QUESTION XL

588. Trouver la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes , et différée d'un nombre quelconque d'années.

SOLUTION

Opérez comme dans les deux questions précédentes , en ayant soin seulement de substituer les valeurs d'annuités différées sur chaque combinaison des têtes proposées, à celles des annuités pour la durée entière de l'existence de ces têtes. (Voyez 60.)

Exemple i. Quelle est la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux têtes âgées de 20 et 4^ ^1^ 9 mais dont on ne doit entrer en jouissance qu'après un délai de 3o ans. On suppose l'intérêt à 4 7 P* 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.

La valeur d'une annuité différée de 3o ans sur une tète de 20 ans est, d'après la question VI, égale à

(3i ) 2,372; la valeur d'une semblable annuité sur une tête de 4^ ans est 0,784 ^ et la valeur dWe semblable annuité sur le groupe des deux têtes est 0^49^ ' si de la somme des deux premières valeurs, ou 3,o56, on retranche la dernière, le reste, ou :a,56o, sera la valeur demandée.

Exemple 2. Deux époux, le mari âgé de 46 ans et la femme de ^o, achètent l'usufruit d'une propriété réversible au dernier vivant, mais dont ils n'entreront en jouissance qu'après un délai de 10 ans. Quelle est la valeur de cet usufruit, en supposant l'intérêt à 4 P- 100, et la mortalité conformç aux observations faites en Suède.

La valeur d'une annuité différée de 10 ans et reposant sur l'existence d'un homme de ^6 ans, est, d'après la question VI, égale à 6,095 ; la valeur d'une semblable annuité reposant sur l'existence d'une femme de 4o ans , est ^ d'après la même question, égale à 6,926 , et la valeur d'une semblable annuité sur le groupe de ces deux têtes est 3,5 1 1 . Donc cette dernière valeur retranchée de la somme des deux premières donnera 8,5o8 pour la valeur demandée.

389. Ces exemples donnent les valeurs actuelles demandées eii un seul paiement; mais si nous avions à déterminer la même valeur en primes annuelles commençant immédiatement , nous devrions diviser le résultat en un seul paiement par l'unité ajoutée à la valeur d'une annuité reposant sur les têtes proposées et payable pendant un an de moins que le délai fixé*

Ainsi dans le second exemple , la valeur de Tannuité diffërëe est en un seul paiement 8^608 ; et ^ d'après la règle de la question qui suit^ la valeur d'une annuité temporaire de g ans et dépendant de l'existence de Tune des deux têtes, est égale à 7,261 . Donc 8,5o8 divisé par 8,^1 donnera i,o5i pour la prime annuelle demandée.

Scolie.

590. On devra observer ici que si l'annuité différée qui forme l'objet de celte question , dépendait de Texistence simultanée de toutes les têtes à la fin du délai fixé, la solution ne serait plus du tout la même. Ces deux cas doivent être distingués avec soin. Dans celui-ci la valeur demandée est égale a la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un même nombre de têtes plus âgées chacune que les têtes proposées d'un nombre d'années égal au délai fixé , multipliée par l'espérance que le groupe de têtes proposé a de recevoir i fr. à la fin de ce délai. {Voyez 61.)

Exemple i. Quelle est la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux têtes âgées de 20 et 4û ans, mais dont on ne doit entrer en jouissance qu'après un délai de 3o ans , et pourvu seulement que les deux têtes subsistent à l'expiration de ce délai. On suppose que l'intérêt soit à 4 7 p. 1 00 , et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux.

La valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux têtes âgées de 5o et 70 ans est d'après

( 55 ) la règle de la question VIII, égale à 1 2,626 ; et Teâpëranceque deux tètes réunies âgées de 20 et 40 ans ont de recevoir 1 fr. après un délai de 3o ans, est d'après la question II, égale à 0,0899; ^^ produit de ces deux quantités donnera 1,1 35 pour la valeur de-^ mandée.

Exemple 2. Un homme âgé de 4^ ans, et sa femme âgée de 40 ^ns veulent acheter une annuité payable jusqu'à leur dernier décès , mais dont ils ne doivent entrer en jouissance qu'après un délai de 10 ans , pourvu qu'ils vivent tous deux à cette époque ; quelle en est la valeur actuelle , si l'on suppose l'intérêt à 4 p« 100 , et la mortalité conforme aux observations faites en Suède.

La valeur d une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux personnes, dont un homme âgé de 56 ans et une femme de 5o , est d'après la question 8 , égale à 1 3,892 , et l'espérance que deux têtes réunies semblables âgées de 4^ et 40 ^^^9 ont de recevoir I fr. après un délai de 10 ans , est d'après la question II, égale à 0,44^9» 1^ produit de ces deux <luaDtités donnera 6,194 pour la valeur demandée.

391. La valeur de ces annuités en primes annuelles commençant immédiatement, sera éga,le à la valeur en un seul paiement divisée par l'unité ajoutée à la valeur d'utie annuité reposant sur le groupe des tètes proposées , et payable pendant un an de moins que le délai fixé,

Ainisi , dans le second exemple , la valeur d'une

annuité différée en un seul paiement est égale à T. II. 3

6^4 94i; ' et d'après la règle de la note de 31^, là v^ji" leur d'une annuité sur le groui]g^ des deux têtues payaUe pendant 9 ans^ est 6,5^9. lunsi 6,1194 divise par 7.^329 doufiera o,845 pou^ la prime annuelle ûe^ mandée.