QUESTION XXIX

419, Trouver la valeur d'une assurance temporaire sur une combinaison quelconque de têtes.

SOLCTION.

De la valeur de l'assurance de la somme proposée pour la durée entière de l'existence des têtes données^ retranchez la valeur d'une assurance de la même somme , différée du temps que doit embrasser l'assu-^ rance proposée : le reste sera la valeur demandée.. ( Fo/ez 184. )

Exemple 1 . Quelle est la valeur actuelle de 100 fr.,. payaUe au décès d'un homme de 46 ans , pourvu que*

( 75 ) , cet événement ait lieu dans un intervalle de lo ans : l'Intérêt étant à 4 P* i oo , et la mortalité conforme aux observations faites^ en Suède ?

La viàleur d'une assurance de loo fr. pour la vie en-? tièrede cette personne, est, d'après la question XX VII, égale à 48,858, et la valeur d'une semblable assurance , différée de i o ans , est , d'après la question XXVIII, égale à 3o,8o7; cette quantité, retranchée de la première, donne i8,o5i pour la valeur demandée , en un seul paiement.

Si nous voulions déterminer la même valeur eu primes annuelles, nous devrions diviser cette somme par 7,680 , ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité de 9 ans sur la tète proposée ; nous trouverons^ ainsi 2,35o pour la prime annuelle correspondante.

Si 1 assurance dépendait du décès d'une femme de, 4o ans, sa valeur actuelle serait égale à la différence entre 40,765 et 28,632, c'est-à-dire a 12,1 53 ; et cette valeur, divisée par 7,900, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité de 9 ans sur la tête proposée, don-, serait i,536 ][)Our la prime annuelle correspondante.

Exemple 2. Quelle est la valeur d'une assurance de 100 fr. sur un groupe de deux têtes, âgées de 20 et 40 ans, et pour un intervalle de 3o ans, l'intérêt iétant à 4 a P* 100, et la mortalité conforme aux ob-f servations de M. Deparcieux ?

La valeur d'une assurance pour la durée entière de l'existence du groupe proposé est, d'après la question XXVII , égale à ^ifi'ji , et la valeur d'une sembla|)le assurance, différée de 5o ans, est, d'après la

(76) question XXVIII, égale à 6,4^7 • donc cette deiv nière valeur^ retranchée de la première ^ donnera 55,305 pour la valeur demandée en un seul paiement; et si Ton divise cette somme par 1 2,959 , ou Tunité ajoutée à la valeur d'une annuité de 39 ans sur le groupe de deux têtes, on aura 2,717 pour la prime annuelle correspondante.

S'il s'agissait d'une assurance de 10 ans sur un groupe de deux personnes , dont un homme âgé de 46 ans et sa femme de 40 , sa valeur en un seul paiement, l'intérêt étant à 4 p* 100 et la mortalité conforme aux observations faites en Suède , serait trouvée égale à la différence entre 56,592 et 29,371, ou à 27,221 ; et cette somme, divisée par 7,529, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité de 9 ans sur le groupe des deux têtes, donnerait 5,714 pour la prime annuelle correspondante.

Exemple 5. Quelle est la valeur d'une assurance de 100 fr. pendant 5o ans, et dépendant du demiei décès de deux têtes âgées de 20 et 40 ans; l'intérêt étant à 4 j p* 100, et la mortalité conforme au3 observations de M. Deparcieux?

La valeur de l'assurance pour la vie entière de têtes proposées est, d'après la question XXVII, égal< 1^ 16,748,^ et la valeur d'une semblable assurano différée de 5o ans , est , d'après la question XXVIII égale à 10,660 : donc cette dernière valeur, retran chée de la première, donnera 6,088 pour la valeu demandée, en un seul paiement; et cette somme divisée par 16,546 j^ oy l'unité ajoutée à la valeu

d'ane antiaitë de ag ans sur Tane quelconque défi têtes proposées , donnera o,368 pour la prime an-^ nuelle correspondante.

Si Ton voulait de'termîner la valeur de cette assurance en primes annuelles, payables durant l'existence simultanée des deux têtes, dans ce cas, 6,086, divisé par ia,95g, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité fie 29 ans sur le groupe des deux têtes, donnerait 0,470 pour la valeur demandée.

De la même manière nous pourrions déterminer la valeur d'une assurance de 100 fr. pendant 10 ans, et dépendant du dernier décès de deux personnes, dont un homme de 4^ ans et une femme de 40, Fin-

[ térèt étant à 4 P* 100 et la mortalité conforme aux

f observations faites en Suède.

; Car la valeur de ,^tte assurance en un seul paie-

• ment est égale à la différence entre 33,o3i et 30,067, c'est-à-dire à 2,964, et cette somme, divisée par 8,25i, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité de 9 ans sur l'une quelconque des deux têtes , donnera 0,559 pour la prime annuelle correspondante, payable jusqu'aii dernier décès des têtes proposées; et la même somme, divisée par 7,529, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité de 9 ans sur le groupe des deux: têtes , donnera 0,404 pour la priaie annuelle , payable pendant l'existence simultanée des deux têtes.

Scolie.

420. Lorsque Ton veut déterminer la valeur d'une assurance temporaire pour un très court espace,

(78) comme i ^ 2, Z, ans, le moyen le plus facile sers dis calculer, d'après les tables de mortalité, la valeai de l'espérance de chaque année; car la probabilité jqu'une personne d'un âge donné a de mourir dans le .courant d'une année quelconque désignée, est une fraction dont le dénominateur est le nombre de vi-^ Vans à cet âge et dont le tiumérateur est le nombre d'individus décédés dans le courant de cette année; et cette fraction, multipliée par la valeur actuelle de la somme proposée, payable à la fin de l'année désignée , donnera l'espérance qu'on a de recevoir cette somme à cette époque , pourvu que la tête donnée s'éteigne dans le courant de cette année ; et la somme de ces espérances annuelles pour la première année, la seconde , la troisième , etc. , sera la valeur de l'assurance pour ces périodes respefitives.

Exemple i. Quelle est la valeur d'une assurance de 100 fr. pour un an, sur la tête d'une femme de 40 ans, l'intérêt étant à4 p* 100 et la mortalité conforme aux observations faites en Suède ?

La probabilité qu'une femme de 4û ans a de mourir dans la première année, est, d'après la table XIV,

.^gale à 7-5ô> et la valeur actuelle de 100 fr., payables

'dans un an, est, d'après la table XLVIII, égale à 96,1 54 : le produit de ces deux quantités donnera 1,321 pour la valeur demandée.

On verra de même que la probabilité qu'une femme

de 40 ans a de mourir dans la seconde année , est 7^,

et que la valeur actuelle de 100 fr«, payables dans

(79) ^ux smsp C5t 92,4^} 1^ produit de ces deux quantités donnera i ,4^5 pour la valeur actuelle de 100 fr., payables à la fia de la seconde année ^ si la tête don- Q|se s'éteint dans le courant de cette année ; et cette v^eur, ajoutée à celle que nous venons de trouver^ jioiiuera 2^786 pour la valeur de l'assurance pour è^as, ans.

Eu raisonnant encore de même , on verra que

^2—, multiplié par 88,900, donne 1,428 pour la

valeur actuelle de ipo fr., payables à la fin de la troisième année, si la tête donnée meurt dans le courant de cette année; et cette valeur, ajoutée aux deux précédentes, donnera 4>2i4 pour la valeur de l'assurance pour trois ans, et ainsi de suite pour les années suivantes.

Si l'on avait à déterminer la valeur d'une sem- Uàble assurance sur la tête d'un homme de 46 ans, m trouverait que les espérances pour la première , la seconde et la troisième année sont égales à

5— ( I ) , multiplié respectivement par 96, 1 54* 92,456

et 88,900, c'est-à-dire à 1,927, i,853 et 1,782; et les valeurs de l'assurance pour i , 2 pu S ans seraient donc respectivement égales à i;927, 5,789 €t5,56j2.

(i) Parce qu'on voit dans la table XfV que r estnon*

seulement la probabilité que cette tête a de mourir dans la première année, mais ausri celle qu'elle a de mourir dans la seconde et encore dans la troisième.

Les mêmes observations s'appliquent aux asdù-* rabces pour i an sur un groupe quelconque ai têtes; «car là probabilité qu'un groupe de deux têtes . par exemple, a de se dissoudre dans la premièri année y est égale à la différence entre l'unité et le produit des probabilités que chacune d'elles a de vivre i la fin de l'année ; et cette différence , multipliée par h valeur actuelle de la somme proposée payable dam I an , donnera l'espérance qu'on a de recevoir cette somme à cette époque , pourvu que l'une des têtes proposées s'éteigne dans le courant dé cette année.

Exemple 2. Quelle est la valeur actuelle d'une assurance de 100 fr. pour i an, sur un groupe de deux personnes, dont un homme âgé de 46 ans et sa femme de 40 9 l'intérêt étant 4 p- 100, et la mor-^talité conforme aux observations faites en Suède^

La probabilité qu'un homme de 46-ans a de vivre

à la fin de 1 année > est ^^ , et la même probabilité

pour une femme de 40 ans, est 7^-55; le produit de

ces deux fractions, retranché de l'unité, donne o,o355j qui, multiplié par 96,154, ou la valeur actuelle d< I fr., payable dans i an, donnera 3,q!2i pour la var leur demandée.

421 • Ces exemples montreront la méthode k suivn jpiour résoudre toutes les questions de ce genr Cjr e j'ai inséré ci-contre un tableau des primes demandéek par les diverses compagnies d'assurances poui une assurance dé 100 fr. pour i an sur une* seul

tète et^ plusieurs âges. J'ai ajouté en regard la valeur de la prime qui devrait être payée pour la même assurance^ si l'on suivait les tables d'observations de Deparcieux et l'intérêt de 4 P* ' ^o.

AftFS.

NOaTHAMPTON, 3 p. 100.

D£PARCI£l}X,

On voit donc que les diverses compagnies d'assu^ l'ances demandent le pliis souvent la moitié en sus àe ce qu'elles devraient demander^ et à quelques âges près du double. Et bien qu'il soit nécessaire de couvrif" les irais qu'entraîne toujours l'organisation de ces sociétés^ et de rémunérer ceux qui les dirigent^ il est cependant évident qu'elles demandent des primes excessives , surtout quand on considère que ceux qui contractent des assurances temporaires nWt à attendre aucune participation dans les bénéfices de la sociétés

T. II. 6