PROBLÈME XLVI
314. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A et de B , pourvu que ces deux têtes soient les premières qui s'éteignent de trois têtes données A^B^C.
SOLUTION
Pour qu'on puisse recevoir la somme à la fin de la première année, il faudra que Tun de ces deux | é vénemens ait lieu : i "* ou toutes les têtes mourront j dans Tannée y C étant mort le dernier; 2', ou les l« deux têtes A et B imourront dans Tannée, et C vivra . encore à la fin de Tannée- Les probatulîtés reipec-
tjves de ces deux événemens sont
Zabc ' abc ' ï
expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées i pwTi iï (i-f^p)"*', donneront l'espérance qu'on a è^ recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais f dans la seconde année et les suivantes , la ^œme proposée peut être i^çue si l'un de six éyénet^ns différents a lieu: i*". ou toutes les têtes mourant dans Tannée^ C étant mort le dernier; 2*. ou et B mourront dans l'année et C viyra encore à la 1 de l'année; 3^. ou A et C mourront dans l'année, étant mort le premier, et B étant mort dans une is années précédentes ; 4*"* ou B et C mourront dans nnée , B mourant le premier et A étant mort dans le des années précédentes ; S"", ou seulement A ûurra dans l'année, C rivant encore à la fin de innée et B étant mort dans une des années précé- ;ntes; 6^, ou seulement B mourra dans l'année, C vaut encore à la fin de l'année, et A étant mort dans le des années précédentes. Les probabilités respectes de ces divers événemens sont pour la seconde
mée
(fl'—a") . {b'^b") • {c'—c") , (a— a") . (b'—b'Y
3abc ^ abc *
ac
^pressions, qui étant ajoutées ensemble et multipliées ar j(i-|-y»)-*, donneront l'espérance qu'on a de Bcevoir la somme à la fin de la seconde année. De I même manière nous trouverons les espérances u'on a de recevoir la somme à la fin de la 'f r6f srièlne Uaée «^ d« toutes les awMef stirraritèis jusquMM'
( 256 ) dernières limites de la vie humaine : et, si Ton réduit à leur plus simple expression ces diverses espérances et qu'on les dispose les unes sous les autres , elles formeront seize séries collatérales, dont la somme sera trouve égale à s (J^+ B^ — ASf^ )•
Corollaire.
315. Quand les trois têtes sont toutes égales, ou du même âge que A , cette expression (d'après ce qui a été dit dans le corollaire du problème XXX) devient
égale à s x -^^^^^ — ^r—: — ^ • c'est-à-dire égale au
tiers de la valeur actuelle de la somme proposée; payable à l'extinction de deux quelconques des trois têtes données.
PROBLÈME XLVU.
■ - I SOLUTION
Il e$]^ évident que la somme proposée ne peut étr^ r^çpe à . la fiq de la première année que dans le cas
Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable
au décès à.e EL et de'&f pourvu que ces deux têtes ;
soient les dernières cjxiï s'éteignent de trois têtes don- ;
nées Â^B^C. 1
( 257 ) où toutes les têtes s^éteindraient dans lannëe, C étant mort le premier. La probabilité de cet événement est
i L^ 1-i L^ expression qui multipliée par
s (i +/)""* donnera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si l'un de quatre différens événemens a lieu : i"". ou toutes les têtes mourront dans Tannée, C étant mort le premier; 2"*. OU A et B mourront dans l'année, C étant mort dans une des années précédentes ; S"", ou seulement A mourra dans l'année , eîB etC seront morts dans une des années précédentes , B étant mort le dernier; 4''. ou seulement B mourra dans Tannée, et A e^C seront morts dans une des années précédentes j A étant mort le dernier. Les probabilités de ces divers ëvénemens , pour la seconde année , sont respectivement
3abc ' ab
i=i:(,»i).(,£i)e,*:=ï(,i).(,îv
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j(i +/)"•, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année* On trouverait de la même manière les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième ^nnée et de toutes les années suivantes; et si Ton réduit ces diverses espérances à leur plus simple ex- T. I. ly
]pression^ et qu'on les dispose les unes sous les autres ^ elles formeront dix-neuf séries collatérales , dont la somme; si on les continue jusqu'aux dernières limites de la yie humaine ^ sera égale à s multiplié par
i-f-^C i+^'C a i + BC i+ffC h'
expression qui, indépendamment du multiplicateur commun s y peut se réduire à
. I r ('— 3^-g+3^'C+^gOa' , . D^ 1
+63xL (.+^) ^H-^^,C.3iJ
et que je représenterai par 3.
517. 1*' CAS. Soit A la plus rieiUe d«s trois têtes- Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à
(259) Miais après le dëeès de A , la somme des espérances le toutes les années suivantes sera , eomme dans le premier cas du problème XL , exprimée plus cor rec*« ement par
xpressîon qui , étant ajoutée aux n premiers termes [ue nous venons de trouver, rendra la valeur toale actuelle demandée, quand A est la plus vieille es trois têtes, égale à ^(3 -f- (;).
518. II* CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. >ans ce cas , la somme des n premiers termes des iverses séries collatérales précitées sera égale à
