PROBLÈME XLII

- 298. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que cette tête soit , la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A,B,C, j, et pourvu que C meure avant B. ^

SOLUTION

'It

La somme désignée ne peut être reçue à la fia de la première année que si les trois têtes meurent dans cette Tannée et dans l'ordre indiqué dans k problème ; la probabilité de cet événement est

(.57) — L^ — L^ i ^ expression qui étant multipliée

>ar j(i+p)"S donnera Tespërance qu'on a de rerevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la iomrae proposée peut être reçue si l'un ou l'autfe le trois diiFérens événemens a lieu: i®. ou toutes es têtes mourront dans l'année, dans l'ordre déigné; 2*. ou A et B mourront dans l'année , A étant Qort le dernier et C étant mort dans une des anlées précédentes ; 5*. ou seulement A mourra dans aunée, et B et C seront morts dans les années pré- 'Mentes , C étant mort le premier. Les probabilités espectives de ces divers événemens pour la seconde nnée sont

6abc ' 7.ab \ c / '

pressions qui étant ajoutées ensemble et multi-

iées par j(i+f)""*, donneront Tespérance qu'on

de recevoir la somme à la fin de la seconde an-

e. De la même manière nous pouvons trouver

espérances qu'on a de recevoir la somme à la

de la troisième année et de toutes les années

vantes jusqu'à l'extinction de la plus vieille des

es proposées; et si ces diverses espérances annuel-

sont réduites à leur plus simple expression et

posées les unes sous les autres, elles formeront

atorze séries collatérales; dont les n premiers

termes varieront selon l'âge comparatif des tètes en question

299. P' CAS. — Soit A la plus vieille des troisr têtes. Dans ce cas, les diverses séries dont noasl parlons doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , parce que la tête A est impliquée dans chacune d^elles. Far conséquent, la valeur de ces séries sera égale à s multiplié par

+ ^B.C.^-'-^.^-+JBC,'t^\

expression qui, indépendamment du multiplicateur *|,

commun s , peut se réduire à t

k , ç (3^ + ABC) — 3A€ ,^AE j,

et que je représenterai par S. Donc quand A est U plus vieille des trois têtes» U valeur actuelle de 1^ somme donnée sera représentée par s >^ S.

300. IP CAS. — Soit B la plus vieille des trois têtes, ans ce cas, la somme des n premiers termes des disrses séries collatérales précitées sera trouvée égale à

[âis après FextinctioQ de la tête B^ la somme des spérances de toutes les années suivantes peut être las correctement exprimée , comme dans le second is du problèn^ç XL , par la formule

'ODc si Ton ajoute cette valeur à la somme des n remiers termes des diverses séries que nous venons e trouver y on verra que la valeur totale actuelle de L somme proposée , quand B est la plus vieille des x)is tètes ^ est égale ks(J^x).

301. lit* CAS. Soit G la plus vieille des trois têtes, ^ans ce cas la somme des n premiers termes des di* erses sériq^i collatérales dont nous parUms sera rouvée égale à

Mais après l'extinction de la tête C^ la chance €[u'( a de recevoir la somme proposée à la fin d'une ann quelconque ne peut dépendre que de deux ëyén mens seulement : i"*. ou  et B mourront dans Ta née,  étant mort le dernier; s*", ou seulement mourra dans l'année , B étant mort après C dans n des années précédentes. Les probabilités de ces de événemens pour la (72+ 0'^"' année sont

expressions qui, étant multipliées par (i + f)"^* donneront l'espérance qu'on a de recevoir la som à la fin de la (w-f-iy'"*' année. De la même manière trouvera les espérances qu'on a de recevoir la som à la fin de toutes les années suivantes^ jusqu'i dernières limites de la vie humaine ; et la somme toutes ces espérances sera trouvée égale à s mu plié par

Conséquemment cette valeur ajoutée à la somme n premiers termes des diverses séries précitées ex mera la valeur totale actuelle de la somme doni dans le cas proposé. Donc cette valeur actuelle égale à j(i^+z).

Corollaire.

302. Quand les trois têtes sont égales ou du même âge que A, les trois dernières quantités' de la fofhiùle représentée par S s'annulent^ et ^expression générale devient alors

i^g(3:^ ^AA-^- A A A)

c est-à-dire égale à la sixième partie de la valeur actuelle de la somme proposée; payable iiu*dérnîef ftécès des trois têtes. • ■■> 5»'|

PROBLEME XL^HI. : î »i

303. Déterminer la valeur .actuelle, d'iuft. Capital payable au d^pès de A , pourvu que cette Itête soit la première \o\x \dL seconde qui s'éteigne;, de trois /têtes doanées A , B^ C^ et pourvu que Cf dans te dernier cas, meure avant B. w;:r

soLurioir.

Le paiement de la somme à la fin de la fMremière ^anée dépendra de l'un des quatre événemens diflérens : i"". ou toutes les têtes mourront dans l'année^

 étant mort le premier, ou C étant mort le premier et  le second; 2°. ou  et B mourront dans l'année,  étant mort le premier et C étant encore vivant à la (in de Tannée; 3°. ou  et C mourront dans Tannée , et B vivra encore à la fia d^ Tannée ; 4*'« ou seulement A mourra dam Tannée , et B et C vivront encore à la fia de Tannée. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont

(fl— û') . (* - b') . {c—d) (a— a') {b ~ b')c'

2abc ^ nabc '

{a^a').{c—c')b' ^^ (a^a'Wc\ abc abc '

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multi* pliées par ^(i+p)""* donneront Tespérance qu'on a. de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme désignée peut être reçue si Tun de six évé* nemens différens a lieu : ce sont les suivans, en outre des quatre déjà cités. 5"", Ou  et B mourront dani TaMiee , A «nourânt le p^em]ef , et € étant mort datis^ime'ées années j^cédtântes; 6^ ou seuleriientA tnbUrra dani TaM^ , B vivunt rhtàtt k la fin ût Tan^ née f 6t G élafit môit Mue uiwe des aoàéei^ précédentes. Les probabilités respectives de ces- th. éténèmetis sont^ pour la seconde année ^

iabc * 2.abc '

{d—a').{c'—c")b' («'-a*)*V (a'— «0-(*'— *') / c\ -\ m^ ^' ^— » 'iik'-^ V-^c)'

( 245 ) expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par J (i + p)""*> donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. Et ainsi de suite pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : la somme de toutes ces valeurs sera la valeur totale actuelle de la somme proposée, et sera trouvée égale à ^ x -^^ , ou à la valeur actuelle de la somme donnée payable au décès de A, pourvu que cette tête soit la première qui s'éteigne des deux têtes A, B; comme nous l'avons trouvé par le problème XXVII. La vérité de cette conséquence est évidente, car un seul événement s'opposerait au paiement de la somme proposée , et ce serait que B mourut avant A (i).