PROBLEME XLIX
326. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A e^ y/c B , poyrvu que B meure avant une autre tête C.
SOLUTION
Le paiement de la somme à la fin de la première
année dépendra de l'un de ces deux événemens :
I **. ou toutes les têtes mourront dans l'année j B étant
'mort avant Cj a**, ou seulement A et B mourront
dans Tannée ; C vivant encore à la fin de l'année. Les
'obabilités respectives de ces deux évënemens sont
{a-a') (b—b') (c—c') ^^ {a-a') {b-b')c' \ 7.abc abc '
pressions qui^ étant ajoutées ensemble et multiiées par s (i+p)""* , donneront Tespérance qu'on de recevoir la somme à la fin de la première née.
Mais dans la. seconde année et les suivantes, la mme proposée peut être reçue si Tun de sept dif- 'ens événemens a lieu : i"". ou toutes les têtes mour- Qt dans Tannée , B étant mort avant C ; 2«. ou A B mourront dans Tannée , et C vivra encore à la i de Tannée; S"", ou A et C mourront dans Tannée, 3tant mort dans une des années précédentes; 4"** ou et C mourront dans Tannée, B étant mort le pre** ier et A étant mort dans une des années précéntes; 5°. ou seulement A mourra dans Tannée, étant mort dans une des années précédentes , et C ^ant encore à la fin de Tannée; 6°. ou seulement B 3urra dans Tannée, C vivant encore à la fin de nnée, et A étant mort dans une des années préientes; 7°. ou seulement A mourra dans Tannée, B et C seront morts dans une des années précé^ rites j B étant mort le premier. Les probabilités ^pectives de ces événemens, pour la seconde an* e, sont
{d^à').{b ' —b'').{c'^c'') {a' •-a") . {b'-b")c" nabc ' abc' '
Te V ~ TJ' Wc V'~ W'
-V-bh—bT-V-^J
ac
expressions qui, ëtant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i -f- p)"*> donneront Tespérance qu'on a de recevoir la sommé à la fin de la seconde année. De la même manière on trouvera les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes^ jusqu'à Textinction de la plus vieille tête, et si l'on réduit ces espérances annuelles à leur plus simple expression , et qu'on les dispose les unes sous les autres, elles formeront quatorze séries collatérales, dont les n premiers termes varieront selon l'âge comparatif des têtes en question.
327. I*"" cis. Soit A la plus vieille des trois tètes. Dans ce cas, les n premiers termes des diy^erses séries 4:ollatérales précitées seront égaux à la somme des termes continués jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , parce que la tête A se trouve im^ pliquée dans chaque série. Donc leur valeur iett égale à s multiplié par
i — çA i + AB. i+A'B a' , i+AC i A- A'C d
« » I ■ I I ■ < ia»^«0i*i*— *— »
( 27» ) as cette expression peat se réduire à
yi{A-^BC—ABC ) ^AB + AC {A'B—A'C)a'
3 \^^^^-(.B.C-JB,C).t:]+JBC,.^;
•mule que je représenterai par C. Donc quand A la plus vieille tête ^ la valeur actuelle demandée représentée par s y, €.
Î28. W CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes, ns ce cas ^ les n premiers termes des diverses séries latérales précitées seront égaux à
2(1 +ç) a^ ^ ^^ î^(i+ç) ûc
is après le décès de B, la somme des espérances de ites les années suivantes, continuées jusqu'aux *nîères limites de la vie humaine , sera ( comme is le second cas du problème XXXIX) égale à
pression qui , étant ajoutée à la somme des n pre-> lers termes des diverses séries collatérales préci- 3s y rendra la valeur totale actuelle de la somme
oposée égale a ^ (C •— jc).
( 37^ ) 329. IIP CAS. Soit G la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les n premiers termes des diverses se'ries collatérales précitées seront égaux à
Mais après le décès de G ^ la somme des espérances de toutes les années suivantes peut être plus convenablement exprimée, comme dans le cas précédent, ; par /
^•^xV+'t •^(^+P)""'
expression qui, étant ajoutée aux n premiers termes [( des diverses séries collatérales précitées, rendra lâ n valeur totale actuelle de la somme donnée, dans le ! cas proposé , égale ks (i — z). |
Corollaire, ]
330. Quand les trois têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités de la formule représentée par C se détruisent Tune l'autre, et l'expression générale devient égale à
