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Payable annuellement.
Payable
par semestre.
Payable
par
trimestre.
Payable instantaném.
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149IOI
( 3ii )
constances. Price s'est efforce de combattre la règle de M. Simpson sans établir sur quoi il fonde son Opposition , et de lui substituer la sienne , sans expliquer la nature et la cause de leur différence.
357. Jusqu'ici je n'ai considéré de différences que dans la valeur des annuités sur une seule tête ^ mais il sera évi^nt que dans la supposition où l'on fait valoir l'argent à un taux annuel d'intérêt désigné^ les différences seront presque les mêmes pour un groupe de deux têtes, lorsqu'on déduit la valeur de l'annuité d'observations réelles, et que les probabilités de vivre à la fin de chaque semestre sont respectivement représentées par
ab+a'b' a'b' + a'b' a"b'' + a''b"' ,
«««^ ' * etc. i
nab ' 2ab ' 7.ab '
probabilités qui , quoique n'étant pas tout-à-fait correctes, rempliront le but que nous nous proposons. Cependant dans l'hypothèse de M. de Moivre , et dans la supposition que l'on fait valoir l'argent à un intérêt payable aux mêmes époques que l'annuité, la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes dont les complémens de vie sont aeib^ payable par semestre, est exactement exprimée par la série suivante
SLOb
Lo+D (■+-:)■ O+D"
(a-2).(^— 2) ia—b).{b~ b)-
(3'0 . , dont la somme , d'après ce qui précède , sera aisé* ment trouvée égale à
De la même manière la valeur d'une annuité sur ces têtes , payable par trimestre , est d'après les mêmes principes égale à
/^ab
dont la somme est égale à
r '^^ ^ar [^ \ 4 r) ^^ r J*
Et ^ si Ton suppose que l'annuité et l'intérêt soient tous deux payables instantanément^ sa valeur de* viendra égale à
Dans ces diverses formules, les quantités h, q, etm désignent les valeurs actuelles d'annuités certaines pendant l'espace b , payables par semestre , par tri-* mestre et instantanément ^ dans la supposition que Viatérêt aussi est payable aux mêmes intervalles.
Des Assurances pajrables par semestre, etc.
358. En raisonnant d'une manière semblable à lie qui nous avons suivie dans la première partie ) ce chapitre^ nous pourrons déterminer la valeur tuelle des Assurances pour chaque semestre ou imestre de la vie humaine* Car^ si Ton représente ir les mêmes quantités qu'au n^ 352 les nombres de irsonnes vivantes à la fin de \y ^î^^î^***- ^i^* les depuis Tâge de A , alors les probabilités que tte tète a de s'éteindre dans le courant des preier^ second^ troisième^ etc.^ semestres seront reésentées respectivement par
• ■ f "~^~~^~ • ^— — — j eic* •
aa ♦•^ aa ' aa ' aa '^ aa
inséquemment la valeur actuelle d'une assurance i la somme s sur la tête A pour chaque semestre i la vie humaine sera véritablement exprimée par
L(i+ç)' ^"^^^ (i+cr • (i+c)
+ ^-=4 +etc. 1 = ^(i +(i+f)0
359. De la même manière , si Ton représente ir les mêmes quantités qu'au n® 353 les nombres de
personnes vivantes à la fin de i, |, i^ .... an* nëes à partir de l'âge de Â^ alors les probabilités que cette tète a de s'éteindre dans le courant des premier , second , troisième , etc. ^ trimestres seront représentées respectivement par
conséquemnient la valeur actuelle d'une assurance de la somme s sur la tête  pour chaque trimestre de la vie humaine sera véritablement exprimée par
s r^a — a' - a^-^d , a — d , a— a' , cl — i r H T •+• 3 H H â
* L(i+ç)^ (i+çr (i+ç)^ (i+c) («+<)' + etc.] = ^[,+ (i+p)V(i+/>)'+ (!+/']
360. En continuant ces subdivisions^ nous trouverons que la valeur actuelle de la même assurance sur la tête A pour chaque ré^' partie d'une année, sera véritablement exprimée par
^[iH-(i+fr+(»+pf + ..-. (i+f)~j
Maintenant quand n est infini, cette formule de-
( 3i5 ) ^icDt égale à
NL.(,+ç)^ {i+O^^
e qui désigne coiiséquemment la valeur d'une as-? irance pour chaque instant de la vie humaine: ést-ànlire^ la valeur de la somme proposée payale immédiatement à l'extinction de la tête donie (2).
Il peut être nécessaire de remarquer ici que ces deurs sont toutes déduites du véritable taux an^ wl d'intérêt, qui peut être réduit au taux no* inal en faisant la substitution dont nous avons irlé à la note de la page Sog.
(i) Parce que, dans ce cas, 'tLCi +c)^'~U est égal au loin thme népérien de (i +<)•
(2) Gomme le logarithme népérien de (i -|- ç) diffère très ;u de — r—i on peut rendre cette dernière formule plus conmable pour la pratique en la faisant égale à
cpressioa qui excède la valeur de l'assurance annuelle troufe au moyen de la règle de la page 122 , de la quantité
( 3i6 ) Des annuités viagères garanties par des immeubles^
561. Une annuité viagère garantie par des inh meubles diffère des annuités dont nous ayons parlé dans le courant de cet ouvrage ^ en ce que si le titulaire meurt à une époque quelconque entre les échéances désignées pour le paiement de l'annuité^ ses héritiers doivent recevoir une somme proportionnée au temps qui s'est écoulé entre le dernier paiement et sa mort; tandis que dans tous les cas que nous avons considérés jusqu'ici, si le titulaire meurt le jour qui précède celui du paiement, ou à toute autre distance de cette échéance , ses hen* ritiers ne peuvent prétendre à aucune portion de l'annuité.
Dans ce cas , en supposant que l'annuité soit payable annuellement, le titulaire (puisqu'il y a chance égale pour qu'il meure dans le premier ou dans le second semestre de chaque année) peut être considéré comme ayant l'espérance de la moitié de la rente d'une année , en outre de ce qu'il aurait eu à prétendre de l'autre manière. Mais la valeur de la moitié de I fr. payable à l'extinction d'une tête quelconque Â, est diaprés le problème XXII égale à
et c'est la quantité qu'on doit ajouter à la valeur d'une annuité payable annuellement , pour en ob*
(5.7) tenir la yaleur quand elle est garantie par de^ Qimeubles: consëqnemment la yaleur de cette an* luitë est
362. De la même manière , en supposant que Tan- Luité soit payable par semestre^ le titulaire peut tre considéré comme ayant l'espérance du quart [e la rente d'une année y en outre de ce qu'il aurait u à prétendre de l'autre manière. Mais la valeur lu quart de i fr. payable à l'extinction de la tête A lans un semestre quelconque est, d'après la for- Qule du n"" 5S8 , égale à
[' + ('+gr]x(i— c^) ,
xpression qu'on doit ajouter à la valeur d'une anluité payable par semestre, pour obtenir sa valeur [uand elle est garantie par des immeubles; et ainsi le suite pour les additions à faire à la valeur d'une nnuité payable par trimestre, etc. Mais la diffê^ 'ence entre la valeur d'une annuité payable annuelement, non garantie par des immeubles^ et la râleur d'une annuité payable aux mêmes ou à d'athres intervalles, quand elle est 'garantie par des mmeubles, ne peut jamais excéder o,5 ou là moitié le l'unité.
363. M. de Moivre, dans sa Théorie des chances, page 358, a donné, pour trouver la. valeur d'une
annuité garantie par des immeubles et payable an-^ nuellement^ un théorème qu'il a démontre par un calcul différentiel; sa méthode est facilement applicable à son hypothèse : et M. Dodson^ à la page 4 du 5* volume de son Mathematical RepositorjTj a donné un autre théorème pour ce desseia sans faire usage du même calcul^ et a été conduit à un résultat presque semblable. Mais M. Simpson, dans ses Select Exercises^ page 525 > et dans le Supplément de sa Théorie des Annuités , page 70, a donné un thtorème qui montre la valeur, non d'uue annuité payable annuellement, et garantie par des immeubles, mais d'une annuité payable instantanément à un taux annuel d'intérêt désigné. Ces valeurs, dans tous les cas, sont obtenues d'après l'hypothèse de M. de Moivre.
J'observerai ici que les formules que j'ai données plus haut sont les premières qui aient été déduites d'observations réelles , et sont beaucoup plus sin^ples que celles déduites de l'hypothèse de M. de Moivre ; DAais quoiqu'elles découlent ÊEieilement des raisonxieoiens qui les <Mit précédées , et que d'autres écrivains eussent pu les appliquer aisément à la valeur des annuités déduites de ces Qb$ervatio^s , cepen- .d,axit ceux qui .pnt été le plus ardenis à attaquer l'ensemble des principes de M^ de. Moivre^; 40|)seulement ont conservé sans les . corriger m les blâmer ses formules sur cette question et sur beaucoup d autres^ mais les ont insérées dans leurs ouvrages comme donnant une solution naturelle et fiori^cte de ces diâérens problèmes. < ;
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