abc ' 2ÛÔC

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nabc ' abc

'^pressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par s (i+p)"* donneront l'espérance qu'on L de recevoir la somme à la fin de la première limée.

Mais dans la seconde année et les suivantes la ^mme proposée peut être reçue si l'un de six événemens a lieu: i*. ou toutes les têtes mourront dans 'année, A étant mort le premier; ou C étant mort e premier, B le second et A le dernier; a*, ou A et

B raourront dans l'année, A étant mort le premier, et C vivant encore à la fin de Tannée ; 5'. ou A et C mourront dans l'année , A mourant le premier, et B étant encore vivant à la fin de l'année ^ Z^"*. ou seulement A mourra dans Tannée , et B et C vivront encore à la fin de Tannée ; S'*, ou A et B mourroat dans Tannée, A étant mort le dernier, et C étant mort dans une des années précédentes; &*. ou seulement A mourra dans Tannée et B et C seront morts dans une des années précédentes y C étant mort k premier. Les probabilités de ces divers événemens pour la seconde année sont respectivement

^Éb^m^-^^Ab

aabc ' nabc '

labc ' 2ab

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expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par '^(i+p)'"*, donneront Tespérance qu'on a d^ recevoir la somme à la fin de la seconde année* Delà mêmejtnanîère , nous pouvons trouver les espé" rances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes jusqu'à Textinction de la plus vieille des têtes pfo^ posées; et si ces diverses espérances annuelles sont réduites à leur plus simple expression et disposa les unes sous les autres, elles formeront douze sétiei collatérales, dont les n premiers termes varieront selon l'âge comparatif des têtes en question.

cmens : ]*"• ou A mourra après B dans l'année; *. ou seulement A mourra dans l'année, B étant sort après C dans une des années précédentes. La omme des espérances relatives à ces événemens a déjà té trouvée, dans le troisième cas du problème XLII, gale à

^^2(i-ue) • ab ^ ^*^W

'Xpression qui étant ajoutée à la somme des n preïiiers termes des diverses séries collatérales préitées rendra la valeur totale demandée égalé à

315. Quand les trois tètes sont égales ou du même ge que A , les trois dernières quantités de la formule eprésentée par ^ se détruisent mutuellement, et

(i) Il n'est pas mutile de remarquer ici que la valeur trou-* '^e au moyen de ce problème est égale à la somme des deux valeurs obtenues au moyen des problèmes XXIX et XLII : ^reufe irrécusable de rexactitude de l'opération.

diverses séries collatérales précitées sera égale à

Mais après le décès de B^ la valeur des espérances de toutes les années suivantes peut être plus correctement exprimée y comme dans le second cas du prob. XL par

expression qui étant ajoutée à la somme des n premiers termes trouvés ci-dessus, rendra la valeur totale actuelle de la somme donnée , pour le cas où B est la plus vieille des trois têtes , égale à

312. IIP GIS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

Mais après le décès de C , la chance qu'on a de recevoir la somme désignée à ia (in d'une quelconque des années suivantes dépendra de l'un de deux évé"

3iDens : i *"• ou  mourra après B dans rannée; • ou seulement  mourra dans l'année , B étant ort après C dans une des années précédentes. La mme des espérances relatives à cesévénemensadéjà é trouvée y dans le troisième cas du problème XLH^ aie à

pression qui étant ajoutée à la somme des n preiers termes des diverses séries collatérales prêtées rendra la valeur totale demandée égale à

Corollaire,

315. Quand les trois têtes sont égales ou du même [e que  , les trois dernières quantités de la formule présentée par ^ se détruisent mutuellement^ et

(i) Il n'est pas inutile de remarquer ici que la valeur trou-* ie au moyen de ce problème est égale à la somme des deux ilenrs obtenues au moyen des problèmes XXIX etXLIIt "eufe irrécusable de l'exactitude de l'opération.

(a54) Texpression générale devient dans ce cas égale à jïi