Soit donc une table quelconque d'observations
indiquant le nombre des yivans à tous les âges de U vie . Soit a le nombre de vivans à Tàge d'une tète donnée Â^
et désignons par d^ d\ d'\ les nombres de yi-^
yans aux âges consécutifs. Soit aussi 5 ^ le nombre de vivans à l'âge dune tête donnée B, et désignons par b\ Vy b"\ les nombres de yivans aux âges couse* cutifs. Soit encore c y le nombre de vivans à l'âge
de C 9 et désignons par c\ c", c'"f les nombres
de vivans aux âges consécutifs. De la même manière désignons par a le nombre de yivans à la fin de n an* nées à partir de l'âge de  ^ et par a'^ ùd', oT, ..... les nombres de vivans aux âges consécutifs; par j9 le nombre de vivans à la fin de n années à partir de 1 âge de B , et par )8', )8", jS*', ..... les nombres de vivans à chacun des âges consécutifs ; enfin ^ par y le nombre de vivans a la tin de n années à partir de l'âge
de C y et par y', y'ty"', les nombres de vivans à
chacun des âges consécutifs; et ainsi de suite pour un nombre quelconque d'autres têtes. Alors ^ si l'on con* sidère que sur a vivans, à l'âge de A^ il n'en reste plus que a' à la fin d'une année , il sera évident que le nombre de chances qu'a la tête A de subsister un an de plus est a\ et que le nombre total de chances qu'elle a d'atteindre ou de ne pas atteindre la fin de cette année , est a. Donc la probabilité qu'a la tête A de subsister à la fin de la première année ^ est repré-
sentée par — . On trouvera de la même manière que la probabilité qu'elle a de subsister à la fin de la se-*
conde année, est — , à la fin de la troisième année — ,
et ainsi de suite ; car a!*^ a*" y sont respectivement le nombre de chances que la tête A a de subsister 2^5 ans, et a est toujours le nombre total
de chances qu'elle a de subsister ou de ne passubsister à la fin de ces années. De la même manière , les probabilités qu'a la tète B de vivre i, 2,5 ans. . . . sont respectivement Tf ff fy ^te-f 6^ P^u^ I^ téte C les mêmes
probabilités sont -, — ^ —, etc. {f^oj. n^ 2.) Raisonnant encore de la même manière , on trouvera que les probabilités que la tête A a de subsister n ^ 7z-f- 1 ,
H*2 , 7ï-I^5 années sont respectivement -^ ,
M* M* , — , — , etc. ; que les mêmes probabilités
sont pour la tête B, r, t, j-^ t-, et pour la tête
C? L y IL aie
24. De plus, les probabilités que deux têtes quelconques A et B ont de subsister simultanément pen- [ dant I , a, 5 années, sont respect i vendent re-
i présentées par --^, — ^r-, —j-, etc. , et celles de trois
♦Al A -or» ^^^ abc abc / m n \
têtes A, B, G par -^, -^^, -^^, etc. (n« 6.)
\.\ Bnfia^ les pFol>abîlités que deux têtes quelconques - A, B oat de subsister simultanément pendant n, /z-f- 1 ,
e «-1-2, ra+5 , années, soi» ^» -^> -^ » -^ » etc. ,
. et celles de trois tètes A , B , C sont pour les mêmes , . '^ces de temps ^, -^, -^-, -^, etc.
25. D'après ces principes , il est clair (n* 4) que la probabilité que A a de mourir avant la fin de la pre-
mière année sera représentée par i . Car puisque — désigne la probabilité que A a de vivre jusqu'à
la fin de ce laps de temps, cette expression^ retranchée de l'unité, donnerais probabilité contraire. De la
// ' or
même manière on trouvera que i , i — etc.
désigneront les probabilités que A a de mourir avant
la fin des seconde, troisième années. De même
encore les probabilités que B et C ont de mourir en 1 , 2, 3 . . . . ans seront représentées respective-
ment par i— ^, ^"~p i—^, etc. et i— -,i-,
I , etc. De plus, les probabilités que l'une des
deux têtes AB, et lune des trois têtes ABC ont de
mourir en i , 2, 5. . . . ans, seront représentées res-
a'b' d'b" a^b" , pectivement par i v- , i -r , i y, etc.,
VA'V ^ilh^^f ^"U^Jif
au c abc a o c .-r»» f
et I y— , I y— , I 7 — • etc. ht en ee-
abc abc ' abc ' ^
néral, si nous retranchons de l'unité la probabilité que les têtes proposées ont de subsister simultanément jusqu'au terme fixé , le reste exprimera la probabilité qu'elles ont de ne pas subsister simultanément jusqu'à la fin de ce laps de temps, c'est-à-dire la probabilité qiie l'une d'elles a de mourir avant ce terme.
26. Mais (n"" 6) la probabilité que toutes les têtes A, B, C,. • • . ont de s'éteindre en i an, sera
( '7 ) ^ représentée par M — — j xTi — t) X Ci — -jXetc;
en deux ans, par r I — jJ^^C^'" J")^!' — ^JX^^'i
entroîsans, parfi— —Jx^i — rj'^w )x ^*^*
Et les probabilités contraires à ces événemens, c'est-àdire que l'une de ces tètes a de subsister à la fin des première, seconde, troisième,.... années, seront respectivement représentées par
'- 0-r)x('-DxO -c-)x «'*=•'
•-0--r)xO-r)x(i--^-)xetc.
27, Jusqu'ici, en cherchant la probabilité qu'une tète a de mourir dans un temps donné, j ai toujours considéré cet événement comme devant avoir lieu à une époque quelconque avant le terme fixé Mais si nous avions à déterminer la probabilité que cette tête a de mourir dans le courant d'une année particulière, l'expression changerait totalement. Ainsi la probabilité que À aura de mourir dans le courant de la seconde année, après avoir survécu à la première, est
égale à I r = — r— ; car -r désignera , à la fin
delà première année ^ la probabilité que A aura de vivre à la fin de la seconde; et cette valeur, retranchée de l'unité, donnera la probabilité que A aura
de mourir dans Cette même seconde année. Mais puis- T. I. 2
( i8) que cet e'vénement dépend aujourd'hui de la conlliiuatioD de l'existence de A pendant l'année précédente
^existence dont la probabilité est ^ j ; la valeur que
nous avons trouvée plus haut devra être multipliée par cette fraction , afin de devenir la véritable valeur que nous cherchons. Donc la valeur actuelle de la probabilité que la tête A a de mourir dans U courant de la seconde année est représentée pai
— : — X — = . De la même manière , la pro-
babilité qu'elle a de mourir dans le courant de U troisième année, est représentée par — ~ x -
= , et ainsi de suite, jusqu'aux w'*"', (/^+I)"^
{n H- a)"', (/i-|- 5)"%. . . . années, pour lesquelles les probabilités analogues seront respectivement ^^-f^^^* ^
, ^ , , etc., a, indiquant le nombn
de vivans à la fin de /i — i années à partir de l'âge de A. Les mêmes observations s'appliquent à ui nombre quelconque de têtes réunies ; car en poursuivant le même raisonnement , on trouvera que h probabilité actuelle que l'une des trois têtes A, B, C a de s'éteindre dans le courant de la seconde année , sera exprimée par
ao C -"-^ a o C abc abc — abc
iib'c abc abc '
dans le courant de la troisième année, par
. a"b''c" — a^b^c" a^y^ oTb^'d' — a^b'^c"
a'f'c" ^ abc ~ 1^ ^ ^^^' ^
( ï9 ) et ainsi de suite jusqu'aux 72'^"% (/*+ i)% (w + a)"*', («+5)"% etc. années^ pour lesquelles les probabilités analogues seront respeclivement ^' '^' T^ ^
~^?^ ' û6c ' ahc ^«^Cva,»P,»
7^) désignant le nombre de vivans à la fin de n — i années à partir des âges de A , B , C , respectivement.
( ao)
«iV««.'«%VVVv%\VV\\'V\%ivVVV«%^VVV«A%l«Vi^WVVV«>VY««V«M^V\^«WV«\(\VV%VVV%^^MMA>V%%\\/VVVViV«,^ ^ ^"^
CHAPITBE II.
bES ANNUITÉS VIAGÈRES BN GÉNÉRAL.
28. Pour déterminer la valeur actuelle de toute annuité^ il faut calculer la valeur actuelle de la rente de chaque année , et ajouter les unes aux autres ces valeui's partielles ; on aura ainsi la valeur totale actuelle de l'annuité en question. Cette valeur dépendra toujours du taux de l'intérêt; et dans tout le cours de cet ouvrage j'ai représenté ce taux par p : conséquemment i franc ^ à la fin d'une année , vaudra I + f , et la valeur actuelle de i franc, payable après 1, 2, 5, etc. années, sera représentée par
La somme des termes de celte série , continuée jusqu'au w'^"" terme inclusivement, ou
(i+çr'+(i+çr'+(i+«r'+. . . .(i+c)-»= "^^"^^^"" ,
représentera la valeur actuelle d'une annuité de i fr. pendant n années : si l'on continuait cettje série jusqu'à l'infini , la somme de ses termes ou - exprimerait la valeur actuelle de la perpétuité de la même annuité. J'ai expliqué en détail, dans mon traité sur la Théorie de V Intérêt et des Annuités^ les principes sur lesquels sont fondées ces observations ; mais j'ai
cru nécessaire de les rappeler ici, afin de prévenir toute confusion dans la discussion des problèmes
suivans.
!^. Mai$ ^^ns lef aapuitës viagèrç3 , I4 r^nie de chaque aapée ne dpit être touchée qua certaines conditions, et par conséquent les valeurs actuelles que nous venons de trouver doivent être diminuées eu raison de la probabilité qu'on a de ne pas recevoir la rente. J'ai toujoura suppose que cette rente fût de i fr. par an; le ré^i|U;it ipdiquçra dQnç combien cette annuité vaut de fois la rente d'une année, et il suffira de m^Uij^lier c^tte valeur par la qwPÛté «Je tpute autre rente viagère po\;ir ^n ^voir la vî^leur actuelle.
PBOB^ÈpdE ï.
SÔ. Trouver U v^ur d'unç annuité viagère payable àuD g^niMpe que}con.que de tptes^ c'est-àniire ^ussi long-temp^ qye ces têtep s^^bsf^tçront içpsemble.
. SPI^PTIQN,
Soient A, B, C, etç.^ les têtes sur lesquelles est constituée l'annuité, et désignons, comme au n' 23, U% prolmbilite^ qua ahaûnné de pes têtes a de^ vivre \i 2. 3. . . .années. Il suit là (n' 24) , que la pvpb^bifité que toutes tes tètes ont de vivre sîmultane-
ment a la fin de. la premiei;^ ^annee t?st -7 — î — , ^X"-
pression qui , multipliée par(i + f)'^^ ou ia vàleâcr aiît^He dé t fràric payable dahs tm an, dotm^t^
(aa )
' " ' — pour la valeur actuelle de la rente de 1
première année , ou Vespérance qu'on a de recero cette somme, toutes les têtes proposées subsists^i à la fin de la première année. De la même manièr'e la probabilité que ce groupe de têtes a de subsiste
à la fin de la seconde année est -7 , exprès
sion qui , multipliée par ( i -^ ?)"*> ou la valeur actuelle de i franc payable dans 2 ans, donnera
r — . /'! ~ pour la valeur actuelle de la rente
(i+^)mAc.. ... ^
de la seconde année. De même encore - — . ,'V ^
donnera la valeur actuelle de la rente de la troisième année. Si nous opérons de la même manière pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , la somme de tous ces termes
sera la valeur totale actuelle de l'annuité , n désignant la difiërence d'âge entre la plus âgée des têtes proposées et la plus âgée de ceHes marquées dans la table d'observations.
Corollaire i.
31. Maintenant^ quand il ne s'agit que d'une seule tête A,cetté sériedevieDt^^^^^y |..^^<^, | ^j'^^, | .etc.]; quand il s'agit de deux têtes AB, elle devient
55L(I+7)+(H:^.+(T;.7P + ete-i Donc si nous . Résignons par A yB ^ C, . . . . (en caractères peur?
chés) la valeur d'une annuité sur une tête isolée quelconque A, B, C, .... ; par AB, AC^ BCy .... la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de deux têtes AB, AC, BC, .... et par ABC, ... la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de trois têtes A B C, etc.; alors, dans le cas d'une seule tête , on aura
etc. etc. etc. etc.
Dans le cas d'un groupe de deux têtes, . r a'b' aV ^b' -1 __
~\ — T" — I- 7 — r— \î-H , ■ >3 + etc. = aC.
ac\i + ( (•+«)* (i+«r J '
etc. etc.
Et dans le cas d'un groupe de trois tètes ,
etc. etc. etc.
Corollaire 2.
32. Il n'existe aucun moyen de simplifier ces terndes, ou d'abréger l'expression générale donnée
plus haut pour la valeur d'une annuité sur une ou plusieurs tètes ; tous les ternies en doivent être traduits en chiffrer et calcules les uns après les autres ; cependant quand on a à trouver la valeur de plusieurs annuités sur une ou plusieurs têtes de divers âges consécutif$, on peut abréger considérablement Topération en descendant de la valeur d'une annuité quelconque sur une ou plusieurs têtes, à la valeur d'une annuité analogue sur des têtes plus jeunes chacune d'un an. En effet , désignons par ABÇ la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de têtes ABC ; et par Afifi^ la valeur d'une annuité sur un groupe d'un même nombre de têtes , plus jeunes chacune d'un au que les têtes A, B^ C. Soient a^yb^yC^f les nombres de vivans à leurs âges^ d'après une table quelconque d'observations ; alors par la même raison que
nous aurons
d'où multipliant la première eqaation par abc , et la seconde par ( i + f)^ fi 1^1 > nous aurons
abc . a o c , ^ >t»^> / ■ \
d'où ^fifik * + tyf^î^i ~ ^^^ 5?= ABC^ abc
Conséquemment^
d'où la règle suivante poui* trouvei' la valeur d*une annuité sur une seule tête , règle dont il sera facile de faire l'application à une annuité sur un groupe quelconque de têtes. Commencez par la tète la plus âgée marquée dans la table d'observations ; ajoutez l'imite à la valeur d'uqe annuité sur cette tête ( ordinairement o), et multipliez la somme par l'espérance qu'une tête plus jeune d'un an a de recevoir 1 franc après un an ; le produit sera la valeur d'une annuité sur la tête plus jeune d'une année. Si l'on substitue cette violeur à celle de l'annuité sur la plus vieille tête, et qu'on répète l'opération , on aura la valeur d'une annuité sur la X^q plus jei^ne encore d'une année, et ainsi de suite jusqu'à la tête de l'âge désigné. Il est vrai que cette manière de procéder est souvent plus longue et plus laborieuse que cçlle qui consiste à calculer la valeur numérique de tous les termes de la série donnée au corollaire précédent ; néanmoins cette formule a cet avantage, que les différens degrés de l'opération donnent les valeurs des annuités pour tous les âges intermédiaires compris entre celui de la tète donnée et le plus avancé <]ui spit marqué dans la table d'observations , et l'on trouve ainsi presque aussi facilement la valeur des annuités pour tous ces âges intermédiaires que pour la tête proposée seulement.
35. Exemple i. Soit proposé de trouver la valeur d'une annuité sur une tête de 90 ans; en se servant de la table générale de Suède et de l'intérêt à 5 p. 100.
La valeur d'une annuité sur une tête de 96 ans est égale à o.
Sur une tête de 95 ans, = (i+o, ) X - X 0,9524 = 0,4762
JU
92 = (1+0,6764) X ^ X 0,9624 = o,8563 91 = (i+o,8563) X II X 0,9624 = 1,1129
On voit donc que la valeur demandée est 1,4129.
34. Exemple 2. Quelle est la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes, savoir, un homme de 90 ans et une femme de 84 ^ns, en se servant de l'intérêt à 4 p« 100, et de la table de Suède, qui indique une mortalité distincte pour chaque sexe.
En commençant par la tête la plus vieille qui soit dans les tables, et l'adjoignant à une plus jeune de 6 ans , on trouvera que la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes, dont un homme de 96 ans une femme de 89 , est o.
(27) Sur deux têtes de
Q4et88ans= (iH-o) X ^^ ^X o,q6i5 =o,i845,
93et87 =(i+o,i845)x |^^^^ X 0,9615 = 0.3496,
92et86 =(»+o,3496)x^i^X 0,9615 = 0,5827,
gietSS =(,+o,5827)x^J~^X 0,9615 =0,7607,
9oet84 =(i+o,75o7)X^gr^^X 0,9616 =0,8629.
On voit donc que la valeur de Fannuité demandée est 0^8629.
35. Mais la meilleure manière dont on peut calculer la valeur des annuités , c'est d'employer les logarithmes ; elle est suffisamment indiquée par l'inspection de la formule du n** 52, et les principes que nous venons d'établir. Car puisque Afi^C^z=z [i-\-ABC)
