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lais après le décès de B , la somme des espérances le toutes les années suivantes sera , comme dans le Kcond cas du problème XL , plus correctement ex^- »riiiiée par
^pression qui , étant ajoutée aux n premiers termes [ue nous venons de trouver, rendra la valeur de- (landée, quand B est la plus vieille tête, égale à
319. UV CAS. Soit C la plus vieille des trois tètes. Dans ce cas^ la somme des/s premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à
-«^' * Ci -4- p\-'-J^ZîËl ^ r, u «V.
Mais après le décès de C, la somme des espérances de toutes les années suivantes sera , comme dans le troisième cas du problème XL, plus correctement j exprimée par s multiplié par
(i+«) ab^ ^rJ
expression qui , étant ajoutée aux n premiers termes déjà trouvés , rendra la valeur demandée ^ quand C ^ est la plus vieille tête, égale à ^ (3 +^-|- z).
Corollaire,
320. Quand toutes les têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités d^ la formula
*ësentée par 3 se détruiseiat l'one l'autre, etFexsion générale devient, dans ce cas, égale à
-à-dire égale an tiers de la yaleur actuelle de la me proposée , payable au dernier décès des trois
TROBLËBAE XLVUI.
H. Déterminer la valeur actuelle d'iilË^^à^ilâl ible au décès àe A^et deH^ pourvu que ce^ détik'
soient la première et la demiire' failli it de trois têtes données A , B , C.
SOLUTION. ■
I somme proposée ne peut être reçue à la fin de
*emière année que si les trois têtes meurent dans
année , C étant mort le second. La jfrôbàbilitë^
(t événement est *''"
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ession qai^ étant multipliée par f (i ^ f)''';i
collatérales dont nous parlons seront égaux a
Mais après le décès de  ^ la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de deux différens événemens : l^ ou B et C mourront tous deux dans l'année , B étant mort le dernier ; 2"". ou seulement B mourra dans l'année , C étant mort après A dans une des années précédentes. Les probabilités de ces deux événemens^ pour la (/i+i)' année, sont respectivement
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j(i+/)'"^"^'^, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin delà (n+ 1)' année. De la même manière , les probabilités respectives de ces deux événemens, pour la (n + 2)* année, sont
expressions qui , étant ajoutées eosemble et multipliées par ^ ( I + p)""^""*"*^, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la («H- ^y année; et ainsi de suite pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : la somme de toutes ces espérances annuelles sera trou*
( 365 ) égale à s multiplié par
abc
:ette formule étant ajoutée aux n premiers termes diverses séries collatérales précitées , rendra la eur totale actuelle de la somme proposée, quand st la plus vieille tête , égale ks (fSi — v).
(23. Il*" CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. 18 ce cas , les n premiers termes des diverses séries latérales précitées seront égaux à
Ls après le décès de B , la chance qu'on a de recer la somme à la fin d'une des années suivantes dé*idra de l'un de deux événemens différens : ou A ] mourront dans l'année > A étant mort le dernier ; ou seulement A mourra dans l'année, C étant »rt après B dans une des années précédentes. Les )l)abilités de ces deux événemens, pour la (w+i)' née, sont respectivement
( 266 ) expressions qui^ étant ajoutées ensemble et multi pliées par^(i4-p)^""*"'\ donneront l'espérance quon a de recevoir la somme à la fin de la (/t+i)' lonée. De la même manière nous pourrons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (n -f- ^y année et de toutes les années suivantes Jusqu aux dernières limites de la vie humaine; et la somme de toutes ces espérances annuelles sera trouvée égale à s multiplié par I
formule qui ^ étant ajoutée aux n premiers tânu^s des diverses séries collatérales précitées , rendra la I valeur totale actuelle de la sâmme proposée , quand B | est la plus vieille des trois têtes , égale à j (fi — x\ ■
524* Iir CAS. Soil C la plus vieille des trots têtes. < Daoâ ce cas ^ la somme des n premiers termes des dt* verses séries collatérales précitées sera ^ale à
1 + ^5'» «fl' , .
Mais après le décès de C, la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de deux événeraens différens : i**. ou seulement A mourra dans l'année^ C étant mort après B dans une des années précédentes ( la probabilité de cette dernière condition sera maintenant représentée par ^); !2\ ou seulement B mourra dans Tan-^ lée, C étant mort après A dans une des années pré-^ rédentes (la probabilité de cette dernière condition era maintenant représentée par^). Par conséquent a somme des espérances relatives à ces événemens , :ontinuées jusqu'aux dernières limites de la vie hunaine , sera égale à
xpressions qui , étant ajoutées à la somme des n preliers termes des diverses séries collatérales préitées, rendront la valeur totale actuelle de la somme roposée^ quand C est la plus vieille tête^ égale
(i) II ne sera pas inutile de remarquer ici que la somme des aleurs actuelles obtenues au moyen des probl. XL VI, XL VII
tXLVIII, est égale à tf X ' "" ^ , . ,"^ <• , c'est-à-dire
gale à la valeur actuelle de la sofntne proposée , payable au crnier décès des desm têtes A , B.
roi
Corollaire.
325. Quand les trois têtes sont égales ou du même âge que A, les trois dernières quantités de la formule représentée par fi se détruisent l'une Tautre , et Texpression générale devient alors égale à
j — ^{3A—3AA-h A A A)
c'est-à-dire égale au tiers de la valeur actuelle de U somme proposée payable au dernier décès des trois têtes.
