CHAPITRE PREMIER

Étude du mouvement d'un compas gyroscopique à bord d'un navire au repos.

$ 7. — Repérage de la position d’un corps et représentation de son mouvement. — Nous employons la méthode classique de étude du mouvement d’un corps autour d’un point fixe.

Soit O le point fixe. L'ensemble OTG (fig. 4) représente l’appareil gyroscopique. Pour plus de clarté dans la figure, nous avons supprimé la rose R :

19 — Ox, 0y, Oz sont les axes principaux d'inertie du corps pour le point O0.

20 — Pour défiuir la position du corps, rapportons les axes Ox, 0y, Oz liés au corps et, par conséquent, mobiles, à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace 0x’, 0 y", Oz’.

Nous utiliserons les coordonnées de direction 0, +, 9.

L’intersection OA du plan æ0y avec le plan æ’'Oy est la ligne des nœuds. Son angle 4 avec Ox’ s'appelle précession. L’axe Ox fait avec la ligne des nœuds un angle + appelé rotation propre. Enfin, OZ fait avec Oz’ un angle 0 appelé nutation.

30 — Pour définir le mouvement du corps, dont le point O est fixe, nous donnerons ses vitesses de rotation instantanées autour des axes mobiles : p autour de Ox, g autour de Oy, r autour de Oz. Elles sont représentées par des vecteurs menés sur ces axes.

Y angl & nrecession 2 rolaton Ju'optre 6 nutahon

Fig. d.

L'axe instantané de rotation et la vitesse autour de cet axe s’obtiennent en composant les vecteurs p, q, r.

$ 8. — Cas particulier du compas gyroscopique. — Les définitions qui précèdent sont absolument générales. Mais, du fait que

THÉORIE MÉCANIQUÉ DU COMPAS GYROSCOPIQUE. A1

le corps constitue un compas gyroscopique, nous pouvons faire, dès maintenant, quelques remarques qui amèneront une grande simplification dans la suile des caleuls :

40 — La nutation 0 se trouve toujours sensiblement dans le plan xQz (1).

Nous admettrons donc que le plan æ0 z contient Oz”.

Fig.0.

Il en résulte que Oy devient la ligne des nœuds, la direction OA étant opposée à 0y. Oy devient, en effet, perpendiculaire à Oz’ et, par suite, est contenu à la fois dans les plans x0y et x'0y'. On a:

T Poe

La rotation propre est constante et égale à + à Le système des axes devient le suivant (fig. 5).

(4) Voir, au sujet de la valeur de l’angle +, rotation propre, la note page 65 et suivantes.

Zenith 2'à° }

20 — Dans ces conditions, il devient logique de prendre un système d’axes à droite, en reportant le sens positif de Oy sur OA. De plus, le sens des équations sera plus clair si, au lieu de l'angle #, nous adoptons comme coordonnée de direction l'angle « que le plan z'0x fait avec le plan z'O7”.

$ 9. — Définition des coordonnées. — Nous adopterons donc le système suivant de coordonnées (fig. 6).

49 — O est le point fixe de l'appareil.

0x, Oy, Oz soni les trois axes principaux d'inertie de l’appareil pour le point O.

Oz est dirigé suivant la ligne joignant le centre de gravité au point de suspension. Les z sont comptés positifs vers Le haut.

Ox est parallèle à Paxe de rotation du tore.

Oy est normal en O au plan xOz.

Oz, Oy, Oz forment un système d’axes à droite.

2° — Pour définir la position du corps, nous rapportons les axes 0x, Oy, Oz, liés au corps, et, par conséquent, mobiles, à trois axes rectangulaires fixes sur la terre Ox', Oy', Oz’.

Oz’ est vertical, les z’ sont comptés positifs vers le zénith.

Ox’ est dans le plan méridien, les æ/ sont comptés positifs vers le Nord.

Oy' est perpendiculaire au plan z'0x", les y’ sont comptés positifs vers l'Ouest.

Le système est à droite.

30 — Oz est toujours contenu dans le plan z'0x. La ligne des nœuds, intersection des plans x0y et x'0y', est Oy.

4° — Nous utiliserons les coordonnées de direction « et 0.

« est l’angle que le plan 3'Ox fait avec le plan 3'0%°: c’est la précession.

0 est l'angle, toujours situé dans le plan z’0#, que l’axe O3 fait avec l’axe OZ": 0 est la nutation.

5° — Toutes les rolations en sens inverse des aiguilles d'une montre sont positives et, par extension, tous les angles résultant d’une rotation positive sont posilifs.

Sur la figure, les angles « et 0 sont positifs.

$ 10. — Expressions de p, q, r. — Nous rappelons que p, q,r sont les vitesses de rotation instantanées autour des axes mobiles.

Il ne faut pas oublier que le point O, étant fixe sur la terre, participe à son mouvement de rotation et, par suite, que dans l’expression de p, q, r'il faut faire entrer l'expression de la rotation terrestre, soient Q,, Q,, Q..

Q est représenté par un vecteur positif situé dans le plan x'0z' et faisant avec Ox’ un angle L égal à la latitude du lieu. Il résulte de nos conventions que L est négalif si la latitude est Nord, positif si la latitude est Sud.

On voit que :

Q,—+ 9Q cos L cos « cos0 + Q sin L sin 0, Q,—— Q cos L sin &,

Ne .—+ Q cosL cos a sin — Q sin L cos 0.

Il est beaucoup plus commode de discuter le problème sur les coordonnées 0 et « dont nous désignerons les dérivées par rapport au temps par les symboles 0’ et 4”. 4’ est dirigé suivant Oy, el «’ est dirigé suivant Oz’.

Les expressions de p, g, r sont donc :

p—Q,— «’sin0,

ne g=0,+, r—=Q, + a’ cost.

$ 11. — Équations d'Euler. — Les équations générales du re d’un corps autour d’un point fes dites Équations d'Euler, s’interprètent en disant que :

Le vecteur qui représente la vitesse absolue de l'extrémité du moment angulaire, est identique au vecteur qui représente le couple appliqué au même instant.

Nous les mettrons donc sous la forme suivante, plus commode pour nos calculs que la forme classique.

/ de

= +Eg—Vbr=E£, du!

(1) Tr +br—Ep= I, de

db, 1, € sont les composantes du vecteur figurant le momeni angulaire que l’on appelle encore moment des quantités de mouve- . ment où moment of momentum, suivant la terminologie anglaise.

p, q, r, sont les vitesses de rotation instantanées autour des axes mobiles. Nous avons donné au $ 10 les expressions de p,q,r.

£, HT, 3 sont les composantes du vecteur représentant le couple appliqué au même instant.

Nous alions chercher les expressions de ces quantités en fonction des données du problème.

$ 12. — Expressions de .\, \, ©. — On sait que le moment angulaire d’un corps tournant autour d'un axe, par rapport à cet axe, est égal au produit du moment d'inertie du corps par rapport à cet axe par la vitesse angulaire de rotation autour de cet axe.

Les expressions de 15 et © sont donc évidemment :

vb = Bg et

Bet C sont respectivement les moments d'inertie de l'appareil par rapport aux axes Oy et Oz.

getr les vitesses de rotation instantanées autour de ces mêmes axes.

L'expression de 44 est un peu plus délicate à trouver, car dans & rentre le moment de la quantité de mouvement du torc tournant autour de son axe.

En appliquant le théorème des aires (Voir à ce sujet le:$ 30), on voit que l'expression de <b est égale à :

Ap +5.

A est le moment d’inertic de l'ensemble de l'appareil (gyroscope, tige et rose) par rapport à l'axe Ox.

5 estle moment d'inertie du tore par rapport à son axe.

p est la vitesse angulaire de rotation de l’ensemble de l'appareil autour de Ox.

w est la vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe : nous supposons w Constant:

w élant incomparablement plus grand que p, alors que 3 et A sont

à peu près du même ordre de grandeur, on peut négliger Ap devant

Jo et écrire :

à eb = JS w.

Il résulte des valeurs trouvées pour <4b,15, © que :

avb pd, de dr TEE Be dt dt

AE a db : :

Mais il serait inexact de poser — 0 bien que l’on ait posé : b = 9 w— constante.

Nous venons en effet de voir que:

db — A? +- ANDA La dérivée est donc :

do dp Fe À dt

qui n’est pas nulle.

$ 13. — Expressions de £, AÙ, 9%. — Le seul couple appliqué à l'appareil est celui dû à la pesanteur. Si l'on se rappelle ($ 8) que le plan vertical passant par l'axe de rotation du tore, plan xOz’, est un plan de symétrie de l’appareil, on a évidemment :

L=—=0; JT = — Mgasin0, NT — 0.

M est la masse de l’ensemble de l'appareil.

g = 981, la constante de la pesanteur.

a la distance du centre de gravité au point de suspension.

$ 14. — Équations générales du mouvement du compas gyroscopique. — En remplaçant dans les équations (1) Æ, 1h, ©, p,4 7, £, 2, %, par leur valeur, on obtient facilement :

. — a siu0) + G(Q,+ a" cos0)(Q, + 0) —B(Q,+0/)(Q,+ a cos0) —0, Q,+0) + 3w(Q + à cos@) — C(Q, + a’ cos0)(Q, — à’ sin0) —— Mga sin,

Q,—+ a cos)’ +B(O, + 0) (Q,— à’ sin) — $w(Q 57 0)=0.

Les dérivées par rapport au temps des expressions (Q,-- «’sin 0), (Qy + 0) et (Q: + a cos 0) sont représentées symboliquement par les expressions (Qz— x’ sin 6)", (Q, + 0)’ et (Q: + a’ cos 0.

19 — Les valeurs des vitesses angulaires Q, 0’, «’ élant très faibles, nous négligerons leurs produits deux à deux ou leurs carrés ;

20 — L'angle 0 est toujours très pelit, de sorte que, finalement, les équations du mouvement se réduisent au système suivant :

B0"+ 3w (Q., + a) + Myad —0,

(2) C I (2 œ"— Sw(Q, +9) — 0.

Ces équations déterminent tous les éléments du mouvement.

Les simplifications 1° et 2° dominent tous les calculs suivants. Nous les indiquons une fois pour toutes, mais il faudra toujours les avoir présentes & l’esprit pour comprendre la suite des calculs.

$ 15. — Mouvement oscillatoire du compas gyroscopique autour du méridien : mouvement dit de précession. — Nous voulons connaître la loi de «.

L’accélération angulaire 8” élant très petite, en dérivant la prcmière équation (2) par rapport au temps, on oblient :

à) wa” + M gal'—0.

En portant la valeur de ©” tirée de cette relation dans la seconde

équation (2), il vient :

( * EE | se, a Q — “(G+ M ga ) WC ; ;

; 52° al z (CHE) +500 cos sinx = ;

Pour des angles « petits, on pourra écrire :

da J2w°?

@) (CG + rer) +300 cos Là — 0.

Sous cette forme, on reconnaît l’équation classique des mouvements oscillatoires non amortis.

LKa—0.

L'intégrale générale est :

a—Metaf+Neté où ?, ete, sont les racines de l’équation IP+K=0,

let K étant essentiellement positifs, si on pose :

p—ÆiR:

on a :

On peut alors faire la suite des transformations suivantes :

a—Mo tt) Ne tn a — (MN) cosR£ + (M — N)sinR£, a—=UcosRi+ VsinRé.

En posant:

ou, enfin :

«= Xsin(Rt — u)

« est une fonction sinusoïdale du temps ; les deux constantesxetp seront déterminées par les conditions initiales, c’est-à-dire par les d'u valeurs pour é— 0 de xet FA (a

Calculons la vitesse angulaire

GENE Te 1R COS(R£— y).

Cherchons le temps T, à partir de l'instant £, au bout duquel le système mobile repassera au point où il est à cet instant £ avec une vitesse égale et de même sens; il faut évidemment :

A sim(Ré—u)—xsin{R{tÆT)}— vw], AR cos (Ré — p)—2XR cos[R (t + T)— pu].

Les deux arcs, devant avoir même sinus et même cosinus, diffèrent d’un multiple de 27. Donc :

RT=—9nx.

On à ainsi une infinité de solutions et le temps minimum au bout duquel se produira le premier retour du mobile à la position de l'instant £ dans les mêmes conditions sera :

T est la période d'oscillation du mouveinent.

En particulier, si on prend £ —0 de façon que x — 0, la solution générale de l’équation différentielle sera de la forme :

«x —=«sinRt,

«, étant la valeur maxima de «.

Le mouvement oscillatoire du compas gyroscopique autour du méridien est donc entièrement déterminé par le système suivant :

Q cosL :

a = 46 SinRtf, avec ent Wa * 50

Te oo C0 ya cos L M ga AI K,— — JwQ cosL. ax.

« est à chaque instant l'écart du plan z/0x au plan 2/04’.

T est la période du mouvement oscillatoire de «.

K; est le couple directeur, c’est-à-dire le couple qui oriente l’axe du tore vers le plan méridien. Le signe — indique que le mouvement est dirigé vers les « décroissants.

Le système (4) est identique au svsilème donné au $ 5, car l’appareil du $ 5 a une stabilité absolue dans tous iés plans verticaux passant par l’axe 33. Dans cet appareil, on aurait donc « infiniment grand. En d’autres termes, l'appareil du $ 5 et l'appareil du $ 6 ont un mouvement comparable : la modification apportée à l'appareil du $ 5 augmente simplement le moment d’inertie autour de Oz de la quantité :

Mga

$ 16. — Discussion.

sont de même signe. Le mouvement oscillatoire de précession de l'axe dirigé 07 ne peut donc avoir lieu qu’autour de l’axe dirigé 0%, de façon que les rotations w et Q soient respectivement de même signe par rapport à ces axes dirigés.

En d’autres termes, l'axe du tore tend à se placer dans le plan méridien de telle façon que les rotations du tore et de la terre soient de même sens. L'axe du tore présente donc un pôle Nord et un pôle Sud, tout comme l'aiguille aimantée.

20 — Couple directeur. Dans un appareil donné, le couple directeur ne dépend que du nombre de tours du tore et de la valeur de son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation. Il est directement proportionnel à chacune de ces quantités. Mais le couple directeur est indépendant de la distance du centre de gravité au point de suspension et du poids total du compas gyroscopique. Enfin, le couple directeur varie comme le cosinus de la latitude.

30 — Période. La formule donnant la période se prête à une discussion des plus intéressantes, car en un lieu donné de la terre, la valeur du couple directeur y entre avec le facteur 3. }

: : sw À Lorsque a a une valeur infiniment grande, —— est très petit Mga devant : la période est, dans ce cas, inversement proportionnelle ce) ©

à la racine carrée du couple directeur (voir à ce sujet les formules du $ 5).

la . . N . o Au contraire, si & a une valeur très faible, mn ga

devient grand C ee Dot

devant a la période est alors proportionnelle à la racine carrée

du couple directeur.

Le produit :

Jw C C

sera atteint pour :

En pratique, pour vaincre les frottements inévitables de la suspension, et donner, par suite, à la rose une grande stabilité vers le

Nord, malgré les évolutions du navire, on est amené à avoir un couple directeur aussi grand que possible. D’autre part, par construction, Gest toujours très petit devant Jw, il ne sera donc généralement pas possible de faire Mga assez grand pour que l'égalité soit satisfaite.

; So ; ; C Dans la pratique, =—— est toujours supérieur à —. ga 3w

Conclusion. — Dans les appareils courants, la période augmente sensiblement comme la racine carrée du nombre de tours du tore. On voit donc combien on raisonnerait faussement si on interprétait le mouvement du compas gyroscopique sur les formules du $ 5.

Nous rappelons que, dans les compas magnétiques, la période est inversement proportionnelle à la racine carrée de la force directrice

; [en =

et qu’elle a généralement une valeur de l’ordre de 15 secondes.

Théoriquement, rien n'empêche qu’un compas gyroscopique n’ait une période rigoureusement comparable à celle d’un compas magnétique. Mais, pratiquement, par suite de son poids forcément très élevé par rapport au poids d’une rose Thomson, les frottements, dans un compas gyroscopique, sont très supérieurs à ceux d’une bonne rose magnétique; nous sommes donc amenés à obtenir des périodes d’une valeur beaucoup plus considérable comme conséquence de l’augmentation inévitable du couple directeur.

D'ailleurs, ceci ne constitue pas un défaut pour l'appareil; nous verrons plus loin que l’on est amené à obtenir des périodes encore beaucoup plus grandes, de l’ordre de la demi-heure, et même de l'heure. Le seul inconvénient qui en résulte est l'obligation de ancer le compas un temps appréciable avant le moment où l’on doit utiliser ses indications.

Pour terminer cette discussion, nous ferons remarquer que la période est fonction inverse de la latitude.

$ 17.— Mouvement oscillatoire du compas gyroscopique dans le plan vertical passant par l’axe de rotation du tore : mouvement dit de nutation. — Nous cherchons à obtenir la loi de 0.

L’accélération angulaire 0” étant très petite, on obtient avec la première équalion du système (2):