ID

selon que A , B ou C sera la plu$ vieille des trois têtes.

PROBLËlàE XL.

. S90. : DétermiBer la valeur actuelle d'une aamine payable au décèa de A ou de 6 » pourvu que V^^ de ces tétes soit la pFemière ou U tkmière qm s'éteigne de trois têtes donnés A» B^ Q.

SOLUTIOIf.

Le paiement de la somme proposée à la fin de 1^ première année dépendra de l'un de ces six dif" fqrç^ta événcjipens; i\ 014 toutes le^ têt;^s^ mourront 4^an& l'année; 2?* ou A et B maurrout dai^ Y&né^ et C vivra encore à la fin de Tannée ; 5**. ou A et C mpurroi^ ^na l'année ^ À étant mort le premi^^ et B étant encore vivapt à la fii^ <le l'année; 4'- ^^

B et C mourront dans l'année , B étant mort le premier , et A étant encore vivant à la fin de l'année ; S°. ou seulement A mourra dans l'année , et B et C seront encore vivans à la fin de l'année ; 6°. ou seulement B mourra dans l'année, et A et C seront encore vivans à la tin de l'anaée. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la première année

abc ' abc ' zabt

{b^b'y.{c^c')a' [tir-t^) b'ç' {b~b')dc'

2«oc ' abç ' atfc '

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par s(^i-i-f)'~^, donneront Teepérance qu'on a de recevoir la somme à U fin de la première »aaée.

Mais dans la seconde anné^ et les auiv«ate$, la ' somme désignée peut être reçue si l'un de œuf différens évéoemens a lieu; es sont, en outre des six que nous venons d'énumérer , les suivans : j". oo  et B mourront dans l'année , C étant mort dans une des années précédentes; 8', ou seulement A mourra dans l'année et fl ci C seront morts dans uw des années précédentes y C étant wiort le premier ,• 9°. ou seulement B mourra dans l'année «t jf et C seront morts 4cms une des années précédentes ^ C étant mort le premier. Les probabilités resçeclives de ces divers événemens pour la seconde aQnée sont

abc ^ ab

expressions qui étant ajoutées ensemble et mulC:^ i" plîées par ^(i +?)*"* donneront Fespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde anne '^6* De la même manière , nous trouverons les espérai^mces qu'on a de recevoir la somme à la fin de ^a troisième année et de toutes les années suîvanter^ ^^ et si l'on réduit à leur plus simple expression c ^^cs diverses espérances annuelles et quW les dispose 1 ^^^ tines sous les autres^ elles formeront seize sérL ^s collatérales^ dont la somme ^ si on les continu^^it jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, ser^sait trouvée égale à s multiplié par

"expression; qui dépouillée du multiple commun^:

peut se réduire à la formule