QUESTION XXXI
424. Trouver la valeur d'une as&uranoe temporaire payable au décès de A ^ pourvu qxiil meure aidant un autre individu B.
soumoK (i).
Ajouteas 2 au taux de rintérêt, multipliez là somme par la valeur d'une annuité sur la tête B, et ajoutez Funité au produit. Appelez le résultat la première valeur.
Ajoutez 2 au taux de l'intérêt , multipliez la somme par la valeur d'une annuité sur une tête plus âgée quô B de Fespace qu'embrasse l'annuité proposée^ ajoutez l'unité au produit ^ et multipliez la somme par Tei^érance que B a de recevoir 1 fr. à la fin de ce laps de temps. Appelez le produit la seconde valeur.
Divisez la probabilité que A a de mourir avant la
même époque, par le nombre d'années, et multipliez
le quotient par la moitié de la somme proposée. Ap^
pelez le résultat la troisième valeur.
(i) Je dois faire observer que cette règle ne doime la vaù uf demandée que par approximation, et que par conséquent on ne doit s'en servir qu^avec pre'caution. La valeur e3:acte peut s''obtemr au moyen de la formule du problème 27^ tàttXialinte 4 ; tuais comme il serait fort difficile de tradtnie ceite 'fotlâiule en fanât de règle , j'ai préfe'ré eti eraployet ua6|iBoinsic»t*recte, tnais |d«s commode.
(8?) SUtmncbt^ la fecbnde valeur de hi première , et divisez le reste par le produit du plaœment de i fr. après UQ an : le quotient ^ multiplié par la troisième valeur 9 sera la valeur demandée.
Eoçemple i. Quelle est la valeur actuelle de 100 fr.y payables au décès de A^ âgé de 7 ans^ pourvu que ce décès survienne dans un intervallede 14 ans, et pourvu qu'une autre tête B, âgée de 3o ans, subsiste alors 9 riotérét étant à 3 p. 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de Nortfaampton?
La valeur d'une annuité sur la tète B , âgée de 3o ans, est, d'après la. table XXVII ^ égale à 16, gi^^^ qui, multiplié par :i|03 , ou 3 + o,o3 , produit 34^55 166; et cette quantité , ajoutée à l'unité^ doo^ nera 35, 35 166 pour la première valeur.
La valeur d'une annuité sur une tête plus âgée que B de 14 d^^f c'est-àrdire sur une tête de 44 ^^^p ^^ égale à 13,92g , qui, étant encore multiplié par s^oS, produira 28,27587* Cette quantité, ajoutée à l'unité, donnera 29,37587, qui « multiplié par o,5oi44y ^^ l'espérance que B a de recevoir i fr. après 14 ans, produira 14^68009 pour k seconde valeur.
La probabilité que A a de mourir avant la fin des 14 ans, est égale à 0,14599, qui, divisé par i4, donne 0^010428; et ce qt20tienl^ multiplié par 5o, ou la moitié de la somme, produira 0^5214 pour la troi'-i^ sièma valeur. '
I^i diâerence entre la première et la secondé va-» leur, est 20,67157, qui, divisé par i,o5, donne ^0,0695. Ce quc^ent , multiplié par 0,5214? donnera
10^64 pour la valeur demandée ^ en un seul paie ment.
Si nous voulions déterminer la même valeur e primes annuelles^ nous devrions diviser cette somrr par 9^566, ou l'unité ajoutée à la valeur d'une an nuité de i3 ans sur le groupe des deux têtes, et ] quotient, ou 1,094 serait la prime annuelle corre^ pondante.
Exemple 2. B âgé de 60 ans, s'il subsiste au dé ces de A , âgé de 26 ans , et pourvu que ce décès sui vienne dans un intervalle de i5 ans , doit recevoir u: legs de 100 fr. Quelle en est la valeur actuelle. Fin térêt étant à 5 p. 100^ et la mortalité conforme au observations de ]N or thampton?
La valeur d'une annuité sur la tête de 60 ans est d'après la table XXVII, égale à 8,392, qui, mult pliépar 2,o5 et augmenté de l'unité, donnera i8,2o5 pour la /?re/mère valeur.
La valeur d'une annuité sur une tête de 'jS anj est égale à 4i744f ^^^9 multiplié par 2,o5 et au^ xnenté de Tunité, donne 10,7262; et cette valeui multipliée par 0,19657, ou l'espérance que Bac recevoir i fr. après i5ans, produira 2,1061 pour! seconde valeur.
La probabilité que A a de mourir avant Texpin tion des 1 5 ans , est, o,23634^ qui, divisé par if donne 0,016756; et ce quotient, multiplié par moitié de la somme proposée , donnera 0,7878 poi )a troisième valeur.
La 4îfi!prençe entre la première et I9 secoade y\
(89> lenrest 16,0975^ qui, divisé par i ,05, donne 1 5,55 10. Ce quotient, multiplié par 0,7878, produira 12,078 pour la valeur demandée en un seul paiement.
Et cette somme , divisée par 7,592 , ou l'unité ajou-* tée à la valeur d'une annuité de 14 ans sur le groupe des deux têtes, donnera 1,591 pour la prime anpuelle correspondante.
Scolie.
425. Si l'intervalle qu'embrasse l'assurance se trouve compris dans les limites des décroissemens égaux de la vie de A , indiqués par la table d'observations sur laquelle on opère, cette règle donnera exactement la valeur demandée. Le second exemple est dans ce cas : car, en examinant la table XXV, on verra que, depuis l'âge de nS ans jusqu'à celui de 4^ , les décroissemens de la vie sont exactement égaux , et par conséquent notre règle sera dans ce cas strictement exacte. Néanmoins , si l'on calcule la valeur de la même assurance au moyen de la formule du prob. XXVII, cor. 4^ on la trouvera égale à 12,159, etje ne puis concevoir de raison à cette différence qu'en supposant qu'il y a eu quelque erreur commise dans les tables des valeurs des annuités , car il est évident que les deux résultats devraient être identiques.
