, (^ 4- 5 + 2 ABC) — AC—BC
]ue pour plus de commodité je représenterai par (Kg.
291 • \" CAS. — Soit 'A la plus vieille des trois têtes*. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des ii verses séries collatérales précitées ^ sera en suî-. irant la même opération que dans le premier ca& iu problème précédent, trouvée égale à
^ 2(i+ç) ' b ^^^^^ ^ 2(i+ç) • bc y^^H
2(l+ç) • bc \^^V) •
Après le décès de A , toutefois , les espérances rei^ latives aux conditions du problème peuvent être plus correctement exprimées pour toutes les années suivantes au moyen du second lemme du chapitre Y; car, puisque la chance qu'on h de recevoir la somme a la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de B dans l'année et de la mort de A antér rieurement à celle de C dans une des années précédentes (on a vu dans le lemme que la probabilité de, oette dernière condition est représentée par i — ^ nfr)^
nous trouverons que la somme des espérances ultérieures jusqu'aux dernières limites de la vie humaine est égale à j(t — ^) X r^ V . T (i H- p)""*-
Conséquemment cette valeur ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries Collatérales précitées , donnera ^ (it -f- v) pour là valeur totale actuelle demandée.
292. IP CAS. — Soit Bla plus vieille des trois têtes. Daûis ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera ^ en opérant de la même manièi^ que dans le second cas du problème précédent ^ trouvée égale à
2(1 +ç) ac ^ ' ' ''
Après le décès de B^ toutefois, les autres espérances peuvent être exprimées plus correctement pour toutes tes années suivantes au moyen du lemme que nous attms cité pins haut; car, puisque la chance qu^on a de recevoir là somme à ta fin d^nne quelconque de ces années dépend de la mort de A dans Tannée ef de la mort de B antérieurement à celle de C ddnts une des années précédente^ (on a vu dans le lemmé que la probabilité de celte dernière condition est représentée par i — (p) , nous trouverons que la somme des espéranires de ces années, continuées
' ( ^5i ) ju9<}tt'Àtix defnièr^ lithites dé là vie hUttlàifié, e$t
égale à s(t — ç) X ^ . - (i + f)~". Par consé-
qaeht cette valeur ajoutée à la sornihe des n premiers termes trouvés ci-dessù§y exprimei^a la Valeur totale actuelle de la soilîme dounéé dans le cas J)W)jiOsé. trotte cette Vaietir lôtàlë est égale à
295. llï' CAS. — Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas^ la somme des n premiers termes des dîvétses séries collatérales précitées sera, éti bpé^ x^ant de la même manière que dans le troisième cas du problème pt^écédent, trouvée égale à
Màié, ^ptks le décès de C, lés é^perâhee!; fëlàtiVèS ^ux condition^ du problème peuvent êtfé exprimées plus correctement pour toutes les années suivantes ^u moyen du lemme que tioni ayons cité plus haut ; c^r la chance qu'on a de refcevoîr la somme à la
fin d'UBë de ces aiihées dépendra de l'un de ces trois événemens : 1 1 ou A et B mourront tous deux dans l'année; 2**. où A mourra dans l'année, B étant ^ort avant C dans une des années précédentes; 5\ ou B mourra dans l'atitiéc, A étant mort avant
C dans une des années précédentes. Les probabilités de ces trois évéoemens pour la (n + i)^^""
année sont respectivement ^*^* a > "~V*"^"ï)
et — T- Ti — 4r — *j: expressionsquiéfantajoutées
ensemble et multipliées par (i+p)""^"****^ donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (/H-ï)""' année.
De la même manière , les probabilités de ces événemens pour la (w+a)""' année sont respecti-
yement ^ ^, — — (i-<p y)
et — 7 — (i — ^ ), expressionsquiétantajoutées
ensemble et multipliées par (i+p)""^""*"*^ donneront Tespéraace qu'on a de recevoir la somme à la fin de la {n + 3)""*' année. En raisonnant de la même manière , on trouvera l'espérance qu'on a de re^ cevoir la somme à la fin de la (w-f-S)""' annéc; et ainsi de suite jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; la somme de toutes ces espérances annuelles y réduites à leur plus simple expression; sera trouvée égale à s multiplié par
Qule qui étant ajoutée à la somme des n premiers les des diverses séries collatérales précitées exaera la valeur totale actuelle de la somme déée dans le cas proposé. Donc cette valeur totale
égale à j(<tt+^H-z). '
Corollaire.
94. Quand toutes les têtes sont égales ou du ne âge que A, les trois dernières quantités de formule représentée par (C sannuUent entièreit , et l'expression générale devient alors
S colle.
S95. On voit que la valeur actuelle du capital igné, payable aux conditions stipulées dans le iblème, ajoutée à la valeur actuelle de la même nme, payable aux conditions stipulées dans le ^blème précédent , donne une somme égale à
< ^^f . T s d'où il suit que la valeur d'une
lies étant déterminée , on pourra facilement ob- \iv l'autre en retranchant cette valeur de l'ex- 3ssion générale que nous venons de donner,
pourvu que les âges soient les tnémes dans les deux exemples.
PROBLÈME XLl.
296. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , poui^vu que cette tête soit \dL seconde qui s'éteigne de trois têtes données ÂyB;C, et pourvu que C meure avant B.
