PROBLÈME XLIV

304. Déterminer . La valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la seconde on la troisième qui s'éieigne de trois têtes données A, R, C , et pourvu que C meure avant B.

(i) Il n'est pas iûutile^de remarquèrici que la valeur trouvée au moyeB ie ce problème est égale' k la RonAmo des- vâleiirs trouvées au moyen des problèmes XXIX et XLI : cette coïRci(}eii^e est une pretive de Texactltude de l'opération. .

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année, si l'un de ces deux éyénemeos a lieu : 1°. ou loutes les têtes s'éteindront dan$ l'année; C étant mort le premier: 2°. ou A et C mourront dans l'année, C étant mort le premier, et B vivant encore a la fin de Tannée. Les probabilités respectives de ces événemens sont

(a — a').{ù'~ù')(c-c') ^^ {a^a)(c^c')b\ 3abc 2<ibc '

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j (i + p)""*! donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si l'un de cinq différens événemens a lieu : t**. ou toutes les têtes mourront dans l'année, C étant mort le premier; 2*. ou A et C mourront dans l'année, C étant mort 4e premier et B vivant encore à la fin de i^nnée; S"*, ou A et B mourront dans l'année , C étant mort dans une des années précédentes; 4''* ^^ seulement A mourra dans l'année, B vivant encore à la fin de Tanjoée, et C étant mort dans une des années précé^ Rentes; 5°. ou seulement. A niourra dans l'année, et S et C seront morts dans les années précédentes, € étant mort le premier. Les pi*obabiUtés respectives

(245) ces événemens sont, pour la seconde année,

Zabc ' nabc '

tressions quî^ étant ajoutées ensemble et multiîes par ^ (i + p)""*, donneront lespérance qu'on a recevoir la somme à la fin de la seconde année. De aême manière nous trouverons les espérances qu'on e recevoir la somme à la fin de la troisième année de toutes les années suivantes ^ et si l'on réduit diverses espérances annuelles à leur plus simple )ression^ et qu'on les dispose les unes sous les autres^ ;s formeront quatorze séries collatérales, dont la orne des n pi^miers termes variera selon l'âge nparatif des têtes en question.

505. I" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes, ns ce cas les termes des diverses séries dont nous rions doivent être continués jusqu'aux dernières lites de la vie humaine» puisque la tête A se trouve pliquée dans chacune d'elles : donc la somme en 'a égale à s multiplié par

i^^ABC , i+A'BC £ J Br ^^ i + AB'C ^ 6(i + «) ' 6(i+ç) •a~^'-^^-6«^" 6(f-fç) 'b

( :»46) expression qui , indépeadammeat du multiplicateur commun s, peut se réduire , comme dans les cas précédens, à

2 — ({3A—jiBC) + 3yiB—3AC i

r (i-3J'B + 3AC +A'BC)a' > «^ ^ l

et que je représenterai par <&.

Donc quand A est la plus vieille tête, la valeur

demandée sera représentée par s x,^.

306. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

Mais après le décès de B les espérances de toutes les années suivantes peuvent être exprimées plus correctement au moyen du premier lemme du chapitre V ; car puisque la chance qu'on a de recevoir k somme à la fin d'une quelconque de ces années de* pend de la mort de A dans l'année, C étant mort

( »47 ) avant B dans une des années précédentes (on a vu

datts le lemtne que la probabilité de cette dernière cooditiou est représentée par i — (p), nous trquVeroDi que )a somme des espérances de ces années, continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , est égale à

Par cooséquent cette yaleur, ^ioutée à le somme ies n premiers termes de la Siérie trouvée plus haut^ exprimera la valeur totale actuelle delà somme dou^ lée dans le cas proposé : cette valeur sera trouvée îgale à 5 . ((fc + jc).

307. II[* CAS. Soit C la plus vieille des trois tètes. )ans ce cas les n premiers termes des diverses séries lollatérales précitées geropt ég^ux à

Mais après le décès de C, la cbance qu'où 9 de rece*' roîr la somme proposée à la fin d^une quelconque les années suivantes dépendra seulement de la mort le A dans l'année , C étant mort avant B dans une les années précédentes j donc la somme des espérances de toutes les années suivantes sera représentée :omme dans le cas précédent par

Par conséquent cette valeur^ ajoutée à la somme des n premiers termes de la série trouvée plus haut représentera la valeur totale actuelle de la somme donnée dans le cas proposé : cette valeur sera trouvée égale

Corollaire,

308. Quand les trois têtes sont égales, ou du même âge que A, les trois dernières quantités de la formule représentée par <8> se détruisent l'une Tau* tre , et l'expression générale devient alors

PROBLÉBIE XLV.

309. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la première ou la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A^B^C, et pourvu que G, dans le dernier cas, meure avant B.

(i) Il n'est pas mutile de remarquer ici que la valeur ol>* tenue au moyen de ce problème est égale à la somjne des var leurs obtenues au moyen des problèmes XLI et XLII j par là se trouve confirmée l'exactitude de ces résultats et des raisonnemens qui y ont conduit.

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin de L première année si l'un de quatre ëvënemens difirents a lieu : i*. ou toutes les têtes mourront dans année y A étant mort le premier; ou C étant mort î premier, B le second et A le dernier ; a*, ou A et B lourront dans cette année, A étant mort le prelier et C vivant encore à la fin de l'année; 5** ou L et C mourront dans l'année , A étant mort le pre^ aier et B vivant encore à la fin de l'année; 4* ^^ eulement A mourra dans Tannée, et B et C vivront ncore à la fin de l'année. Les probabilités respectives ie ces divers événemens sont