DES

COMPAS GYROSCOPIQUES

A la mémoire de FOUCAULT.

$ 1. — Utilité d'un compas gyroscopique. — L'emploi, désormais unique, de matériaux en fer et en acier dans la construction des navires modernes, rend de plus en plus délicat usage du compas magnétique, ct la nécessité de remplacer cet appareil par un appareil insensible aux perturbations magnétiques de tout ordre est aujourd’hui impérieuse.

Le degré de perfection des roses Thomson est lel que les améliorations que l’on pourrait y apporter ne constitueraient pas, à coup sûr, un perfectionnement de nature à en révolutionner l'emploi. Par ailleurs, d’illustres savants, tels que Poisson et lord Kelvin, ont attaché leur nom au problème de la compensation des forces perturbatrices dues aux diverses masses de fer qui constituent le navire moderne. Encore cetle compensation se fait-elle à l’aide d’aimants permanents, qui diminuent singulièrement la force directrice moyenne au centre de la rose. La position d'équilibre de la rose est alors bien mal déterminée : un frottement insensible, les vibrations du navire en marche suffisent pour en troubler profondément les indications. À bord des sous-marins, à l’intérieur des biockhauss,

ou dans les fonds des cuirassés, les indications des compas magnétiques n’ont pratiquement aucune valeur. Et, sur les sous-marins notamment, le problème se complique si l’on envisage l'influence que peuvent avoir sur les roses des courants dont l’intensité est de l’ordre de plusieurs centaines d’ampères, et qui forment d’innombrables circuits en tous sens.

$ 2. — Conception d'un compas gyroscopique. — En 1852, Foucault présenta à l’Académie des Sciences le résullat de ses expériences sur le gvroscope. Il exposa notamment le fait suivant:

Si, en un lieu déterminé de la terre, on oblige l'axe d'un gyroscope à se mouvoir dans un plan horizontal, l’axe du tore, sous l'influence du mouvement de la terre, s'oriente dans le plan du méridien géographique après une série d'oscillations, tout comme l'aiguille aimantée s'oriente dans le plan du méridien magnétique.

Et, de plus, les sens relatifs des rotations du tore et de la terre déterminent réellement un pôle Nord et un pôle Sud de l'axe du tore : l'axe du tore se placera toujours dans le plan méridien, de façon que les rotations du tore et de la terre soient de même sens.

On conçoit donc qu’un gyroscope dont le mouvement continu est entretenu par un moyen électrique, par exemple, et dont l'axe ne peut se mouvoir que dans un plan horizontal, constitue un compas au sens propre du mot, c’est-à-dire un appareil pouvant rigoureusement remplacer l'aiguille aimantée.

Cet appareil sera absolument insensible aux variations de l'état magnétique du navire, car sa propriété d'orientation vers Le Nord résulte, non d’une attraction magnétique quelconque, mais bien d’un Théorème de Mécanique rationnelle que nous nous proposons d'exposer.

$ 3. — Propriété fondamentale du gyroscope. — Un gyroscope est constitué par un corps de révolution, généralement un tore, tournant rapidement autour de son axe (fig. 1).

Soit un disque tournant sans frottement autour d’un axe perpendiculaire à ses faces en son centre C, avec une vitesse angulaire constante w dont le sens est /. Supposons que ce disque puisse pivoter autour d'un axe horizontal yy parallèle et médian au disque.

Le disque sera en équilibre äutour de yy, quelles que soient sa position et la direction de cet axe.

Si le frottement autour de yy est nul, une impulsion donnée au disque dans le sens m le fera pivoter autour de yy avec une vitesse

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angulaire Q qui se maintiendra indéfiniment comme le mouvement w : ces deux mouvements sont, en effet, constamment en quadrature, et l’un ne peut exercer sur l’autre aucune modification.

On démontre en Mécanique que :

Un solide de révolution, suspendu par son centre de gravité, étant animé autour de son axe «x d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire w, si cet axe xx reçoit un second mouvement de vitesse angulaire Q autour du centre de gravité, 1 faut, pour maintenir l'axe xx dans le même plan, exercer sur lui et à angle droit, avec la direction de Q, une pression constante en grandeur el en direction

qui a pour expression :

: 9 WC) E — I à

5 étant l'expression du moment d'inertie du disque par rapport à l’axe xæ; l étant la distance des coussinets sur lesquels repose l’axe x,

Le sens n, de la pression F:, dépend du sens relatif des mouvements w et Q. Avec les sens / et m adoptés sur la figure, # a le sens que nous lui avons figuré.

Nous n’insisterons pas sur la démonstration de cette relation fondamentale, qui se trouve dans tous les traités de Mécanique rationnelle.

Cette propriété fondamentale permet d'expliquer tous les phénomènes gyroscopiques. En particulier, elle montre bien l’absurdité qu'il y a de croire que les seuls effets gyroscopiques peuvent assurer la stabilité malgré les couples appliqués, puisque le gyroscope réagit sous l’effet de ces couples. Toutes les expériences auxquelles se prête le gyroscope (tourniquels à tension et à poids de Gruey, culbuteur de Hardy, culbuteur de Gruey, pendule conique spiraloïde, etc.), s’expliquent aisément par la seule considération qui précède. Mais nous n’y insisterons pas, car notre sujet est de traiter non l’ensemble très varié des phénomènes plus ou moins curieux du gyroscope, mais bien l'application que l’on peut faire du gyroscope comme compas de navigalion.

$ 4. — L'expérience de Foucault. — Appliquons ces considérations au phénomène cité en 4852 par Foucault à l'Académie des Sciences.

Tous ces problèmes se résolvent assez facilement par l'application des divers Théorèmes sur les mouvements relatifs. Mais, avant d’entamer l'étude mathématique complète des compas gyroscopiques, nous avons voulu faire la part de ceux que rebute le calcul mathémalique, ct expliquer par des considérations très élémentaires le curieux phénomène d'orientation.

Réalisons l'appareil gyroscopique suivant (fig. 2) :

Piaçons le disque dans un cadre A, qui pourra lui-même pivoter autour de l'axe zz. Les pivots de l’axe 23 reposent sur des coussinets placés dans un cadre B. Le tout est arrangé de façon que le centre de gravité de l’appareil coïncide avec le centre du disque.

En un point quelconque de la terre, plaçons cet appareil. Le cadre B est fixé sur la terre de telle façon que l'axe zz soit placé perpendiculairement à Paxe NS de la terre. On oriente le cadre A de façon que ie disque soit placé dans le plan du méridien; l’axe xx est, par

INTRODUCTION. D suite, dirigé Est-Ouest, et dans un plan parallèle à celui de l'Équateur.

L'appareil placé, donnons au disque un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante w, de telle façon que la partie supérieure horizontale aille du Nord vers le Sud.

Fig, 2:

On verra alors l’axe du disque, d’abord parallèle au plan de l'Équateur, faire avec ce plan un angle de plus en plus grand avec une vitesse croissante : l’extrémité Est de l’axe s’avançant vers le Nord. La vitesse de ce mouvement d’élévation de laxe vers le Nord sera maxima lorsque l’axe sera dans le plan du méridien.

En vertu de la vitesse acquise, l'axe dépassera le plan du méridien, et — puisque l’on suppose nuls les frottements — reprendra la position Est-Ouest primitive, mais la pointe Est primitive se trouvant maintenant à l'Ouest.

À partir de ce moment, l’axe se dirigera à nouveau vers le Nord, en sens inverse.

En d’autres termes, l’axe de rotation du gyroscope oscillera d’un mouvement sinusoïdal autour du méridien.

L’explication est simple si l’on considère la propriété fondamentale du gyroscope.

Le cadre B étant entraîné par le mouvement de la terre, imprime par suite au tore une rotation autour de l’axe yy — rotation, dont la vitesse angulaire constante est égale à celle de la terre, Q.

La pression F: qui s'exerce sur l'extrémité de l’axe xx prend immédiatement naissance; elle crée un couple qui tend à faire . tourner le gyroscope autour de l’axe zz. Comme le cadre A est mobile autour de cet axe zz, ce couple fait effectivement tourner l’appareil. La force F., qui est, à proprement parler, la force direcirice, est constante en grandeur et toujours normale au mouvement Q :

L'appareil prend donc un mouvement sinusoïdal dont la période T est donnée par la formule classique :

G étant le moment d'inertie de l’ensemble de l’appareil autour de axe zz.

$ 5. — Généralisation. — Il est très délicat de placer rigoureusement en tout lieu de la terre, l’axe 27 perpendiculairement à l’axe de la terre. À l’Équateur, la chose est simple : il suffit de rendre zz vertical. s

Il est beaucoup plus facile d'opérer de la même façon en toutes les latitudes : l’axe 23 sera donc partout vertical. Mais alors la composante de la rotation de la terre suivant l'axe yy deviendra :

Q cosL,

L étant la latitude du lieu.

L'expression de la force directrice devient donc :

r $wQ cos L ‘2 NE

et la période sera :

Area

T = a Ba l/ remet

è INTRODUCTION.

$ 6. — Le compas gyroscopique. — À bord d’un navire, la question est beaucoup plus complexe. Le moyen le plus simple de maintenir vertical l'axe zz, malgré les mouvements de toutes sortes du bâtiment, est de suspendre l'appareil gyroscopique à une cardan de facon que le centre de gravité se trouve en dessous du point de suspension qui est le centre de la cardan.

Schématiquement, un compas gyroscopique sera donc constitué de la façon suivante (fig. 3):

L'équipage gyroscopique G sera fixé à une tige T qui sera suspendue par une cardan dont nous figurons le centre en O.

L’extrémité supérieure de la tige T portera une rose des vents R.

La cardan est supportée par une butée qui permet à l’ensemble gyroscopique de tourner dans tous les azimuts.

Les poids et les dimensions des différentes pièces seront tels que le centre de gravité de tout le système oscillant soit situé en dessous du point O.

Tout cet appareil pourra être disposé dans une cuvelle analogue à la cuvette qui contient les roses magnétiques. La cuvette sera placée dans un fût quelconque.

Le mouvement de cet appareil n’est plus aussi simple que celui de l'appareil précédent ($ 4).

Par suite de son mouvement autour de l’axe zz, le gyroscope exerce sur cet axe un couple toujours situé dans le plan z20x, mais dont le sens et la grandeur varient avec le sens et la grandeur de la vitesse du mouvement d'oscillation de l’axe du tore autour du méridien. Dans l’appareil du $ 4, l’axe 273 était absolument fixe et La réaclion des pivots détruisait l'effet de ce couple. Iei, l’axe 33 est mobile autour du point O et l'effet différentiel du couple est de créer un mouvement pendulaire de l’ensemble de l’appareil autour d’un axe horizontal perpendiculaire en O au plan z0%.

Cest l’étude complète de ce problème de pure Mécanique rationnelle que nous nous proposons de faire dans ce travail.

Dans tout ce qui va suivre nous supposerons nuls tous les frottements quels qu'ils soient.

On peut arriver à l'étude du mouvement du compas gyroscopique soit en appliquant la méthode de Lagrange, soit en appliquant les équations d’Euler.

L'emploi comparé de ces deux méthodes nous a permis de voir que la seconde présente une simplicité d'exposition beaucoup plus grande; aussi est-ce uniquement celle-là que l’on trouvera dans les pages suivantes: