CHAPITRE IL

Déviations balistiques.

$ 24. — Position du problème. — Ce n’est qu'exceptionnellement qu’un navire en marche ne roule ni ne tangue. De plus, surtout dans la marine de guerre, pendant la navigation d’escadre, les navires sont amenés à changer de vitesse et de route.

Les accélérations de ces divers mouvements, roulis, tangage, variations de vitesse, girations, donnent naissance à des forces qui se traduisent généralement, pour le compas gyroscopique, par un couple perturbateur, puisque le centre de gravité ne coïncide pas avec le point de suspension.

Si le compas est dans sa position d'équilibre, il en sera donc dérangé brusquement, puisque la cause perturbatrice s'établit brusquement; puis, la cause cessant, le compas reprendra sa nouvelle position d'équilibre pour la roule et la vitesse nouvelles. La déviation est balistique : le départ de la position primitive d’équilibre a lieu avec une certaine vitesse qui donne naissance à une élongation maxima que nous nous proposons de calculer.

Ces élongations alteignent une valeur beaucoup plus élevée que la déviation permanente. On ne peut malheureusement pas en tenir compte dans la navigation, puisque, par son origine même, ce genre de déviation est à chaque instant variable, mais leur élude est des plus intéressantes, car leur discussion permet de fixer la grandeur

que l’on doit altribuer dans la construction à certaines constantes du compas gyroscopique, notamment la période.

Cette étude est très délicate, mais il suffit d’en faire la recherche dans des cas particuliers, en choisissant de préférence le cas le plus défavorable, afin d’avoir une limite supérieure de la déviation. Cela est, d’ailleurs, sans aucun inconvénient, étant donnée l’impossibilité de corriger la route d’une déviation à chaque instant variable : il suffit, en effet, de connaître l’ordre de grandeur de l’erreur commise.

Naturellement, nous ne compliquerons pas notre exposé en étudiant la perturbation balistique que ces différentes causes amènent sur l’angle 0. En pratique, les variations de 0 sont très petites et, d’ailleurs, l’angle «, seul, intéresse Le navigateur.

$ 25. — Déviation balistique due aux changements de vitesse d'un bâtiment suivant une route fixe. — Tant que la vitesse du navire est constante, l'accélération du mouvement est nulle, et le compas ne possède que la variation W signalée au $ 23, si le navire sans roulis ni tangage fail route au cap R:. Nous allons négliger W pour le moment.

Seule produit une déviation de la rose la composante de l’accéléralion située dans le plan z'0x, et nous rappelons que ce plan fera avec le longitudinal du navire un angle égal à R»,

Le navire augmente brusquement de vitesse. Par inertie, le compas va être rejelé brusquement en arrière du mouvement. En d’autres termes, l’accélération j du mouvement se traduit par un couple perturbateur Mja cos0 X cos R, qui tend à faire pivoter l'appareil autour de Oy, et dont l'effet vient s’ajouter au couple — Mga sin0, de telle façon que, dans les équations d'Euler, il

faut poser :

JT = — Mga sin 0 + Mja cos0 cosR,.

La première des équations (2) donne :

Sw(Q,+ a!) + Mgao — Mja cosR, = 0.

Les condilions au temps £ :— 0 deviennent donc :

9w0, , MjacosR,

Ce) QE a ——— 2 M ya ë 3

Nous devons donc poser dans les équations type du mouvement oscillant :

à Mja cosR, :

0——XÀsinu, FRS ÈS R cosy, d’où M ja cosR,

pi 0, =— NE te DR ñ

Mja cosR, L X —= Tige De sinRt. L'élongation maxima est

M ja cosR, LC ONE: ee Ta

«, est proportionnelle à la vitesse initiale : c’est donc bien une élongation balistique, puisque la vitesse initiale n’est pas nulle. L'instant de l’élongation est celui où la vitesse est nulle, c’est-àdire :

M ja 30° Dans le cas que nous avons choisi : augmentalion de vitesse, le

couple Mja cos0 cos R, est positif si R, est Nord, l'angle « est donc positif au départ : l’élongation est Ouest.

Il est indépendant de

La déviation balistique «, est de même sens que la différence des variations WN'— W, mais ne s'ajoute pas à elle.

On peut mettre «, sous une autre forme en écrivant :

MjacosR, R MJacosR, 1} Dr

onu Rae ne D | 9x 3 wQ cosL saine, x À): See Mga 3

C , o D] Comme dans les compas usuels, me est négligeable devant No

(A0) À ga on peut écrire : ,

La déviation balistique x, est d'autant plus grande que la période est plus petite, «, peut donc atteindre des valeurs considérables et,

pratiquement, inadmissibles surtout si R, — 0. De plus, si us n’est 9 w Mga plus grande que celle donnée par cette formule : «, est donc un minimum de l’élongation,

Il est bon de signaler que la relation ci-dessus n’est vraie qu’autant que l’accélération agit d’une façon constante avec la même intensité.

pas négligeable devant , la valeur de l’élongation est encore

On peut aussi avoir une relation donnant «, en fonction de la variation de vitesse du bâtiment, Av.

La vitesse angulaire initiale de la perturbation est : , MjacosR,

(e AN == 7 w

Le navire subit une variation de vitesse Av, dont à chaque instant l'accélération est représentée par j, de telle sorte que:

A so f jdt.

Et l’on aura :

3 MaAvcosR, AvcosR, 4x2 M Re 9 w gQ cos L T?

Cette formule n’est vraie que tant que l'effet de la variation de la vitesse peul être assimilé à une percussion. D'ailleurs elle ne tient pas compte du couple directeur.

On peut dresser une table donnant «, pour les différentes valeurs de T'et de Av cos R».

$ 26. — Déviation balistique due aux girations d'un bâtiment marchant à une vitesse constante. — La déviation balistique due aux girations est d’un ordre de grandeur encore plus élevé que la déviation balistique due aux variations de vitesse. Les calculs étant irès compliqués, nous nous placerons dans un cas particulier.

Supposons, par exemple, un navire sans roulis ni tangage, faisant route au Nord. Le navire vient brusquement sur la gauche d’un angle R, et conserve ensuite ce nouveau cap, le NR, Of.

Par suite de son inertie, sous l'effet de la force centrifuge, le compas gyroscopique est brusquement rejeté à l’extérieur du cercle de giration et il en résulte une déviation balistique de la rose. Nous voulons calculer la déviation balistique maxima «, qui résulte de

cette évolution, ainsi que la déviation «, atteinte lorsque le bâti- Ù

ment atteindra son nouveau cap, le NR; Of.

La déviation balistique due à la giration procède de trois causes :

19 — Dès que le navire commence son abattée, une accélération centrifuge prend naissance;

20 — Seule, produit une déviation de la rose, la composante de l'accélération située dans le plan z'Ox, qui est sensiblement fixe sur la terre. Par suite, pendant l’abattée, il y aura variation de cette composante perturbatrice;

30 — L’accélération centrifuge disparaît dès que le navire a pris son nouveau Cap.

Dans le cas particulier où nous nous sommes placés, route au Nord, la première des trois causes n’existe pas puisque l’axe du tore est situé dans le plan longitudinal du navire; l'effet de la force centrifuge est de faire pivoter l'appareil autour de l’axe Ox, ce qui ne cause aucune perturbation dans l'équilibre.

Nous désignerons par r, Pangle que fait à chaque instant le cap du navire avec le méridien. Soient, d’autre part:

la vitesse angulaire de giration et

» la vitesse linéaire constante du navire en centimètres par seconde.

1=pX0 sera l'accélération centrifuge, et la composante perturbatrice sera : = X vsin(r,— à).

Le moment du couple perturbateur est, 6 étant pelit : —Magvsin(r, — à).

Si le début de l’abattée est pris pour origine des temps, on peut poser 7,==+{ et l'expression du couple perturbateur devient :

— Magv sin(gt —o).

Les équations (2) du mouvement deviennent :

Jw(Q, + «) + Mgad + Mavvsin(pt — «)—=0, Co"— Jw(Q,+ 07) — 0.

Ces équations sont valables pour les valeurs de #f comprises entre 2 R 0 el Rs, c’est-à-dire entre les temps { —0 et { — Les calculs sont fort compliqués, nous les simplifierons en admettant que « est toujours assez pelit pour qu’on puisse poser :

sin(pf— x) —sinœt, ete SIna —&.

L’élimination de 6 entre les deux équations donne :

dx d?w? o?v Le ARR PR PAT —— ju — :

PT (c+ ee) wQ cosL X à BI) ô cos ?

Nous reconnaissons là une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec un second membre fonction circulaire, dont la forme générale est :

dy dy

Pr Re + Qy= A cosmx + B sinmx

Nous ne développerons pas les calculs qui conduisent à l’intégrale générale qui est de la forme :

y = Y +R, cos mx + R,sin mx avec :

(Q — m°?)A — mPB

= erecn mp ne 1 (Q — 2} + m2 P2

ù PQ mme

et R

Dans cette expression y, est l'intégrale de l’expression différentielle prise sans le second membre.

Dans notre cas, on a :

fl reste donc:

DÉVIATION PERMANENTE ET DÉVIATIONS BALISTIQUES. 37 D'où :

EE CcOoSMmx.

Finalement, d’après les équations générales du $ 15 :

aæ— ÀSin(Re-- pr) + Le cos ml.

La vitesse anguiaire est :

k A AR cos(Ri— y) — ; Sinml.

Les conditions initiales sont :

t=0 0 À er = Vs &—U, CE 0, a: Mga c'est-à-dire :

D D IR co) 0 Q — m2 c à d’où T A rare TE

LE De cosRt).

e . R », Lorsque le navire a atteint la route R;, on a — — et l’élonga- A tion « atteinte est :

A ( R, 5) La = =—>5 | COSMm— — CoOsR — ).

Ry Q—m? ? (

Tous calculs faits, on a.