CHAPITRE XL

DE LA VALEUR j EN PRIMES ANNUELLES j DBS ANNUmÊS DIFFÉRÈBS j DES ANNUITÉS EN REVERSION ET DES ASSURANCES.

364. Dans tous les cas d'annuités différées mentionnés au problème I^ corollaire 3^ et dans les corollaires des problèmes suivans, aussi bien que dans toutes les questions d'assurances^ j'en ai déduit les valeurs en un paiement unique; mais on a souvent besoin de déterminer ces valeurs en primes annuelles. Je vais exposer maintenant la manière dont se fait cette conversion.

Dans le cas des annuités différées reposant sur un groupe quelconque de têtes ABC, la valeur en un seul paiement est, d'après le problème I^ corollaire 5, désignée par {ABCy. Mais si celuL qui achète éette annuité désire, en acquitter le pm: en pakiheiàs annuels égaux , payables pendant le temps éoinf ^1 différée l'annuité /i). ces naiemens^ éâratiiic

(i) Cette prime aanuelle cessatit toutefois â'êti:c payable si les tête» proposées s'éteignent avatit rexpirâtion de ce délai.

doivent être tels que leur valeur totale actuelle soit égale au paiement unique cité plus haut^ ou , en d'autres ternies , il paiera au lieu de cette somme une annuité équivalente pendant l'espace désigné.

365. Représentons par p la prime annuelle de^ mandée , et la valeur d'une annuité temporaire sur les têtes données , c'est-à-dire d'une annuité qui doit durer jusqu'à l'époque où l'annuité différée commence, par Ç/iBCy : alors, puisque la valeur de l'annuité différée, ou Ç/iBCy, doit être payée par paiemens annuels égaux pendant l'espace dont est différée la jouissance de cette annuité (ces paiemens devant cesser d'ailleurs si l'une des têtes données s'éteignait dans cette période) il est évident que la somme ou la valeur de ces paiemens sera égale à la valeur d'une annuité temporaire sur les têtes données et pendant l'espace désigné , et dont la quotité annuelle serait /?; c'est-à-dire,

p{JBCy={.4BCy.

Cette équation n^a lieu cependant que dans la supposition où le premier paiement annuel n'est effectué qu^à lajin de la première année, et continue de l'être à laJin de chacune des années suivantes , jusqu'à l'expiration du délai. Mais cette supposition n'est jamais ou presque jamais exacte; et la manière la plus commune, sinon la manière invariable dont se paie cette prime, est que le premier paiement en soit effectué immédiatement et les autres iui com^

( 3a' ) mencement de chacune des années suiyantes; de sorte que le nombre de primes soit égal au nombre d'années dont est différée l'annuité. DonCj^ puisque le paienoent qui , dans le cas précédent ^ esf effectué à lajin du délais l'est maintenant au commencement j nous devons ajouter l'unité à la valeur d'une annuité payable pendant un an de moins que le délai fixé ; et cette quantité multipliée par le montant de la prime annuelle âera égale à la ynleuf de Tannuité différée* Conséquemment la formule deviendra , dans ce cas,

donc