QUESTION XXX

422. Trouver la vâleor d utie assurance dune somme quelconque , payable au déoèâ de A , pôurvc qu'il meure avant un autre individu B.

SOLUTION (l).

Soit une tête plus âgëe Au i an que A ^ et Y une tête plus jeune de i an que A. Ajoutez Funité à la valeur d'une annuité sur le groupe OB, et multipliez la somme par le nombre de vivans à l'âge de ; divisez le résultat par le produit du placement de i fr. après I an y et réservez Je quotient. Multipliez la valeur d'une annuité sur le groupe Yfi par le nombre de vivans à l'âge de Y, et après avoir retranché le produit du quotient réservé, diviser le reste par le nombre de vivans à l'âge de A. Retranchez ce dernier quotient de la valeur actuelle de i fr., payable à la dissolution du groupe AB, et le reste multiplié par la moitié de la ramme proposée, sera la valeur demandée* (Fo/ez 231.)

ISxttnple I. Quelle est la valeur actuelle de loo fr., payables 11 la mort de A, âgé de 20 ans, pourvu

* ■ lu

, {1) Quand les deux têtes sont du même âge, la valent de^ n^^nidiée . e3t , dans tous les cas , égale à la valeur actuelle de te moitié de la somme proposée , payable à la dissolution du groupe tA \ ainsi , dans le premier exemple , si les deux têtes éiaiêùt âgées de 20 ans , la valeur actuelle demandée serait i7,6g5 , et si elles avaient 4o ans, cette valeur serait 22,634*

que B y âge de ^o ans , subsiste alors ^ l'intérêt étant 94 î p- 100 y et la mortalité conforme anx cdMervations de Deparcieux.

La râleur d'une annuité sur le groupe OB ^ c'est-àdire sur un groupe de deux tètes âgées de à r et 40 ans , esty d'après la règle du n* 57 7, égale à 1 a^S^o ; cette valeur ajoutée à Tunité^ puis multipliée par 806, nombre de vivans à ai ans, d'après la table III, produit 10897, 1 ao 9 et cette somme divisée par 1 ,04$, donne 104a 7,866 pour le quotient à réserver. La vileur d'une annuité sur le groupe YB , c'est-4t-dire sar un groupe de deux têtes âgées de 19 et 40 &as, est, d'après la règle du n® 577, égale à ia,575j cette quantité, multipliée par 8a 1, nombre de vivans à 19 ans, d'après la table III, produira To3a49075, et si l'on retranche cette somme du quotient réservé, et qu'on divise le reste par 814, nombre de vivans à ao ans, on aura 0,1 a75. Or la valeur de I fr», paj^able à la dissolution du groupe ÂB, c^est^i-dire d'un groupe de deux tètes âgées de ao et 40 ans, est, d'après la question XXYII, égale à ^4^67; donc 0^1276, retranché de cette valeur, donnera o,a89a, qui, multiplié par 5o, donnera i4>46 pour la valeur demandée.

Après avoir ainsi trouvé la valeur actuelle de la somme prc^osée , payable au décès de A , pourvu que B subsiste alors, nous pourrons déterminer aisément la yal^ir actuelle de la même somme, payable au décès de B, pourvu que A subsiste alors; car, dans ce cas 9 nous n'aurons qu'à retrancher la première valeur de celle de l|i même somme, payable à la disso*

lation du groupe AB. Ainsi ^ la valeur actuelle de ]00 fn, payables à la dissolution du groupe AB/est^ d'après la question XXVII, égale à 4ï>67 , et si ron. retranche i4>4^de cette valeur, le reste, 27,21 sera, la valeur actuelle de Tassurance payable au décès de B, pourvu que A subsiste alors*

Les valeurs trouvées dans ces deux cas sont celles daqfiandées en unseul paiement : mais si nous voulions détç^mîner la prime annuelle correspondante , nous devrions diviser le prix unique par l'unité ajoutée à la yaleur d'une annuité sur le groupe AB. Ainsi, 1494^1» ^^^j^^ P^^ 13,545, donnera 1,068 pour la prime annuelle, dans le premier cas, et 27,21 , divisé par 13,545, donnera 2,009 pour la prime annuelle^ dans^ le dernier cas.

Exemple 2. B âgé de 60 ans, s'il subsiste au dé-» ces de A, âgé de 25 ans, doit entrer en possession d'un legs de 100 fr. Quelle est à son égard la valeur actuelle de ce legs, l'intérêt étant à 5 p. 100, et

la mortalité conforme aux observations de Nor-

thampton.

La valeur d'une annuité sur le groupe OB, c'est-àdire sur un groupe de deux têtes âgées de 26 et 60 ans, est égale à 7,365, qui, ajouté à l'unité et spiultijpjié par 4685 , nombre de vivans à 26 ans, d'après la table XXV, dpnnera 39190,025, et cette somme^ divisée par i ,o5 , donnera 37325,833 pour le . qno* ti^nt à réserver. La valieur d'une annuité sul* le groupe XSi, ç'est-'à-dire sur un groupe d^denx têtes, âgées de24.et 60 ans, est égale à 7^399, qqi^ multiplié par

4835, Dombre de yivans à 34^^^??^^^^^^ 357749 1 65. Si Ton retranche cette valeur du quotient réservé , et qu'on divise le reste par 4760 9 nombre de vivans à ^5 ans j on aura o, 5 2556. Or la valeur actuelle de 1 fr. y payable à la dissolution du groupe des deux têtes proposées de ^5 et 60 ans , est égale à 0^60081 : donc o, 52556, retranché de cette valeur, donnera 0,27525 f qui ^ multiplié par 5o^ donnera 1 3,762 pour la valeyr actuelle du legs par rapport à B.

Si l'on retranche cette somme de 60,081 , valeur actuelle de 1 00 fr . , payables à Textinction du groupe des deux têtes A et B , âgées de 25 et 60 ans, le reste ou 46,319 sera la valeur actuelle du legs, payable à la mort de B , pourvu que A subsiste alors.

Et chacune de ces valeurs, divisée par Tunité ajoutée à la valeur d'une annuité sur le groupe des deux tètes , donnera la prime annuelle que devra payer B ou A respectivement, pour assurer à ses héritiers, en cas de son prédécès , le même legs à son échéance.

ScoUe,

425. Les exemples ci-dessus indiqueront la marche à suivre dans toutes les questions de ce genre ; et ici il peut être utile d'observer que les valeurs de la table LIIl, qui sont adoptées par toutes les compagnies d'assurances de Londres , ont été calculées d'après une règle inexacte donnée par M. Simpson, et que l'on ne peut suivre sans erreur grave quand la tête A est très jeune , ou quand il y a une différence considérable entre les âges des deux têtes. Je parlerai plus

longuement dans le chapitre XIV de cette singulière erreur.