X -y- (1 + f)~', il est évident que log

loga-{-logi+logc+log(i+f)-'+log(i-|-^i5C) — (loga^ + logi^-|-logc^), et par là les calculs qui seoiblent si compliqués quand il s'agit d'un groupe de deux ou plusieurs têtes , se réduisent aux simples opérat^ns d'addition et de soustraction.

364 En calculant de cette manière les valeurs des annuités^ on fera bien d'observer les règles suivantes i Commencez par la plus âgée des têtes données C, et écrivez horizontalement sur un tableau divisé eu

( 28 ) colonnes , comme celui que je joins ci-après pour modèle , les logarithmes des nombres de vivans après n, (ji — i), (n-— 2).... années, à partir de la naissance , n désignant le nombre d'années coi^pris entre la naissance et le dernier âge marqué sur la table d'observations. Maintenant ^ passaqt à la tête B , la plus âgée après C , écrivez de même sous les premiers les logarithipes des nombres de vîvaoB après {n — A), (n — A — i), (ji — -A — 2), etc. années, à partir de la nuissance , A désignant la différence d'âgç entre B et C. Opérez encore de même pour la plus vieille tête après B, et ainsi de suite, suivant le notûr bre de têtes sur lesquelles est constituée Tannuité. Ajoutez ensemble les quantités qui se trouvent eu ligne verticale, et écrivez sou( chaque somme le Ipgarithme de (i 4- f)""*. l^e rçste de l'opération de^vient extrêmement feqile , çoninie m\ le vqû p?ir Ip tableau ci-joint , on j'ai indiqué U méthode k ^wvr^ pour trouver les valeurs dea annuités pur un grovp^ quelconque de deux têtes dont la différence d'âge serait de 10 ans, en se servant de l'intérêt à 4 P- 100 et de la table de Northampton.

57. En cherchant ces logaritl^meis dans Idst tables, on ne doit tenir compte que de la partier déctinale ; la même observation s'applique à l'addition et à )a sous* traction des logarithmes dans l'opération. L'omission de la caractéristique ne peut entraîner aucune errour, ^puisque dans le dernier logarithme qui résuUe de l'opération, et qui est celni de l'annuité cheiHîhéc, quand la caractéristique est positive, elle n'rxcède

( 39 ) jamais l'unité^ et quand elle est négative il est également impossible de s'y méprendre.

Dans chaque colonne^ les nombres compris dans

les lignes D, E^ F, G^ H, I^ K^ L, indiquent les di«

vers degrés de l'opération } la ligne L contient les

logarithmes des valeilrs demandées , et les nombres

corrêspondans à ces logarithmes, ou ces valeurs

mêmes se trouveront datis la ligne S. On verra dans la

suita pour quelle raison j'ai séparé cette ligne des

autres^ quand je donnerai Texplication des lignes

saivânted M, îi, 0, f, Qj K, que pour le moment

on ne doit aucunement considérer.

îf

Is

in.|l-: j I I

ÎMill

58. Ce tableau peut aussi servir à calculer les annuités sur une seule tête; il suffira de biffer les logarithmes des ligues E et F. Ou peut encore s'en servir pour un groupe de trois têtes Â^ B^ C^ en ajoutant aux logarithmes. des lignesD etE (pour obtenir la ligneF), les logarithmes des nombres de vivans après n — cT, 71 — ^ — i,n — ^—2, etc. années, à partir de la naissance, cTdésignant la différence d'âge entre A et G. Il est évident que par cette méthode le calcul des valeurs des annuités sur un groupe de deux ou plusieurs têtes est presque aussi facile que celui des annuités sur une seule tête, et que le principal travail est de chercher les logarithmes des nombres de vivans aux différons âges et les nombres correspondans aux logarithmes des résultats.

39. On conçoit qu'une erreur dans l'un des nombres se perpétuera dans tous les nombres suivans ; or, comme ce n'est qu'avec une peine infinie que l'on parvient à la fin de l'opération à découvrir la source de Terreur , il y aurait une grande utilité à pouvoir vérifier l'exactitude des nombres de chaque colonne à mesure que Ton opère. M. Morgan, dans sa Théorie des Annuités^ etc., p. 58, a exposé une méthode à cet effet, et j'en ai extrait la règle suivante.

40. Écrivez dans la ligne horizontale M les logarithmes de (i 4- pr^'*-^—^ (i + p)-^ — -^— ), (i -f-p )""("""'■" ^^ etc.; cT désignant la différence d'âge entre la plus jeune et la plus âgée des têtes proposées. Ajoutez-les aux logarithmes de la ligne K, et écrivez la somme dans la ligne N ; ajoutez-les aussi aux logarithmes de la ligne I , et écrivez la somme

dans la ligne 0. Cherchez ensuite les nombres correspondans aux logarithmes des lignes N et 0^ et placez-les respectivement dans les lignes P et Q. Alors si tout nombre naturel de la ligne Q , dans une colonne quelconque^ est égal à la somme des nombres naturels des lignes P et Q dans la colonne précédente, toutes les valeurs obtenues jusque là sont exactes. Mais si les 5 ou 6 premières quantités de la ligne Q ne s'accordent pas avec les 5 ou 6 premières quantités de la lignç R dans la colonne précédente , c'est qu'il se sera glissé quelque erreur dans les nombres employés depuis la dernière preuve ^ et par conséquent il deviendra nécessaire de repasser l'opération depuis ce point-là.

41. Quoique les calculs nécessaires pour trouvei de cette manière la valeur des annuités soient plu£ longs que l'emploi de la formule générale^ on en est plus que dédommagé parla satisfaction qu'on éprouve en étant certain de l'exactitude des valeurs obtenuesj et par le temps et le travail qu'on épargne en découvrait chaque erreur à mesure qu'elle se présente

42. Si j'ai exposé avec tant de détails la meilleur méthode à suivre pour trouver la valeur des annuité sur une ou plusieurs têtes ^ c'est qu'il nous manqu encore beaucoup de tables sur cette matière pôv compléter celles que nous avons déjà ; et surtout nous en faudrait de nouvelles , dont les unes seraiet le résultat d'observations spéciales faites sur la mot talité des rentiers viagers^ et les autres résulteraier d'observations générales faites dans tout le royaume

Des tables aiasi construites seraient extrêmement uti'* les/mais on aurait tant de peine à les calculer même avBC les logarithmes^ qu'il est bien peu d'individus qui fussent disposés à entreprendre une tâche aussi laborieuse , même s'ils possédaient les élémens nécessaires. Malheureusement aussi , les sociétés dont l'objet semble être plus particulièrement d'encourager une entreprise de ce genre , ne se trouvent pas assez intéressées à publier des documens plus -positif à ce sujet.

43. «Tai réuni à la fin de cet ouvrage toutes les tables publiées jusqu'à ce jour sur la valeur deis annuités sur une ou plusieurs têtes, et le calculateur y pourra choisir celle qui conviendra le mieux au problème qu'il aura à résoudre. J'indiquerai plus au long , daos le chapitre XII , la manière dont on doit faire usage de ces tables, et les applications qu'elles présentent.

Corollaire 3.

44. Au mojen de la formule générale du problème , qui donne la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de têtes , nous pourrons déterminer celle d'une annuité différée^ c'est-à-dire d'une annuité qui He doit courir qu'après un nombre d'années déterminé n , pourvu qu'alors les tètes données subsistent, et qui doit courir deptiis cette époque jusqu'à la disso^ lutiondecegroupedetêtes.Soienteneffet A, B, C,etc., les tètes don nées, et soient a, a', a". . . . , j3, j8', j8''. • , . ,

>) y, y ^ . . . , etc. , les nombres de vivans à la fin de T. I 3

n^H'-i^ i , n -+- 2j etc. années à partir des âges ai hpBf Gf etc. auivatit l'explication du u^ 85; alors b

Talear d'uoe aanuité sqr le groupe ABC , sera

représentée par la aérie «utvwte :

dont îà première partie doit être continuée jasqu^à/t termes , et la dernière (ou la portion d'annuité qui est différéiQ de n années 1, doit être poursuivie jusqu'aux derrières limites dç la yie humaine. Par ocmséquisnt cette dernière partie ^ ou la série

exprimera la valeur d'une annuité dont on ne doit entrer en jouissance qu'après n années; je la désignerai -par (jéBC. . . .y. Or, si nous ayons des tables qui in-* diquent la valeur des annuités sur une ou plusieurs têtes , à tous les âges , nous pourrons aisément sans çalquler a^pftfénienl; chaque terme de cette «érie, en déduire la valeur de c^Ue d'une annuité sur un même AOmhre de tetea plus âgées chacune de n années que le» tètes proposées. Çsiy si Ton représente cette dermhv0 valeur par ^d'^JB'^O.... nous aurons d'après la formule du j^oblàme ;

( 35 ) Et en multipliant les a termes de cette équation par

nous aurons

^<' 5» O .... X "-^HiL'-i: (i-4-f)-= {ABC....Y.

D où la règle générale suivante :

45. Cherchez la valeur d'une annuité sur un groupe d'an même nombre de tâtes, plus âgées que les têtes proposées chacune du nombre d années dont est diff^ée l'annuité. Cherchez aussi lespérance que le groupe proposé a de recevoir i fr. à la fin de ce délai; le produit de ces deux quantités sera la valeur demandée.

Voyez , pour l'application de ce corollaire, la question VI du chapitre XII.

Corollaire 4-

46. Au moyen de la série du dernier corollaire ^ nous pouvons déterminer la valeur d'une annuité viagère temporaire^ c'est-à-dire d'une annuité dont on doit entrer en jouissance immédiatement, mais qui doit s'éteindre après un nombre d'années déterminé n , nioindre que la durée possible de l'existence de la tête ou des têtes données. Car tout restant comme dans le dernier corollaire , il est évident que les n premiers termes de la série que nous y avons développée, ou

abc... >< L (i+e) ."*" Cl+Cr..:"^ (I+Cr

'^ — +r*-T~^ seront la videur dé l'aTOiuîté teçir

soit nul, ou que largent ne porte aucun intérêt ^ aku^ cçtte fongaule se réà uira à la série

d'oilt k rt^è suivante, pbur tVourer la valeur à\w ànMrtiité ^àf hx tète A cônsidérëe comme touohàiit ai^ iiudïeinent 'cette rente, et sans întërêf d^argent. Dîviscf^la soinme de tous les vivans, à tmtsles âges consécutifs après cefui de la tète donnée, par le nombre de vivans à cet kge, et le quotient sera la valeur de^ mandée.

Ikins un des chapitres suivans, je montrerai qu'oa doit ajouter ^ ou | à la valeur ainsi trouvée, pour obtenir celle d'une semblable annuité sur la tête A Considérée conïine f ouchani la rente par seniëstce, oa par tz;imQst;|e ; .ipais si ox^ la considère comme latouchant instantanément, nous devrons ajouter.^ à la Vâfeftï^^frph^eJ ï^ cé derttfelr cas,, là valeur derfiSiiâiè'hiPégihtix^ Ibmkes des prokbitilés que celte tête a d'atteindre les premier, seconcf , troîsi^i^}^.^. ijî^^aus^yws le ^paient actuel jiiçqu'à la ^ft^^^f^P^k^fïf^P^ P9^^'M?î c'est cç que p^uâieurs au* ^IH9 ^'^^CV^HI'f ^^^."^J^^'?^' ^^ le-ni>mbre d'ai»- "4^/)M^r^'H^^^^,çl<^>^V^^ d^ toutes les têtes^xist^t au,.ï^içp âgç ;pe;Vt être considérée cowa>e ccartaine d atteindre. D'où la règle suivante pcmi* Inout^ir ]& vie moyenne.

53. Diviisç^ 1^ soa^wg des npmbrpç de vivans, à tpus les agjci^,. consécutifs qui suivent celui de la tête

(59) proposée, par le nombre de v^vans à cet àgp^{ avouiez ^ au quotient , et la somme sera la valeur demandée*

54. Comme nous pourrons ayoir oo6asion de dé«terminer cette valeur pour comparer les probabilités de vie ou les valeurs deâ finËtuités suivant différentes tables d'observatioDS ^ ou pour calculé!^ par approxi-* nation certaines valeur» dont je parlerai par la suite ^ jû donné ici la règle par laqfuelle ou peut trouver cette valeur 'd après, une tatbk quelcôncjtoe d'obediH

Tatioos; • ::i'i -.r- ' ■ ' ' " . ■; . •.:='

Mais à la table :n> àia fini die ce TrnèCf^ jViir.'ii!^ diqué la vie moyenne de & ans en 5 ans, d'après tes diverses observations mentionnées au n^ i3: et aux table* IV, XY, XXVI et XLVI, j'ai indiqué <}'année eu année la vie moyenne à totis les âges, d'sprk les observations qui {précèdent immédUate-^ aaent ces tables.