QUESTION XX

403. Deux individus, A et B, achètent une ànhuité payaUe jusqu'à leur dernier décès, *et qui doit être également partagée entre eux pendant leur existence simultanée, poul: appartenir en totalité au dernier vivant , après le décès de l'un d'eux : trouver leurs

parts respectives , ou la proportion dans laquelle chacun d'eux doit contribuer à l'achat.

SOLUTION

De la valeur d'une annuité sur la tête A ou B, retranchez la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe des deux têtes ; le reste sera la part de A ou de B , respectivement. {Voyez 85.)

Exemple i. Supposons que l'âge de A soit 20 ans, celui de B , ^o ans ; le taux de l'intérêt 4 7 p- 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de M. Depameux.

La valeur d'une annuité sur une tête de 20 ans est, d'après la labié V, égale à 16,624; et la valeur d'une annuité srur une tête de 40 ans, est égale à 14,^54 : la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes, âgées de 20 et 40 ans, est, d'après la table IX, égalera i2,545, dont la moitié est 6,272. Par conséquent cette dernière valeur retranchée de 16,624 donnera io,352 pour la part de A, et retranchée de 1 4, a54 , donnera 7,982 pour la part de B.

'Exemple 2. Supposons qu'une propriété soit engagée jusqu'au dernier décès de deux personnes, dont un homme âgé de 46 ans , et une femme de 40 , et que le revenu en soit partagé entre eux de la manière ci- dessus : quelle somme de vra-t-on donner à chacun d'eux pour acquérir leurs droits dans ce contrat? On suppose que l'intérêt soit à 4 p. 100, et la mortalité conforme aux observations faites en Suède.

La valeur de la part de rhbmme est égale à 7^i54 > ou à la différence entre i^f^gj et 5,t^5 ; et la va*^ leur de la part de la femme est égale à 9,1258, ou à la différence entre i494oi et 5,i45. Donc si le re** venu net de la propriété était de 5o fr. par an^ la somme qu'on devrait donner à lliomme serait 357, 70, et la somme qu on devrait donner a la femme serait 462,90.

Scolie.

404. Si lannuité est pour un noi:^t>re d'années moindre que la durée probable d^ l'existence des têtes proposées , nous devons substituer les valeurs des annuités payables pendant ce nombre d'années , aux valeurs des annuités pour la durée ^ entière de l'existence des têtes proposées , et opérer avec ces valeurs substituées suivant les indications de la règle^

Ainsi, dans le premier exemple, si l'annuité était de 3o ans seulement, nous devrions trouver les valeurs d'une annuité temporaire de 3o ans sur une seule tête de :20 ans, sur une seule tête de 40 ^^as, et sur le groupe de ces deux têtes; ces valeurs sont respisct^yement^ d'après la questiqp VII, égales à

i^,55àif . ^ ^A?^ ' ^^ ^ .^949* Çopséqi|e|i^mejit lia; moitié de la dernière valeur retranchée cjei ï4#553( donnera 8,5:28 pour la part de A , et retranchée de 1 3,470, donnera 7,44^ pour la partie B.

40S;i:J)enx:Àxîdividus jscnsitcieiii possession d^ne

annuité j pa}sàbk:( j ustfii a * lexm ; Âermep. -décès > i i^maîs T. II. 4

qui f au décès de Fun d'eùt ^ doit ap|)aHeBir à D (ou à seg' héritiers) "pendant l'existence du ililryîvant j trouver la valeur de Tintérèt de D dans cette an** nuîté*

; SOLUTION

l)e la somme des valeurs d^une annuité sur ctiacune des têtes en possession^ retranchez deux fois la valeur d'une annuité sur leur existence siàiultanée : le reste sera la valeur demandée. {Fojrez 157.)

Ea^tnple, SuppOtonâ ^tie lés Ages des deux têtes îstî'pôsdessioti soietit dé 210 et 46 an^, <!|[tle t'iiiték^t ^KÂt k 4 î p* i bô f et la rdôf talité coiifornle aux observation^ dfe M. Dèparcîeux.

Leë vâleûré d\itie annuité sur chacune des deux téteâ sont, d'après la table V, égales à 16,624 et 14^354» 6t la valeur d'une annuité sttrie groupe de êë^ deux têtes e^t, diaprés la table IX , égale à 1:1, 545. Ditoc iîS^ogô, retranché de 30,678, donnera 5,788 p^Vir l'ititérêt de D dans Cette annuité.

Sî lès déù?t tètes en possession étaient tm homme dé 46 âttâ et utie femrAe de 40, la tàléUr de rintérét de D où de !s6s héritiéhi ferait 6>i!^6, eti suppd^dt qUè l^iâtérét fhtkÀ p. 100 et la mortalité bonfo^me au* bbéervatibhs faîtes tn Strèdé. ' •

406. Si l'annuité est pQur un nombre d'années moindre que la durée probable de l'existence de runé des têtes propodées, nous devons, ëubslitoer les ^ÇBrs des annàîtés-^ayabln^ péddmtf ce 1 nom-

bre d'années aux valeurs des annuités pour la durée totale de l'existence des têtes proposées, et opérer avec cea valeurs substituées suivant les indicatio;QS de la règle.

Ainsi , si , dans le dernier exemple , l'annuité re* posant sur les deux têtes de 20 et 40 ^^^ n'était payable que pendant 5o ans , dans ce cas ^4^098, ou deux fois la valeur d'une annuité temporaire de 3o ans sur le groupe des deux têtes, étant retranché de 27,822, ou de la somme des valeurs d'une annuité temporaire de 3o ans sur chacune dçs tçtes proposées, donnerait 3,^24 pour la valeur demandée.

QtJESTMfN XXM.

407- Trouver la valeur d'ujtie annuité certaine pendant un nombre déterminé d'années, et ensuite payable pendant le reste de l'existence d'une combinaison quelconque de tètes.

SOLDTtOff.

A 1^ .valeur actuelle d'une annuité certfuhé peudant le nombre d'années déterminé, ajoutez là valeur d'une annuité sur les têtes proposées , différée Aé ce nombre d'années : la somme de ces deux quantités sera la valeur demandée. {Voyez 51.)

Exemple i . Quelle est la valeur d'une annuité payable certainement pendant ^o. ans, et ensuite jusqu'à l'extinctioxi d'une personne maintenant àgœ de 20 ans ^ on suppose que Tintérêt soit à 4 7 p. ibo et la mortalité conforme aux observations de M. De-

La valeur d'une annuité certaine de io ans e^\, d après la Table LIX , égale à 16,289, et la valeur d'une annuité différée de 5o ans, stir une tête de 20 ans, est, d'après la question VI, égale à 2,273; donc i8,56f sera la valeur demandée.

Ejtemple 2. Quelle est la valeur d'une annuité payable certainement pendant 10 ans , et ensuite pen^ dant l'existence simultanée d'un homme de 46 ans et de sa femme âgée de 40 ans; on suppose que l'intérêt sôit à 4 p- 100 et la nfiortalité conforme aux observa^ tiôns faites en Suède.

lia valeur d'une annuité certaine de 10 ans est, d'après la table LIX, égale à 8, 1 1 1 , et la valeur d'une annuité différée de 10 ans sur le groupe des deux Côtes est, diaprés la question VI, égale à 3,5 11 : cônséquemment 11,622 sera la valeur demandée.

QUESTION XXIU.

408. Supposons qu'un individu ait pour toute sa vie la jouissance d'une annuité, et qu'il ait à son décès la faculté de se choisir un successeur. Trouver la valeur actuelle de l'annuité sur la tête en succession.

sounrioN.

Multipliez la valeur d'une annuité sur la tête en possession par le taux de l'intérêt, et retranchez le produit de l'unité ;" multipliez le reste par la valeur

pi^uihée ( î ) d'une annuité sur la tête en succession ;

(i) la tète ou les tètes qui doivent entrer en jouissance de )*annuite'y après l'extinction de la tète ou des tètes en pos-

('55) leproduit sera la valeur actuelle clemaodëe. (/^c^. 205.)

Exemple. Supposons que la tête en possession soit âgée de 65 ans^ et qu'à son décès eHe ait ta faculté de choisir une autt^ tête pour lui succéder; nous supposerons que cette tête soit une des meilleures qu'elle pourra trouver afory, ou qu'elleait^fory environ loans. Quelle est la valeur actuelle de l'annuité sur cette tête en succession y l'intérêt étant à 5 p. loo et la morta- Kté conforme aux observations de M. Deparcieux.

La valeur d^une annuité sur une tête de 65 ans est, diaprés la table V, égale à 7,535, qui, étant multiplié par o,o5 et retranché de l'unité, donnera 0,^62325, etcette quantité, multipliée par 16,2 1 3, valeur d'une annuité sur la tête qui doit être nommée par la suite , produira to,io5 pour la valeur actuelle demandée.

Si nous avions à résoudre le même problème, d'après les tables de Northampton , et le même taux d'intérêt, nous devrions multiplier 7,276 par o,o5; leproduit, retranché de l'unité, donnerait 0,63620; et cette dernière quantité, multipliée par i5, iSg, donnerait 9,63 1 pour la valeur demandée.

Scolie,

409. La solution donnée à cette question s'uppH'que également aux annuités çur des groupes dé têtes

session, doivent être fixées alors arbitrairement, et par conséquent la valeur actuelle d'une annuité sur ct^s té tes variera en raison d«s âges auxquels on suppose que ces têtes sont choisi4}s«

OU payables jusqu'au deroier décès ^ lorsqu'on a la faculté de nommer à l'extinction de cette combinaison de têtes, une combinaison semblable d'autres têtes pour leur succéder.

Exemple. Supposons qu^une annuité repose sur un groupe de deux têtes âgées de 5o et 60 ans ; et qu'à l'extinction de Tune d'elles, un groupe de deux autres têtes, les meilleures qu'on pourra trouver alors et que nous supposerons toutes deux âgées de 10 ans, doive être nommé pour lui succéder. Quelle est la valeur actuelle de l'annuité sur le groupe en succession, l'intérêt étant à 5 p. 100^ et la mortalité conforme aux observations de Nortbampton.

La valeur d'une annuité sur le groupe proposé est,, d'après la table XXX, égale à 6,568, expression qui, multipliée par o,o5 et retranchée de l'unité, donnera 0,67160, et cette dernière expression, multipliée par 12,665 (ou la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes âgées de loans), produira 8,5o6 pour la valeur demandée.

Si l'annuité est payable jusqu'au dernier décès des deux têtes âgées de 5o et 60 ans , avec faculté à l'extinction de ces deux têtes d'en désigner deux autres, que nous supposerons âgées de 10 ans, et qui jouiront de l'annuité jusqu^à leur dernier décès ; la valeur actuelle de l'annuité sur ces têtes en succession peut être calculée d'une manière semblable ; car la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux tètes âgées de 5o et 60 ans est , id après la solution de la question VIII, égale à 12,093 , qui multiplié par o,o5 et retranché de l'unité^ donne

0|59535;et cçtte quantité multipltéd par i^^^iS, oa la valeur d'une nnnuité payable jusqu'au dernier àér ces de deux^ tète$ de lo ans, donnera ô^gôSpour la^^ Taleqr demandée.

QUESTKMî XXIY.

410. Trouver la valeur actuelle d'une a^^^i(§ certaine pendant un nombre déterminé d années^ payable après Textuiction d^une combinaison quelconque dé tètcs^

SOLUTION,

Multipliea^ la valeur d*^une annuité sur les têtes proposées par le taux de rintérét, et retranchez le produit de l'unité; multipliez le reste par la valeur actuelle d'une annuité certaine pour le nombre d'années fixé; le produit sera la valeur demandeje^

{Fojrez2m.)

Exemple. Supposons que I> ou ses b^vitiiçr;^ ^^JTÇ jouir d'une annuité certaine de 21 ans ^ ^près le ^^y çès d'une personne de 70 ans; quel est, à l'égard deD. la valeur actuelle de cette annuité ^ l'intérêl étant à 5 p, 100 et la mortalité conforma aux observations de Northamptonw

La valeur d'une annuité sur une tête de 70 ans est, d'après la table XXVH, ^ale à 6,023, qui^ multiplié par o,o5 et retranché de l'unité^ devient 0,69885;. et cette exppresiçipn, multipliée par 13,^21^ ou 1;^ valeur d'une imnmté certaine de 21 ^ans^i produira 8^960 pour la valeur actuelle d'uiie même*

annuité dont on ûe doit entrer en jouissance (i) qu'après Textinction de la tète proposée.

Si Ton ajoute cette valeur à 6^023, valeur de l'annuité sur la tête en possession ^ on aura i4>983 pour la valeur d'une annuité sur la tête proposée^ commençant immédiatement ^ et payable après l'extinction de cette tête, pendant un terme fixe de 21 ans.

Exemple 2. Une propriété est engagée par bail à deux personnes âgées de 60 et 70 ans, et pour un terme fixe de 21 ans, après le décès de toutes deux. Quelle est la valeur de ce contrat, en supposant l'intérêt à ^ p. 100 et \a mortalité conforme aux observations de Nortbampton.

La valeur d'une anauité payable jusqu'au dernier décès de deux têtes âgées de 60 et 70 ans, est, d'après la qi;estion YIII égale à 9,735., qui, multiplié par o,o5 et retranché de l'unité, donnera o,5i325f cette quantité, multipliée par 12,821, ou la valeur d'une annuité certaine de 2 1 ans , donnera. 6,58o pour la valeur actuelle d'une même annuité de 2 1 ans, payable après l'extinction des deux têtes proposées ; et cette valeur ajoutée à 9,755, valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de$ deux têtes, donnera 16,5 1 5 pour la valeur demandée.

Exemple 5. Une propriété es^ engagée par bail à

(i) Cette Siplution suppose que le pren^ier paiement de l'annuité est effectué à la fin de Tannée dans laquelle s1é-% tçint U tête pi'Qpqsée^

(57 ) trois personnes âgées de 5o , 60 et 70 ans , et après leur décès pour un terme fixe de 21 ans. Quelle est la valeur de ce contrat, l'intérêt étant à 5 p. 100 et la mortalité conforme aux observations de Northampton.

La valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de trois têtes, âgées de 5o, 60 et 70 ans, est, d'après la question IX, égale â 12,443» qui, multiplié par o,o5et retranché de l'unité , devient 0,37785 ; cette quantité multipliée par 12,821 donnera 4f^44 pour la valeur actuelle de l'annuité de 21 ans, payable après l'extinction des trois têtes; et cette valeur, ajoutée à i2,44^> donnera 17,287 pour la valeur demandée.

Si les trois têtes avaient i o , 60 et 70 ans , la valeur d'une annuité, payable jusqu'à leur dernier décès, serait 16,878; et la valeur d'une annuité de 21 ans payable après leur décès, serait 2,64^ - la valeur de* mandée serait donc i8,520.

Ou si les trois têtes avaient 10 , 10 et 70 ans, la valeur d'une annuité, payable jusqu'à leur dernier décès, serait 17,610, et la valeur d'une annuité de 21 ans, payable après leur décès; serait i,532 ; la valeur demandée serait donc 19,143-

Du renouvellement des baux qui reposent sur V existence dun nombre quelconque de têtes ^ et ont ensuite un nombre fixe d armées à courir.

411. Les trois exemples de la dernière question xmi& serviront à moutrer comment on peut déterminer la valeur de la prime qui doit être payée pour re-

nouveler un bail primitivement constitue sur trois têtes et pour un nombre fixe d années après leur ex-^ tinction, en remplaçant par de nouvelles têtes celles qui s'éteignit ; car la valeur de cette prime sera tou'^ jours égale à la valeur actuelle du bail awint le renouvellement , retranchée de sa valeur après Fintrodnction des nouyelles têtes ( i )•

Ainsi y supposons que dans un bail constitué dans l'origine sur trois têtes et pour 21 ans après, une des têtes s'éteigne, et que les deux survivantes soient âgées de 60 et 70 ans ; la valeur de la prime qui doit être payée pour introduire une nouvelle tête âgée de 10 ans, est égale à la différence entre i6,5i5 , va-» leur trouvée par le second exeniiple , et 1 8,5ao, valeur trouvée par le second cas du troisième exemple. Ainsi, la valeur de la prime sera égale à 2,:9o5, ou à environ 2 fois \ le revenu net de la propriété.

Supposons encore que deui^ des trois têtes soient éteintes, et que l'âge de la survivante soit 70 ans; la valeur de la prime qui doit être payée pour iutnK duire deux nouvelles têtes , touteç dei^s^ âgées dç 10 ans, est égale à la différence entre 1^9^^ , valeur trouvée parle premier exemple, et 19,142, valeur trouvée par le troisième cas du troisième exemple t ainsi, la valeur de la prime sera égale à 4^159 » ou à environ 4 f^^is ^ le revenu net de la propriété.

Ces exemples nous serviront encore k déterminer la somme qui doit être payée pour substituer de

(0 Vcjez ce qui a déjà été dit au sujet des renouvellemens des b^iUK viagers en générât , p® 397.

(59) nouvelles têtes à celles sur lesquelles le bail est cans* titué; la solution suit absolument la même méthode. Ainsi, supposons qxt'un bail soit constitué sur trois têtes et pour 21 ans ensuite , que les âges actuels de ces têtes soient 5o , 60 et 70 ans^ et qu'on veuille &i;d)Sr tituer à la tête de 5o ans, une autre tête âgée de jo ans ; la pinme qui doit être payée à cette occasion sera égale à la différence entre i^f^Sj , valeur actuelle du contrat , d'après le premier cas du troisième exem^ pie y et 18,520, valeur du contrat iz/^nèf la substitu-^ tion, d'après le second cas du même exemple. Donc la valeur de la prime sera 1,233, ou environ i fois; ^ le revenu net de la propriété.

412. Un grand nombre des propriétés de la Corporation de Liverpool sont affermées de la ipaniàre indiquée par ces exemples, et jusqu'à ces dernières années le renouvellement des baux s'opérait constam^ ment de la manière suivante : une Jais le revenu pour le remplacement d'une tête décédée, trois fois le revenu pour le remplacement de deux têtes décédées, et sept fois le revequ pour Iç reinplacçment des trois têtes, quand les 21 ans restaiout encore ^ courir. En aucun cas on n'avait égard à l'âge ou à la s^nté des personnes. Cette babitqde dedeo^nd^r PP^^' une tête quelconque , une prime uniforme de renouvellement , et sans tenir aucun compte de l'âge et de la santé, dénotait une ignorance complète des principes de cette matière, et était le plus souvent funeste aux intérêts de la Corporation.

Mais ce qu'il y avait encore de plus singulier à ce

sujet, c'était l'habitude où l'on était de substituer, moyennant une guinée seulement par tête y des têtes qui devaient être en bonne santé, et ne pas excéder 5o ans, à des têtes de tout autre âge et dans une propriété d'une valeur quelconque. On a peine à croire qu'une telle règle ait été admise dans une ville aussi éclairée que Liverpool. Enfin, la Corporation , se doutant que son mode d'opérer était vicieux , fit discuter cette question dans un comité qui s'en référa à mon opinion ; et sur sa demande je calculai pour l'usage de la Corporation une série de tables fondées sur les principes exposés dans les exemples précédens. Comme il est probable que plusieurs autres corporations continuent d'observer , en affermant leurs propriétés, une règle aussi inexacte et aussi absurde, j'ai insisté plus particulièrement sur ces exemples , afin qu'on puisse y découvrir aisément les moyens de dé-r terminer les valeurs qui doivent être payées dans ces sortes d'occasions.