D'après cela , on verra clairement que Tcxpression

qui ^ dans le problème I , corollaire i , d&îgne la valeur d'une annuité sur la têle A, deviendra

or cette série peut être divisée en deux autres, dont j^ la première est L

et la seconde qui doit en être retranchée est «

Mais la première, que je représenterai par /, esl égale à la valeur actuelle d'une annuité certaine pendant Fespace a, et la dernière est égale à

par conséquent la valeur totale actuelle de l'annuité est , dans cette hypothèse , égale à

( 285 ) 540. De la même manière, l'expression

li représente la yaleor d'une annuité sur un groupe I deux tètes A B , deviendra , dans cette hypothèse ,

r(a-i).(ft-i) (a-a).(M (a-3).(&-3) {a-bUM) "]

ne qui ne doit comprendre que b termes j B étant la os vieille des deux têtes. Mais si l'on développe , en èctnant la multiplication, les numérateurs des ictions composant cette série ^ l'expression entière lut se diviser en trois autres séries distinctes , qui nt

a+ b ah

L(i+rt ^ (i+er "*■ ('+€)' "*"'"*' (i+c)U

' s L(i+7) "^ ô+7r "*■ Ô+7? "*"•'• (w^cYJ'

la jHremière de ces séries est égale à la valeur actuelle 'une annuité certnine pendant l'espace h^ et je la eprésenterai par y ; la seconde est ^ d'après ce qui a té dit plus haut , égale à

ah ^ r^ '

et la troisième est égale à

Conséquemment la valeur totale actuelle de lannuité sur uo groupe de deux tètes est égale à

j iï

341. En raisonnant de la même manière ^ on trouvera que l'expression

qui désigne la valeur d'une annuité sur le groupe de trois têtes A B C, deviendra, dans cette hypothèse; égale à \

'■il ' r (a— 1).(6— i).(c— I) , (a— 2) . (&— a) . (c— a) . abcL (1+,) "*" (!+{)»

série qui doit être continuée jusqu'à c termes seu- : lement, C étant maintenant la plus vieille tête. ; Mais la série entière , si l'on développe ses termes^, peut se convertir en quatre autres > qui sont

j^4ac+^g r 2 , a 3 ^ c "]

abc L(i+ç)^(H-€)*^(i+€)^'^'"*(i+ç)d'

la première de ces séries est égale à la valeur elle d'une annuité certaine pendant l'espace c, ur que je représenterai par^, et les autres peu- ' être ajoutées de la même manière que dans le précédent ; donc la valeur totale actuelle d'une iité sur les trois têtes réunies est égale à

î-^TK'*+^'-'-'-")-?x

12. Mais depuis la publication des tables exactes a valeur des annuités^ déduites d'observations les, ces formules sont devenues de rare ou de

usage I et l'on n'y a presque jamais recours, oins qu'il ne s'agisse de trouver une valeur aplimative d'une annuité sur des têtes dont les

ne se trouvent pas indiqués dans ces tables, imoins l'hypothèse elle-même est encore d'un id usage dans la théorie des annuités^ et facibeaucoup plusieurs calculs qui s'y rattachent, iculièrement lorsque la chance qui fait l'objet problème est temporaire seulement, comme on erra évidemment par le problème suivant.

i iSè )

PROBLÉBIE U.

543. Trouver la valeur d'une annuité sur une têle donnée y pendant une partie de l'existence de laquelle les décroissemens de la vie sont considérés comme uniformes.

SOLUTiOK.

Soit A la tête donnée ^ et n l'intervalle des décroissemens égaux , soient encore a le nombre de personnes vivantes à Tâge de A , et a le nombre de personnes vivantes à un âge plus avancé de n années, et représentons par cT les décroissemens égaux de la vie. Alors la vaileur d'une annuité sur cette tête sera représentée par la série J

qui pent se diviser en deux parties,

dernière de ces séries est , d'après le problème 1 , rollaire 5, égale à j4^, ou égale à 1^ valeur d'une nuité sur sur la tête A , différée de n années ; et la 3mière peut se diviser en deux autres , qui sont

Dt on trouvera aisément , d'après ce qui précède , e la somme est égale à

nséquemment la valeur totale de l'annuité sera

Mais puisque J^ est toujours égal à (i), cl

lisque jé^ est égal à

i peut rendre cette expression plus con^mode pour

(i) On peut généralement prendre cette formule pour la ^ie valeur sans erreur sensible , niême quand les décroisse- -1^8 ne sont pas exactement réguliers.

la pratique en y faisant ces substitutions; cette valeur deviendra donc

Or Ton voit, d'après les tables d'observations de Northampton , que les dëcroissemens de la vie sont presque uniformes durant tout l'intervalle compris entre 20 et 80 ans; si donc on a une fois calculé la valeur d'une annuité sur une tête âgée de 60 ans, la valeur d'une annuité sur une tête de tout âge intermédiaire peut être aisément déduite de la formule que nous venons de donner , et sera a très peu de chose près la véritable valeur demandée.

Exemple. Supposons que le taux de Tintérêt soit de 5 p. 100; dans ce cas la valeur d'une annuité sur une tête âgée de 80 ans sera 3,5 1 5 : et si nous voulons en déduire la valeur d'une annuité sur une tête de 20 ans, la formule deviendra

^^-513; L 6oXo,o5 X ^<>5 X 18,9295

ce qui approche bien de 14^007 ou de la véritable valeur donnée par le^ tables. Et si l'on considère (p^ la valeur ici trouvée ne pourrait être déduite i^

( 289 ) orollaire de la page 22 , sans qu'on calculât soixante 3rmes de la série donnée à cette page , on reconaitra nécessairement Futilité de cette formule.

Corollaire,

344. Si l'on demande la valeur d'une annuité temporaire pour un espace déterminé n , et que cet îspace se trouve entièrement compris dans l'intervalle les décroissemens égaux indiqués par une table quelconque d'observations , la série

lésignera , dans ce cas y la valeur exacte; et c!est ine formule d'une très grande utilité quand on ne X)ssède pas de tables d'annuités déduites d'observaions réelles; si les décroissemens sont égaux à peu le chose prqs , la formule ne différera pas sensiblenent de la véritable expression.

Exemple. Supposons qu'on veuille trouver la vaeur d'une annuité temporaire de ^o ans sur une ^ète âgée de 20 ans, en supposant l'intérêt à 5 p. 100 îtla mortalité conforme aux tables de Northampton. Dans ce cas la formule deviendra ,

ia,462i-. g^^^^^^^ ^^^g X(i,o5x ia,462a - aox 0,3769) = 10,844 j

( ^o ) taleùr exacte d'une annuité temporaire de la ans 8UF une tête âgée de :2o ans; car Ton verra t k table XXV que de 1 âge de 20 ans à celui de 4o^ les décroissemens de la vie sont égaux. La valeur déduite de la règle du n° 47, est 10,847.

545. Ce problème et son corollaire serviront à montrer quel utile parti on peut souvent tîrer de ITiypothèse de M. de Moîvre, et de quelle manière on doit s'en servir toutes les fois que roccaàioû s^en présente. Mais puisque les décroissemens de la vie sont surtout irréguliers dans les premiers et les derniers âges de l'existence, et ne sont uniforoiesou à peu près tels qu'aux âges intermédiaires^ ou voit que cette hypothèse ne peut être employée sans danger que pour déduire la valeur des annuités oa des assurances temporaires. A cet égard elle est d'une tatilité extrême , et épargnera souvent tes calcub h^ plus laborieux* C'est de cette manièt^ '^né M. Morgan a bîeti vduhi s'en servir, encore fâ*-t-il fait ftirfiye^ mdnt, et , je ne sai<$ ^our qtteïïe ràisoû, après avoir p>réatablement nié qu'il dût efi faire aucuif usagts

J'observerai ici que les règles dôtit on se seM poor déterminer la valeur des annuités cpii dépendent de la v4e entière d'un eerlatn nottïhréâe tête^ ttréé^cl'un dtrfrc nombre queîconqiae de têtèS, an ûcè^ annuités en réversion ou dépeiiâtitit d*une siirvîvâhce >. et en ^néral potir ré^oud^é leé proUhème» e6ntentis dans les chapitres II , III et IV de cet ôuffage, sont absolument les mêmes avec l'hypothèse de M. de Moivre ou les observations réelles. Car dins chacun de ce»

( 291 ) ^u, la solation de ces questions se déduit de tables iudiqûant les valeurs desaonuités sur jine tête ou ua ^fotipe de plusieurs têtes, et par conséquent l'utilité DU l'inutilité de l'bypothèse de M. de Moivre quant à la valeur des annuités ^ dépendra toujours des propo* si lions fondamentales que nous avons traitées plus baut.

Mais pour déduire la valeur des assurances ou des [Capitaux |>ayables au décès , ses règles sont certainement beaucoup plus simples que celles déduites d'obovations réelles; et il eût été heureux que cette bypothèse eût pu être admise pour toute la durée de la vie. Comme il n'en est pas ainsi, nous devons nous contenter deâ facilités qu'elle donne souvent pour déterminer, en beaucoup d'occasions, une valeur très approchée des assurances ten^raires.

De la manière de troui^er par approximation la valeur des annuités viagères.

346« Je ne puis clore ce chapitre sans faire ob-« lerver l'utilité et la convenance des formules déluited de l'hypothèse de M « de Moivre , pour nous imener à trouver^ d'après les valeurs des annuités ur une ou plusieurs têtes à un taux quelconque d'inérêt, les valeurs des annuités sur les niêmes têtes, à m autre taux d'ititérât. Pour développer cette ndé*- :hode , j'observetai que , d'après l'hypothèse de M. de. Moivre^ la vie moyenne d'une tête quelconque est s^ale à la moitié de son complément de vie. Consé*^

( ^92 ) queniment le complément de vie d une tête est égal à deux fois sa vie moyenne. Si donc nous substituons deux fois la vie moyenne d'une tête, déduite d'observations réelles, aux quantités a, b om c dans les formules générales des n"* 559 , 540 et 541 , les valeurs provenant de ces substitutions approcheront généralement beaucoup plus des valeurs exactes que celles obtenues en faisant a^ bon c égal au complément de vie de la tête proposée, d'après l'hypothèse de M. de Moivre. Ou bien (ce qui est tout ce qu'on demande en cette occasion) la diflFérence entre les valeurs d'une annuité sur une ou plusieurs têtes, déduites de cette manière de la vie moyenne de ces têtes, h deux taux quelconques d'intérêt, sera presque la même que la différence entre les valeurs exactes d'une annuité semblable, aux mêmes taux d'intérêt, déduites d'observations réelles. Par conséquent, quand la valeur d'une annuité à un taux quelconque d'intérêt est donnée, on obtiendra facilement une valeur très approchée d^une semblable annuité à un autre taux, au moyen de la première différence dont nous parlons ; comme on le verra évidemment par la règle générale qui suit.

Appelons la valeur exacte ^ calculée d'après un taux quelconque d'intérêt , la premièiie valeur.

Appelons la valeur déduite des vies mayemves au même taux d'intérêt , la seconde valeur.

Appelons la valeur déduite des vies moyennes à un autre taux d'intérêt , la troisième valeur.

Alors la différence qui existe entre la seconde et k TROISIÈME valeurs, retranchée de ou ajoutée à la

( 293 ) PREMIÈRE valeur y selon que la seconde est plus graude ou moindre que la troisième, sera. la valeur approchée de lannulté à l'autre taux d'inte'rêt proposé.

Exemple. Quelle est la valeur approchée d'une annuité sur une tête âgée de 20 ans, à l'intérêt de 4 P- ï^o, en la déduisant de la valeur exacte à 5 p. 100 et d'après les observations de Northamp-

ton?

La PREMIÈRE valeur, ou la valeur exacte à 5 p. 1 00 , est, par la table XXVII, égale à 14,007. La seconde valeur, déduite au même taux d'intérêt de la vie moyenne au moyen de la formule du n* 559,, est égale à

(1) Quand le double de la vie moyenne forme un nombre mtier accompagné de décimales, comme il arrive le plus louvent , la valeur d'une annuité payable pendant ce temps )cut être facilement obtenue de la manière suivante. Suppoions que le nombre d'années soit, comme dans le cas actuel, î6,86. La valeur d'une annuité de 66 ans est, d'après la able LIX, 19,201 , et la valeur d'une annuité de 67 ans, îst 19,239. La différence entre ces deux valeurs est o,o38 ; h >n multiplie cette différence par la partie décimale 0,86 . et jii'on ajoute le produit o,o33 à la moindre des deux valeurs , jn aura 19,9-34 pour la valeur de l'annuité de 66, 86 ans.

En comparant la seconde et la troisième valeurs ici obtenues, c'est-à-dire i3,95get 16,984, aux valeurs dç la. table XXVII, on trouvera qu'elles approchent beaucoup plus

(294 ) La TROISIÈME valeur^ déduite de la même formule à 4 p- 100 y est ëgale'à

DODC

sera la -valeur approchée que l'on demande, et elle ne diffère que d'une unité du dernier ordre de la ▼ajeur exacte donnée à la table XXVIl.

347. Les mêmes principes sont applicables au cas d'un groupe de deux têtes, et Ton trouvera que dans les deux cas les valeurs déduites sont souvent sensiblement les mêmes que les valeurs exactes; que généralement la diflFérence n'excède pas la vingtième ou la trentième partie de la rente d'une année ; que cette différence est moindre dans le cas d'un groupe de plusieurs têtes que dans celui d'une seule tête; et qu'elle est la même , qu^l quç soit Iç taux de Fintérêt (i).

des valeurs exactes que celles obtenues au moyen de Fhypothèse de M. de Moivre , et données à la table XLIX. On voit donc que la formule de M. de Moivre, donnée à la page 282 peut quelquefois être utilement employée pour trouver promp' tement et par une seule opération , une valeur approchée dW annuité, déduite d'observations réelles.

fi) Price a démontré par un grand nombre d'exemplea 1» vérité de ces assertions. Le même auteur remarque que ces

De la valeur des annuités viagères croissantes^

348. L'hypothèsç de M. de Môîvre nous fournît aussi une formule utile et commode pour déterminer la valeur des annuités viagères croissantes; c^e5t-4i* dire des annuités de i fr. , 2 fr. ,3 fr. , etc. (ou tous multiples de ces somnies), payables à la fin de 1^ a, 5, • . . années respectivement^ si la tête A existe à ces diverses époques; car la série exprimant cette valeur sera évidemment égale (d'après ce qui a été dit à la page 28:2) à

expression qui pourra être divisée en deux autres

léductions so^t si aisées ^ surtout dans le cag d'une seule tête, t approchent si près des vraies valeurs , qu'il regarde comme DUtile de calculer à plus d'un taux d'intérêt les valctirs exitdtë^ ['après chaque table d'obser valions. Mais quelque utiles que oient les règles ci-dessus dans la pénurie actuelle de tables xactes , il n'en serait jpas moins précieux de posséder de nouelles tables à divers taux d^intérêt; et j'espère que Xeé per-» oon09 qui pourraient entreprendre par la siïîte cette tiAehe aborieuse^ ne se laisseront pas inflaenicerpu* une ^excuse aHi^ àible et aussi blâmable. L'utilité réelle et l'objet des tables, le tout genre est d'épargner dti temps et du travail , et de; prévenir les erreurs.

séries, savoir

L(i4-ç) ^ (i+ç)' "^ (i+ç)' ■*"•••• (i+€rJ Pour abréger les calculs , supposons

Alors la somme des deux séries ci-dessus, ou la va-* leur de launuité demandée sera représentée par

Mais d'après ce qui a été dit au n* 359 , on verra que la valeur d'une annuité sur une seule tête A est représentée par

et d'après ce qui a été dit au n"" 340, que la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes égales AA est représentée par

( ^97 ) Donc

par conséquent

a{A '-^ A A) zszsc — -

sera la valeur de rannuité croissante demandée ^ d'où nous déduisons la règle suivante.

349. De la valeur d'une annuité sur la tête donnée, retranchez la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes égales et du même âge que la tête donnée , multipliez le reste par le complément de vie , ou deux fois la vie moyenne de la tête donnée , et le produit sera la valeur demandée.

Exemple. Supposons que la tête proposée soit âgée de 40 ans et que l'annuité soit de i fr. la première année, n fr. la seconde, 3 fr. la troisième, et ainsi de suite dans l'ordre des nombres naturels. Quelle est la valeur actuelle de cette annuité, en supposant l'intérêt a 4 p* 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton?

Ici nous aurons ^ = 1 3, 1 97 , A A = 9,820 et a , ou deux fois la vie moyenne, = 46, 16; par conséquent

46,16 X (13,197 — 9i82o) = 155,882 sera la valeur demandée.

Si Tannuité était de lo fr., 20 fr., 3o fr., etc. la. valeur actuelle serait x 55,882 x 10. Ou si elle e'taît de i5 fr. , 3o fr., 4^ fr., etc., sa valeur actuelle serait 1 55,882 x, j5.

Mais quand Tannuité commence par mie somme supérieure à i fr. et s'accroît seulement de i fr. par année , nous devons ajouter à la valeur trouvée plus haut la valeur d'une annuité sur la tête donnée, multipliée par le premier paiement diminué d'uae unité; et la somme est la valeur demandée. Ainsi si Fannuité, dans le premier cas cité plus haut était de i5 fr., 16 fr., 17 fr. , etc., nous devrions roultiplier 15,197 par i^, et le produit, ou i84i7^5 ajouté à 155,882 donnerait 340,640 pour la valeur demandée.

354. Ces exemples et beaucoup d'autres peuvent servir à montrer d'un coup d'œil la grande utilité de Thj^pothèse de M. de Moivre^ Les ca$ d'application les plus fréquens nous cou vaincront de son importance pratique; mais son mérite principal t^nsisieeQ ce qu elle conduit nos recherches dans ];>eau£Oup de branches de cette théorie, où l'analyse ordinaire n'etlt pu être qu'extrêmement embar]:assée et soU" vent même eût complètement échoué; elle est donc bien loin de mériter les fausses et méprisantes épi' thètes de misérable et d'absurde*

V»wV»»(W»V»>W^M»%%»»»VVV»%<M<^WO<l>»VW vW«(«WMWVM««VVV%Ar vWVV»VW¥^l^»<»>»i<»V\»WW»W»*MH<<a>

CHAPITKE X.

DB LA VALEUR PES ANNUITES PAYABLES PAB 8EIIIESTEUB9 ETC. DES ASSURANCES PAR SEMESTRE 9 ETC. ET DES ANNUITES ■YP0TBDBQUBE8 SUR IMMEUBLES.

352. Dans les chapitres précëdens , les valeurs des annuités ont été calculées dans la supposition qu'elles Jont toutes payables annuellement , comme il arrive in effet le plus fréquemment. Mais comme d'autres îonvenlions pourraient se présenter, il sera utile de connaître les limites des différences provenant de ces nrconstances. C'est donc pour ne rien laisser à désirer »ur ce sujet que j'entreprends les raisonnemens qui font cuivre, et que je ne ferai précéder d'aucun lutre préliminaire (i).

(i) Celui qui touche une rente viagère par semestre a un louble avantage sur celui qui reçoit une même rente annuelement ; car , outre l'intérêt de chaque paiement pendant six Tiois, il a la chance de recevoir un paiement semestriel de ^lus que celui qui touche annuellement. De la même manière y ^lui qui touche par trimestre a un double avantage sur celui ^ui touche par semestre^ etc., etc.

( 5oo )

Si a, af, a", a'", etc. représentent les nombres de personnes vivantes à l'âge de A et aux âges plus avancés que A de i ^ 2, 3 , etc. années , d'après ce qui a été dit au n° 23; alors

—^ — , — ■ — , etc.

désigneront les nombres de personnes vivantes aux âges plus avancés que A de ^, i ^,2 5-, etc. années; ces nombres, quoique n'étant pas strictement exacts dans tous les cas^ rempliront le but que nous nous proposons, et seront aussi près de la valeur réelle que nous pouvons le désirer. Par conséquent , la valeur actuelle d'une annuité sur la tête A payable /?flr semestre est égale à

i — "— r + FTl-^H ^ +

-!.(, + ,)i"C+e)',(,^^)-(.+cV

série qui peut évidemment se partager en deux autres , savoir

— r H H H 5 + etc.

La dernière de ces séries est égale à —; et lapreniièrÊ

( 5o. ) i peut encore se diviser en deux autres séries

égale à

ne la valeur totale actuelle de l'aïuiuité est égale à 14-^. ('+ C)'^ aCi+e)'^+i+ ^+(i-K)^

4(<+cr 4(>+er

kf ais puisque la quantité . , a

passe rarement l'unité d'une quantité considéle (i), cette expression peut être prise, sans erreur

[) Quand le taux de l'intérêt est de 2 p. loo par aii, la ntité dont il s'agit est égale à i^oooosS , et quand le taux de 10 p. 100, elle est égale à 1,000669 ; on peut de là se ner une idée de sa valeur à tout taux intermédiaire.

sensible^ comme égale à

et puisque

4(i+rî^

est rarement inférieur à :J: (i) d'une quantité considérable, l'expression peut eiicore se réduire à jé +1- C'est-à-dire que , si à la valeur de l'annuité payable annuellement on ajoute le quart de la rente dune année j là somme sera^ à très peu de chose près, h valeur de la même annuité payable par semestre. Cependant 09, pourrait aisément déterminer les vâr leurs exactes au moyen de TcKpression générale cidessus.

353. Si nous voulofîiî déterminer la valeur actuelle d'une semblable annuité payable par trimestre ^ nous prendrons

d+3a" Saf'+a" d'+Za^

(i) Quand le taux de rintérêt est de 2 p. 100 par an, cette quantité est égale à 0,2478 , et quand fintérêt est de 10 p. 100, elle est égale à o,2384; maison voit que quand cette quantité diminue, celle nientionnëe dans la note précédente augmente/ par conséquent ^ -iH i est,, à fort peu de those près, U i^éri'^ Cable vaieuK.

pour représenter les ûombres de personnes vivantes à la fin de ^, |, 1 ^, I |, 2 ^, 2 |, etc. années. D'où la valeur actuelle d'une annuité sur la tète A payable par trimestre sera trouvée égale à

tea*-

Mais cette série peut se diviser en quatre autres , savoir :

— ri 8 »

(3o4) DoQC la valeur totale actuelle de Tannuité est égale à

— 8 •" "TTTl ^ Ï6 •- 4

= 4(1 -He)'^ -f (4+e) - ('+e)"' + a(a-Fe) - (»+g)^ +4+3{ ,

j I 3(i+e)^-ha(i+{)^ + i

Mais, puisque l'expression fractionnaire par laquelle j4 est multiplie excède rarement l'unité d'une quantité considérable (i), cette formule peut être prise, sans erreur sensible, comme égale à

i6(i+çr

et puisque cette dernière expression est rarement inférieure à x (2) d'une quantité considérable, cette

(i) Quand Tiutérêt est de 2 p. 100, cette quantité est égale à 1,000087, et quand l'iute'rêt est de 10 p. 100 , elle est égale à 1,000710 ; on peut parla se former une idée de sa valeur à tout taux intermédiaire.

(a) Quand l'intérêt est de 2 p. 100 , cette quantité est égale à 0,3719 , et quand l'intérêt est de 10 p. 100, elle est égale à

xpression peut encore se réduire à ud^ -f. = • c est-a-

iire^ que si à la valeur de l'annuité payable anluellementy on ajoute les trois huitièmes de la rente ^une armée j la somme sera à très peu de chose irès la valeur de la même annuité payable par rimestre. Les valeurs exactes^ toutefois^ pourraient tre aisément déterminées^ comme dans le pre- QÎer cas, au moyen de l'expression générale doutée ci-<lessus.

354. Dans Thypothèse de M. de Moivre la valeur ctuelle d'une annuité viagère payable /7âr semestre era représentée par la série

quelle peut se diviser en deux autres , savoir

+c)' -+'^ (.+cr ^^+^^* ^•

36o5; on voit d'ailleurs que cette yaleur diminue quand :11e de la note précédente augmente ; par conséquent ^ + } it, à fort peu de'tho°8« près , là valettr ékàcté. '

T. I. ao

( 3o6 ) La première de ces séries est égale à

(i+er-i

et la seconde est égale à

pav conséquent la -valeur totale actuelle de Tannulté est égale h

De la même manière ^ la valeur actuelle d'une annuité viagère payable par trimestre sera , d'après la même hypothèse, égale à

"ÎH r + ^"t"?7lL:T\ + -»*-

expression qui peut se diviser en deux autres séries^ savoiir ,

iU+J +(,+û= 0+0* '■+" <■+''

(i) Voir ma Théorie de l'Jntéréi çt 4^ ^unuités, p^ 66.

lais la première de ces deux séries est égale à t la seconde est égale à

3nséquemment la valeur totale actuelle de l'annuité )t dans ce cas égale à

En raisonnant de la même manière nous pourrons trouver la valeur actuelle des annuités payables tous autres intervalles; mais il suf&ra de montret* dernière limite de Taugmentation produite par la ipposition que l'annuité soit pay s^ble à dçs inrvalles de plus en plus rapprochés; cette limite ira trouvée si l'on considère l'annuité çonimé ant payée instantanément; dans ce cas l'exprès-

(i) Voir ma Théorie de V Intérêt et des Annuités, p. 56.

iao. .'

( 5o8 ) sion devient

m-JT+ô^'^'- "* ^'**"* ^'8^* * ' nrT+c) '

ou à la valeur actuelle d'une annuité certaine pendant l'espace a payable instantanément.

355. Si l'on compare les valeurs numériques de ces expressions pour les annuités payables par semestre ou par trimestre , d'après l'hypothèse de M. de Moivre , à celles déduites d'obsei^ations réelles, on verra qu'elles se confirment mutuellement et quelles justifient la règle que j'ai donnée plus haut; je veux dire que la valeur des annuités payables annuellement doit être augmentée d'environ le \ de la rente d'une année pour indiquer la valeur des mêmes annuités payables par semestre; qu'elle doit être augmentée d'environ | de la rente d'une année pour représenter la valeur des mêmes annuités payables par trimestre ^ et enfin qu'elle doit être augmentée de la moitié de la rente d'une année pour représenter la valeur des mêmes annuités payable instantanément.

556. Le lecteur doit observer , que dans tous ces cas je n'ai eu égard qu'un taux véritable de Tintérêt annuel^ d'après les principes que j'ai exposés

(i) J'observerai ici que j'appelle NL le logarithme népérien de la quantité qui suit imme'diatement ce caractère.

(5o9) dans UQ autre ouvrage pour déterminer la valeur des annuités en général. Mais ce taux annuel peut toujours être exprimé en fonction du taux nomi" naly en faisant les substitutions dont traite cet ouvrage (i), selon que l'intérêt est payable par semestre^ ou par trimestre , etc. : nous trouverons par là que , dans l'hypothèse de M. de Moivre , les valeurs actuelles d'une annuité , sur la tête dont le complément de vie est a, payable annuellement^ par semestre^ par trimestre, et instantanément ^ et dans la supposition que l'intérêt est aussi payable aux mêmes intervalles, seront représentées respectivement par

ar ' ar * ar ar '

dans ces formules j^ , h , q, et m représenteront maintenant respectivement les valeurs actuelles d'annuités certaines pendant l'espace a , payables ^nnuellement, par semestre^ par trimestre et instanta-nément, et dans la supposition que V intérêt aussi est payable aux mêmes intervalles.

Si l'on compare les unes avec les autres les valeurs numériques de ces expressions , on trouvera que les annuités semestrielles vaudront d'après ce principe environ les -^ de la rente d'une année, et les

(i) C'est-à-dire en remplaçant ç par T i H| — j — i ; d'après

ce qui a été dit dans ma Théorie de V Intérêt et des Annuiléê ^^ p. 54*

( 3io ) annuités trimestrielles environ les ^ de la rent^ d'une année de plus que la valeur des mêmes an* nuités payables annuellement ; et c'est la règle donnée par Price (i). Maïs comme les époques des paiements de l'annuité sont totalement indépendantes des époques du paiement de l'intérêt ^ et ne doivent pais être confondues avec elles (comme j^ Faî expliqué longuement dans le dixième chapitre de ma TTiéorie de V Intérêt et des Annuités )^ nous;trouverons que d'ajouter aux valeurs des tables** ^ et I respectivement, comme on le voit aux n*' 3SS^ et 353 serait la règle la plus correcte pour Tusag^ général; c'est ce qui a déjà été avancé par M. Simpson, dans' sa Théorie des Annuités en Reversion, P^g^ 79^ Comme les deux manières d'opérer sont maintenante sous les yeux du public, le calculateur peut adopter^ la règle qui lui convient le mieux selon les cir-^-

(i) Voyez ses Observations on Rev. Pajr., l. I", p. 11/^6^ Les deux exemples suivans , donnés par lui , montreront la^ différence réelle qui existe dans ces cas.

Valeur d'une annuité sur une tête, intérêt l{ p. 100.