des an^ nées précédentes; 9**. ou seulement A mourra dans l'année, C vivant encore à la fin de l'année et B étant mort dans une des années précédentes ; lo*". ouseu** lement B moun^ dans l'année, A vivant encore '^
fin de Tannée et C étant mort dans une des années :'écédenfes; 1 1"*. ou seulement B mourra dans 1 anie, C vivant encore à la fin de l'année et A étant Lort dans une des années précédentes ; 1 2"". ou seulelent  mourra dans l'année, etB et C seront morts ans une des années précédentes , B étant mort le remier; iS"". ou seulement B mourra dans l'année^ t A e^ C seront morts dans une des années précéentes y A étant mcrt le premier.
Les probabilités respectives de ces divers événe- Qens sont
abc ' abc
{d—a").{c*—c'')V (b'^b").(c'—c '')a'' aabc ' 'labc '
/ £\ (a'-a«).(c^^ c") r ^\ ab V"" c )' '^ \ b r
Te V""^>~"^3 V""^>
(^WV/, ^'\ {V^b^ a^ ( c'\
Vc V "?> ~^b v""r;^
^pressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par *(i + p)""*, donneront l'espérance qu'on a e recevoir la somme à la fin de la seconde année, ^e la même manière nous pouvons trouver les espé- ^aces qu'on a de recevoir la somme à la fin de la
troisième année ou de toutes les années suivantes; et si 1 on réduit à leur plus simple expression et qu'on arrange les unes sous les autres ces diverses espérances annuelles^ elles formeront seize séries verticales ^ dont la somme y si on les prolongeait jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , iserait tronyée égale à s multiplié par
i — fAï — (B .„ i-\-J'B a' i+Aff b' ' 1 + Â C 1-i- j4'C a, ï -4- BC i+B'C b' '
(l + ç) ' 2û * HO ' 2C
Mais cette expression ^ indépendamment du multipli* cateur commun s^ peut se réduire à
a — g(^ + ^ — 7.ABC) + AC+ BC . ^
pour plus de commodité^ je la représenterai par
284, Maintenant, puisque une partie seulement des diverses séries verticales précitées (séries qui son*
:«prëscfnt€cs par les quantités ci-dessus) doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , et qu'elles dépendent de Fâge comparatif des tètes proposées , il sera nécessaire de diviser la discussion du problème en trois parties distinctes , selon qjie l'une ou l'autre des tétcs proposées sera la plus âgée des trois; car dans tous les cas, ces diverses sé-^ ries verticales ne doivent être continuées que jusqu'à ïextiîiction de la plus vieille des trois têtes ^ parce que , /iprès cette époque , nous pouvons obtenir une valeur plus correcte de toutes les espérances ultérieures au moyen du premier lemme du chapitre V.
28S. P' CAS. Soit À la plus vieille des trois têtes; dans ce cas toutes les séries verticales dans lesquelles la tête A est impliquée doivent évidemment être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : mais toutes les séries dans lesquelles la tête A ne se trouve pas impliquée ne doivent être continuées que jusqu'au n''"' terme. Gonséquemment les quantités
i — çB i+BC vjrffC h'
deviewlront
La(i+ç) • b 2(i+ç) ^ bc^^^f^ J •
donc la somme des n premiers termes des dive séries verticales précitées (c'est-à-dire la somme toutes les espérances des n premières années) ^ viendra égale à s multiplié par
Mais après le décès de A y les espérances relat: aux diverses chances dont dépend le paiement capital^ peuvent être plus correctement exprin au moyen du premier lemme du chapitre V. < puisque la chance qu'on a de recevoir la somme fin d'une quelconque de ces années dépend d mort de B dans cette année, et de la mort de  térîeurement à celle de C dans une des années ] cédentes (on a vu dans le lemme que cette dern condition a une probabilité représentée par ^ s'ensuit que la somme des espérances de ces dive années, continuées jusqu'aux dernières limites d vie humaine; sera égale à
expression qui, d'après le problème XXII, co laire i , est égale à
* conséquent cette valeur, ajoutée à la somme n premiers termes des diverses séries verticales îcitées^ exprimera la valeur totale actuelle du »ital désigné dans le cas proposé , et sera trouvée lie à s multiplié par
^î «.«."^ X (i — fJB«)/8 4- ^' [(I + JB«Oo)/3 — (i-f- B'<»Co)/8'l I \a / . ac . i ■ j^ »
' b\\ 4-" ri"*'
286. II* CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes, nsice cas toutes les séries collatérales dans lesquelles tète B se trouve impliquée doivent être continuées iqu'aux dernières limites de la vie bumaine ; mais ites les séries dans lesquelles elle ne se trouve pas plîquée ne devront être continuées que jusqu'au terme seulement. Par conséquent les quantités
i — ^A i+AC \+A'C 4[
îviendront respectivement égales k
L^Ci+c) 2(1 +e) ^ ac ^' ^^' J
>Qc la somme des n premiers termes des diverses ries collatérales prédtées sera égale à s multi-
plié par
• 2(i+ç)*a^*^'^^ 2(i+ç) ^ac^*^^/
Mais après le décès de B , les espérances relatives aux diverses chailces dont dépend le paiement d|^a somme peuvent être exprimées plus correctement pour toutes les années suivantes au moyen du premier lemme du chapitre V^Car, puisque la chance qu on a de recevoir la somme à la En d'une quelconque de ces années dépend dé là mort d!e A dans Tannée; et de celle de B antérieurement à'celle de C dans une des années précédentes ( on a vu dans le lemme que la probabilité de celte dernière condition est représentée par (p) il s'ensuit , d'après ce qui a été dit pour le cas précédent, que la somme de toutes les espérances de ces diverses années y con1;inÀée& jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ^ sera égale à
Gonséquepament cette valeur^ ajoutée a la bommc des n premiers termes des diverses séries cpUàtéfales pré* citées, exprimera la valeur totale actuelle cfe la somme donnée dans le cas proposé , et sera trouvée égale à^ multiplié pat ' -,
287 . III* CAS. — Soit C la plus vieille des trois têtes, ns ce csis, toutes les séries collatérales dans leselles la tête G se trouve impliquée doivent être Qtinuées jusqu'aux dernières limites de la vie hu** aine; mais toutes les séries dans lesquelles la tête n'est pas impliquée doivent être continuées jus*l'au 71*'"' terme seulement. Conséquemment les lantités
mendront respectivement égales à
La(i+{) 'a 2(i+f) ' ab^'^'^ J
b(i + e) • * ad+j) • ab ^'t«^ J-
'onc , la somme des n premiers termes des diverses eries collatérales précitées sera égale à s multiplié par
"^ 2(i+d a ^ '^' 2(i+ri * '• ^'^^
Mais après le décès de C, la chance qu'on a de recevoir la somme désignée à la fin d'une des années suivantes dépendra de Tnn de ces trois événemens : i ^. ou Vune des têtes A et B mourra dans Tannée; 2*". ou seulement A mourra dans Tannée, B étant mort avant G dans une des années précédentes; 5^. ou seulement B mourra dans Tannée, A étant mort avant G dans une des années précédentes.
La somme de toutes les espérances qu'on a de recevoir la somme proposée dans le premier cas, pour touteslesannéesullérieuresjusqu'aux dernières limites
delà vie humaine, est, parle prob. XXII, cor. j , égale à
et la somme de toutes les espérances relatives aux deux autres cas est , comme précédemment , égale à
Par conséquent , ces valeurs ^ ajoutées à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, exprimeront la valeur totale actuelle de la somme donnée dans le cas proposé, et seront trouvées égales à s multiplié par
Corollaire.
>8. Quand les trois têtes sont égales, ou du même :[ue A^ les trois dernières quantités de la for- ! représentée par ]D s'annuUent entièrement , et ression générale devient égale à
Scolie,
9. Comme dans les problèmes suivans on aura mt occasion de rappeler les expressions xléduités i problème dans chacun de ses trois cas » il plus commode de les représenter par on caraciimple. Soient donc
,2 / ac
Alors la valeur actuelle de la somme proposée dépendant de la condition mentionnée dans le problème sera représentée respectivement par ces diverses formules
