PROBLEME L
331. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, et de B^ pourvu qu'une autre tète C meure avant B*
SOLUTION
Le paiement du capital désigné à la tin de la première année ne dépendra que d'un seul événement ; il faudra que toutes les têtes s^éteignent dans l'année , G étant mort avant B. La probabilité de cet événement est
:tabc ' '
expression qui, multipliée par ^ (i + p)-', donnera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes^ la somme proposée peut être reçue si Fun de cinq dif-^ férens événemens a lieu : i^. ou toutes les têtes mourront dans Tannée , C étant mort avant B j a®, ou A et B mourront dans l'année , G étant mort dans une des années précédentes ; 5**. ou B et G mourront dans
Tannée, G mourant le premier^ et A étant mort dans TL i8
( 374 ) une des années précédentes; l\. ou seulement B mourra dans l'année^ et A et Oseront morts dans une des années précédentes ; 5% ou seulement A mourra dans l'année y et B et Ça seront morts dans une des années précédentes , B étant mort le dernier» Les probabilités respectives de ces divers événemens, pour la seconde année , sont
nabc ' ab \ cj'
expressions qui^ étant ajoutées ensemble et mullH pliéespar ^(i -f- p)*"% donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin dé la seconde année. De la même manière nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme a la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, jusqua l'extinction de la plus vieille tête ; et si l'on réduit ces espérances annuelles à leur plus simple expression, et qu'on les dispose lés unes sous les autres, elles formeront dix- sept séries collatérales, dont les n premiers termes varieront selon Tâge comparatif des têtes en question.
332. I*"" CAS. Soit A la plus vieille des trois tètes. Dans ce cas , les diverses séries collatérales dont noos parlons doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine puisque la tête A se
( ^l5 ) rouve impliquée dans chacune d'elles: donc leur ^omme sera égale à s multiplie par
' HO ' 2(1 +ç) ' . ' 3iÔ ' 2C
Mais cette expression peut se réduire à
Formule que je représenterai par JBH. Gonséquemment pand A est la plus, vieille tète » la valeur demandée 2st représentée par s x iW.
335. n"" CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera é^le à
Mais après le décès de B ^ la somme des espérances de toutes les années suivantes sera plus correcte-
ment exprimée, comme dans le second cas du problème XL, par i
expression qui^ étant ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, I rendra la valeur totale actuelle de la somme donnée , ^ quand B est la plus vieille tête , égale à s (iW + x).
334. Iir CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à
2(1 +f) ^ ab
+ -57x:rX:;l(»-H') ■•
Mais après le décès de C, la chance qu'on a de rece voir la somme proposée à la fin d'une des anné^ ^ suivantes dépendra de l'un de trois événemens dîF^ — férens : i*". ou A et B mourront dans Tannée; 2^o^«ï seulement B mourra dans Tannée , A étant mort danivs une des années précédentes; S"", ou seulement ^/^ mourra dans Tannée, B étant mort après G dans uci^ des années précédentes. Les probabilités respectives de ces événemens, pour la (/» + j)' année , sont
Oi-«') (fi-ë^) (0—fi')
ab
( ^77 ) «xpressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par J ( I + p)"'^""*''^^ donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (n -{- i)' année. On trouvera de la même manière les espérances de la (iT<-h 2)' année et de toutes les années suivantes , jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et leur somme sera égale à s multiplié par
formule qui, ajoutée aux n premiers termes des diverses séries collatérales trouvées plus haut, rendra la valeur totale actuelle de la somme proposée, quand C est la plus vieille tête, égale à s (Mi -f^ z).
Corollaire,
335. Qi^and toutes les têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités de la formule représentée par M se détruisent l'une l'autre et l'expression générale devient alors égale à
c'est-à-dire égale à la moitié de la valeur actuelle de la somme proposée , payable au dernier décès des trois têtes.
Scolie.
336. Puisque la somme des valeurs actuelles de la ^mme proposée trouvées par les deux derniers problèmes est égale à
SX ^—
ou à la valeur actuelle de la somme proposée , payable au dernier décès des deux tètes A^ B^ il s'ensuit que la valeur actuelle d'une d'elles étant trouvée , oo obtiendra aisément par une simple soustraction la valeur actuelle de l'autre*.
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