AN

PET ga La te

Or, d’après le système (4)

œ— 4 RICOS RE Finalement :

(à) 0=— we — (a,R cosRt — Q sin L).

Le mouvement de nutation du compas gyroscopique est un mouvement sinusoïdal de même période que le mouvement de précession, mais il est en quadrature dans le temps avec lui. Il est d’ailleurs également en quadrature dans l’espace, comme nous l’avons vu au $ 8.

Nous discuterons plus loin l’expression de 8 (Voir $ 21).

:$ 18. — Mouvement général du centre de gravité du compas gyroscopique, — Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de déterminer la trajectoire du centre de gravité du compas gyroscopique sur le plan horizontal +07’, les axes de référence étant Ox' et Oy.

49 — Avant d'aborder le problème lorsque l'appareil se trouve sous une latitude quelconque, nous nous supposerons d’abord à Équateur, car alors l'expression (5) de 8 se simplifie et devient :

0—=— —. X a, R cosRf.

ga Nous rappelons que l’on à : (6)

&—dySsinRé.

Les mouvements « et 8 sont en quadrature à la fois dans l’espace et dans le temps.

L'élimination de f, entre ces deux équations, donne :

= X at — 2)

Si on ne considère que le cas de l’angle « petit, on reconnaît sous celle forme l’équation générale, en coordonnées polaires, des lem-

niscates :

e?— 2a cosbu,

où cos bw serait développé en série.

La trajectoire du centre de gravité du compas gyroscopique sur le plan horizontal #07 a donc — dans le cas où L — O — l'allure suivante (fig. 7).

Pis Nord

Fig. 7.

L'origine O est un point double d’inflexion, les tangentes à l'origine font avec l'axe Ox’ l'angle «o.

La longueur du grand axe de la lemniscate est :

La longueur du grand axe est fonction direc'e de la force directrice, et tonction inverse de la période.

Le rapport du grand axe de la lemniscate à l'angle des tangentes à l’origine est constant pour une latitude donnée :

2ad9wkR 1 JwR Mga ‘a Mga

Ce rapport est maximum à l'Équateur.

Le sens dans lequel est décrit la courbe est facile à déterminer.

Nous rappelons que les droites faisant un angle x positif avec O2”, sont dirigées Nord-Ouest—Sud-Est. 0 est positif lorsque O0 z est situé

au Nord de Oz’. Lorsque £ croît de O à gr est positif et croît, 0 est

négatif et décroit en valeur absolue (6). Le point figuratif de la trajectoire du centre de gravité part donc de A et décrit le huit dans le sens de la flèche.

20 —— Lorsque l'appareil est situé à une latitude quelconque, l’allure générale de la courbe est un peu modifiée. D'abord, il y a un petit crochet aux environs de l’origine.

En effet, 0 ne s’annule plus pour { = 7 c’est-à-dire pour « = %;

d’après l'équation (5), 0 s’annule pour une valeur £, telle que :

a, R cosR{,—= Q sinL,

Pour une latitude Nord, Q sin L est une quantité négative, donc on à

sl 3T cosRt,< 0, RUE re

La droite, faisant avec l’origine un angle «, est toujours une tangente, puisque «, est le maximum de l'écart avec le méridien, mais la tangente à l'origine fait avec Ox’ l'angle «, déterminé par la relation :

: CR SINIR 1e où

rie

De plus, si la longueur totale du grand axe n’a pas changé, les demi-axes ne sont plus égaux, car, en un lieu donné, la quantité Q sin L garde un signe constant et, par conséquent, tantôt s’ajoute

arithmétiquement à « R cos Rf, et tantôt s’en retranche.

L’allure généraie de la courbe est donc celle de la figure 8, à condition toutefois que la valeur absolue de «, R soit toujours supérieure à la valeur absolue de Q sin L, ce qui a toujours lieu dans les appareils courants. Sinon, la courbe présente un aspect tout différent. |

Fig. 8.

Remarque. — Le point de contact de la courbe avec la tangente caractérisée par l’angle « se trouve sur cette langente à une distance de l’origine donnée par là relation :

3wQ sinL 0 — —— |, Mgu

Q étant très pelit, la valeur de 0 est très faible et pratiquement, à toutes latitudes, la courbe pourra être confondue avec Le huit parfait obtenu à l’équateur.

$ 19. — Résumé du chapitre Ier. — Le mouvement de l'appareil décrit au $ 6 résulte de la composition de deux mouvements sinusoïdaux, en quadrature à la fois dans l’espace et dans le temps.

Un premier mouvement étant un mouvement oscillatoire, autour du plan méridien, du plan vertical passant par l'axe du tore.

Un second mouvement étant un mouvement pendulaire dans le plan vertical passant par l’axe du tore.