Trouver la yaleur d'une annuité différée en
rei^rsion. ^ . U
SOLUTION, * '
Substituez les valeurs des annuittfs r//^rie6^ sur les têtes proposées à celles des annuités pour la durée totale de leur existence; et opérez iavec ces valeurs substituées comme dans les cinq derniers problèqiçs, suivant l'énoncé dç la question, (f^cyr^z 77.)
Exemple i. Quelle est la valeur actueU^ d'u^e annuité en reversion sur une tête de 20 ans, payable après un délai de 3o ans, pourvu qu'une autr^ tête, actuellement âgée dç 4o ^^'^> soit alors éteinte, ou si elle ne l'est pas encore , payable à la fin d€ l'année dans laquelle la première tête se trouver^ survivre à la dernière? On suppose que l'intérêt soitt à 4 1 pour lop , et la mortalité conforme au^ obse?'^ vations de M. Deparcieux.
La valeur d'une annuité, diflFérée de 5o ans, sur la tête en reversion, est, d'après la question VI, égale à :2,272; et la valeur d'une annuité, différée de Sa ans sur le groupe dçs deux; têtes, est, d'après la i^êm^ question, é^ale à 0,496. Donc la différence eatr& çc;$ deux valeurs, ou 1*776 sera, d'après la question XUÏ^ la valeur demandée.
Eoççruph 2. Uae j^mipe âgée de 4<> ^^^f doit^ ^près un 4é]iâ de 10 ans^ entrer en Jouissance dWe
annuité reposan t sur sa tête f pourvu que son marî , aujourd'hui âgé «de ^6 ans, soit mort à cette époque; ou s'il ne Test pas encore , l'annuité ne sera payable qu'à la fin de Tannée dans laquelle il décédera ultérieurement. Quelle est la valeur actuelle de cette réversion, l'intérêt étant supposé à 4 P- loo, et la mortalité confornae aux observations faites en Suède?
La valeur d'une annuité, différée de lo ans sur la tète d'une femme de 4o ans, est, d'après la question VI , égale à 6,926; et la valeur d'une annuité sur l'existence simultanée des deux têtes, est, d'après la même question , égale à 3,5 1 1 . Donc la différence entre ces deux valeurs, oti 3,4i5,sera, d'après la question XIII , la valeur demandée.
Si nous vouKons déterminer la valeur de ces annuités différées en reversion, en primes annuelles, payables durant l'existence simultanée des têtes proposées, nous n'aurions qu'à diviser le prix unique trouvé ci-dessus , par l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité sur l'existence simultanée de ces têtes, ainsi que nous l'avons déjà expliqué dans le scolie de la question XIIL
Scolie.
401. Si l'annuité différée qui fait l'objet de cette question dépendait de l'existence simultanée de toutes les têtes à l'expiration du délai fixé , la solution serait tout autre, ainsi que je l'ai déjà observé au sujet des annuités différées, payables jusqu'au dernier décès des têtes proposées, dans le scolie de 390 : et l'on doit distinguer avec soin ces deux questions. Quand
la reversion dépend de Texistence s imultanée de toutes les têtes à la fin dn délai , sa valeur est égale à la valeur de la réversion sur ua méâie nombre do tètes , plus âgées chacune que les.têtqs proposées du délai fixé , multipliée par l'espérance que lé groupe des têtes proposées a de recevoir* i fr* à l'expiration de cie délai, {ployez 78.)
Exemple i . Quelle est la valeur actuelle d'une annuité en reversîoti sur une tête de 20 ans, payable, après un délai de 3o ans , tant qu'elle survivra à une autre tête âgée de 40 ans , et pourvu que ces deux tètes subsistent à l'expiration de ce délai? On suppose que l'intérêt soit à 4 f P- 100 et la mortalité conforme aux observations de M. Depàrcieux.
La valeur d'une annuité sur une tête de 5o ans après une tête de 70 ans , est , d'après la question XIII, égale à 6,404 9 différence entre 11,921 et 5,617; et l'espérance qu'un groupe de deux têt^s, âgées de 20 et 40 ^ï^s, a de recevoir i fr. après un délai de 5o ans, est, d'après la question II, 0,0899; donc ^® pro- . duit de ces deux quantités , pu 0,576, sera la valeur demandée.
Exemple 2. Quelle est la valeur actuelle d'une annuité sur la tête d'une femme de 40 ans, payable tant qu'elle survivra à son mari, maintenant âgé; de 46 ans, après un délai de 10 ans, et pourvu .que tous les deux subsistent à cette époque? On si^po.^ que l'intérêt soit à 4 p« 100, et la mortalité conforme} aux observations faites en Suède. ^' ;
La valeur d'une annuité sur la tête d'une femmes
(46) àgëe de 5o ans, aptes le décès de son mari, ëtgé de 56 ans, est, d'aprèsla question XIII, "égale à 4^)75; et l'espérance que le grc>upe des deuic têtes proposées a de recevoir i fî*., apt^ès lo ans, est, d'après la question II, égale à 0,44*^9; donc le produit de ces deux quantités ) ou 1,8621 sera la talent* demandée.
Si nous voulionis fcléterminer en primes annuelles la valeur de ces ànnijités, nous n'aurions qu'à diviser le prix unique par l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité sur le groupe de toutes les t^tes proposées, ainsi que je l'ai déjà expliqué dans le scolie de la question Xllt. *
QtrlEStlON XIX.
402. Trouver la valeur d'utie annuité temporaire en rei^rsion.
SOLUTION
Substitues! le^ valeurs des annuités temporaire:^ sur les têtes proposées à celles des annuités pour la durée totale de leur existence , et opérez du reste comme dans la dernière question. {Ployez 77.)
exemple 1 . Une propriété est engagée pour 3o ans, et le revenu en doit appartenir à une personne âgée auj^ôûrd'lim ' dé 50 ans , au décès de son frère , âgé de 40 ai4s î qùfeilé est à son i^gârd la valeur dé ce contrat , Pifitérêt étant suppoèif k 4 J p. lôb, et la mortalité o(mft>fiftfre aux observations de M. Déparôiéiix?
La Tfele** d'une annuité de 3ô ans , âur* une tété de ûo ans, est , d'après la- quiesHon VH, égale à 14,352 , et la valeur d'une semblable annuité Sûr le groupe des «deux têtes, est, d'apirès là mètneques-
(47) tioa^ égale à i:i^49? donc la difiereace entre ces deux valeurs , ou 3^505 , sera , d'après la question XID, la valeur demandée.
Exemple 2. Dans le bail d'une propriété, engagée dans l'origine pour 21 ans, il reste encore 10 ans a courir , et une femncie de 4^ ans, doit au décès de son mari, âgé de 46 ans, entrer en jouissanbè dû revenu de cette propriété jusqu'à l'expiration du bail. Quelle est à soa égard la valeur actuelle de ce contrat, l'intérêt étant supposé à 4 p* 100 et la mortalité conforme aux <^)servations faites en Suède?
La valeur d'une annuité de 10 ans sur la tète d'une femme de 40 ans , est , d'après la question YII , égale à 7^47^ ^ ^ 1^ Valeur d'une Semblable annuité sur le groupe des deux têtes est, -d'après la même question, égale à [6,775 : donc 0,700 est la Valeur demandée.
Si nous voulions déterminer en primes annuelles la valeur de ces annuités, nous n'aurions qu'à divi*ser le prix unique par l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité temporaire sur le groupe des têtes proposées , payable pendant un an de moins que le terme pro*^ posé : et le quotient sera la prime annuelle demandée, {Tojez 368.)
