QUESTION XXVII

41à. iTrou ver la valeur de V assurance d'un capital propose, payable à l'extinction (i) d'une combinaison quelconque"^ de têtes.

SOLUTION

Multipliez la valeur d'une annuité sur les têtes proposées par le taux de l'intérêt , et retranchez le produit de l'unité ; divisez le reste par le produit du placement de i fr. après 1 an, et le quotient, multiplié par la somme proposée , sera la valeur demandée. ( Voyez 180.)

Exemple i . Quelle est la valeur actuelle d'une assurance de 100 fr. sur la tête d'une personne de 20 ans*, l'intérêt étant à 4 i p« 100^ et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.

La valeur d'une annuité sur cette tête est, d'après la table V, égale à 16,6249 qui multiplié par Oyo45, taux de l'intérêt, donnera 0,74808; la différence

(1) G'est-à-dire payable à la fin de l'année dans laquelle s'éteignent les têtes proposées : ce qu'on doit toujours entendre dans les quiestions de ce genre. Cependant la coutume des compagnies d'assurances est de payer la somme convenue 6 mois après le jour du décès.

T. II. 5

entre cette valeur et Tunité est 6,25192, qui, divise par 1,045, produit du placement de i fr. après i anj donnera 0,24107 pour la valeur actuelle de i fr. payable à l'extinction de la tête proposée (i); et cette valeur, multipliée par 100, donnera 24,107 pour la valeur demandée en un seul paiement.

Mais , pour déterminer la prime annuelle correspondante , nous n'aurons qu'à diviser le prix unique que nous venons de trouver par l'unité ajoutée à h valeur d'une annuité sur la tête proposée, d'après les principes de 369 : ainsi, 24,107 divisé pai 1 7,624 , donnera 1 ,568 pour la prime qui doit êtn payée annuellement pendant l'existence de la personne assurée , pour garantir à son décès la somm< de 100 fr. Le premier paiement de cette prime s'effectue immédiatement, et les autres au commencement de chacune des années suivantes.

(i) Au moyen de la valeur actuelle de i fr., payable à Textlnction d'une combinaison quelconque de têtes, nous pourrons aisément déterminer le capital qui devrait être payé à l'extinction de ces têtes, pour remboursemeni iTune somme maintenant avancée : il suffira de diviser le montant de cette dernière somme par la valeur actuelle de i fr. , trouvée pré> cédemment. Ainsi, si une personne âgée de 20 ans emprunte 4,000 fr. , et garantit le remboursement de la valeur de cette somme à son décès , on trouvera le capital que devra recevoii aloi*s le créancier , l'intérêt et les tables de mortalité étant les mêmes que dans le texte, en divisant 4>ooo par 0,24107 ; le quotient 16,592,691 sera la valeur demandée. Cette règle esl universelle , et s'applique à toutes les questions suivantes de ce chapitre.

(67) Si rassuré avait 4^ ans^ la valeur de Tassurance en un seul paiement serait 54»5i5, qui^ divisé par i5f25^, donnerait 2^249 pour la prime annuelle icorrespondanle.

Exemple 2. Quelle est la valeur actuelle d'une somme de 100 fr. payable au décès d'un homme âgé de 46 ans; l'intérêt étant à 4 p- loo^ et la mortalité conforme aux observations faites en Suède.

La valeur d'une annuité sur la tête d'un homme de 46 ans , est , d'après la table XVI , égale à 12,^^97, qui, multiplié par 0,04, et le produit retranché de l'unité, donne o,5o8i2; cette quantité divisée par 1,04 donne o,48858, qui, multiplié par 100, devient 48,858, qui est la valeur demandée en un seul paiement; et cette dernière somme , divisée par 15,297, donnera 3,674 pour la prime annuelle correspondante. Si l'assuré avait 56 ans, l'assurance vaudrait, en un seul paiement, 58,781, qui, divisé par 10,717, donnerait 5,485 pour la prime annuelle correspondante.

Mais, si la somme dépendait du décès d'une femme âgée de 4^ ^^^ t ^^ valeur de l'assurance en un seul paiement serait trouvée égale à 40,765 ; et cette somme , divisée par i5,4oi, donnerait 2,647 pour la prime annuelle correspondante. Et si la femme était âgée de 5o ans, la valeur de l'assurance en un seul paiement serait 49>8 1 2 , qui , divisé par 1 5, 049 , don* nerait 5,817 pour la prime annuelle correspondante.

Exemple 3. Quelle est la valeur d'une assurance

de 100 fr. snr un groupe de deux têtes, âgées de 20

Ist 4^ ans; l'intérêt étant à 4 I P- loo, et la nior^ talité conforme aux observations de M. Deparcieusi*

La valeur d'une annuité sur le groupe des deux têtes est, d'après la table IX , égale à 1 2,545 , qui, multiplié par o,o45, taux de l'intérêt, produira 0,5645^; cette quantité, retranchée de l'unité, donnera o,45547^ qui, divisé par i,o45, produit du placement de I fr. après un an, donnera 0,41672; cette valeur, multipliée par 100, produira /^ifi'j2 pour la valeur demandée , en un seul paiement. Et si l'on divise cette dernière quantité par 1 5,545, on aura 5,077 pour la prime annuelle correspondante.

Si les deux têtes avaient 5o et 70 ans, la valeur demandée en un seul paiement serait égale à 71,956, qui, divisé par 6,5i7, donnerait ii,o55, pour la prime annuelle correspondante.

Si l'assurance reposait sur un groupe de deux personnes, dont un homme âgé de 46 ans et sa femme de 4^, sa valeur en un seul paiement, l'intérêt étant à 4 P« 100 , et la mortalité conforme aux observations faîtes en Suède , serait 56,592 : expression qui , divisée par 1 1 ,286, donnerait 5,oi4pour la prime annuelle correspondante.

Ou si les deux têtes étaient Agées de 56 et 5o ans, la valeur demandée serait trouvée égale à 65,869, ;eja un seul paiement; et cette expression, divisée par 8,874 1 d.onnerait 7,4^^ pour la prime annuelle correapondante.

Exemple 4* Quelle est la valeur d'une assurance de 100 fr., payable au dernier décès de deux tètes

âgées de 20 et 40 ans, rintérêt étant à 4 t P* ^^^f' et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux. '^

La valeur d'une annuité , payable jusqu'au dernier décès de deux têtes âgées de 20 et 40 ans, est^ d après la question VIII, égale à 18, 353, qui, multiplié par 0,045 et retranché de l'unité , donne 0,17502; cette quantité , divisée par i,o45, donne 0,16748, qui, multiplié par 100, donne 16,748 pour la valeur demandée en un seul paiement.

Si l'on divise cette dernière quantité par i9,353, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité, payable jusqu'au dernier décès des deux têtes , on aura 0,866 pour la prime annuelle correspondante , payable jusqu'à l'extinction des deux têtes.

Si les deux têtes avaient 5o et 70 ans, la valeur demandée serait, en un seul paiement, égale à 41 ; 328, qui, divisé par 13,6^5, donnerait 3,o33 pour la prime annuelle correspondante.

Ou si l'assurance dépendait du dernier décès de deux personnes , dont un homme âgé de 4^ ans et fia femme de 40, la valeur demandée (l'intérêt étant à 4 P- 1 00 , et la mortalité conforme aux observations faites en Suède) serait 33,o3i , en un seul paiement, et cette quantité, divisée par 17,412, donnerait 1,897 pour la prime anfiuelle correspondante.

Et si ces deux têtes étaient âgées de 56 et 5o ans, la valeur demandée serait en un seul paiement 43>.7^3, qui, divisé par j4'39^ 9 donnerait 2,869 pour la prime annuelle correspondante.

exemple 5. Quelle est la valeur actuelle d'Rn le^

( 70 ) de ioo fr. qu'on doit recevoir à rextinclion de l'une quelconque de trois têtes âgées de 20, 3o et 40 ans, l'intérêt «étant à 4 p- 100, et la mortalité conforme aux observations de Northampton?

La valeur d'une annuité sur le groupe des trois tètes est, d'après la table XLIV, égale à 8,986, qui, multiplié par 0,04 et retranché de l'unité, donne o,64o56 : cette quantité, divisée par 1,04^ donne 0,61592, qui, multiplié par 100, produira 61,592 pour la valeur actuelle du legs proposé.

De la même manière nous pouvons déterminer la valeur d'un legs, payable à l'extinction de deux quelconques des trois têtes proposées; car la valeur dune annuité sur deux quelconques de ces trois têtes est, d'après la question X, égale à i5,5i5 : donc, en opérant comme dans le dernier cas, nous trouverons 57,250 pour la valeur actuelle du legs proposé.

Nous trouverons aussi de la même manière la valeur d'un legs, payable à l'extinction des trois têtes, car la valeur d'une annuité , payable jusqu'à leur dernier décès est, d'après la question IX, égale à 19,710, et en opérant comme ci-dessus nous trou-! verons 20,346 pour la valeur actuelle demandée.

Scolie.

416. Il ne sera pas inutile de se reporter ici à l'observation faite dans le scolie de 200, au sujet des valeurs relatives de l'assurance d'un capital , ou d'une propriété correspondante, observation qu'on peut encore vérifier en comparant les valeurs de deux c^

a^nalogues dans les deux dernières questions. Ainsi/

il résulte du premier exemple de la question XXVII,

que la valeur de lo^ooo fr. , payables au décès d'une

personne de 20 ans ^ l'intérêt étant à 4 • P* 100 , est

^gale à :i4^^97^^ ^^ ^^^^ ^^ premier exemple de la

question XXVI , on voit que la valeur d'une propriété

correspondante^ d'un rapport de 4^0 fr, par an, est

égale à 25 19,10. Or, il est évident que cette dernière

valeur est à la première dans le rapport de i,o45 à i.

QUESTION XXVra.

417. Trouver la valeur d'une assurance différée d'un capital quelconque, et sur une combinaison quelconque de têtes.