F—4KI

Les deux racines de l’équation sont donc :

p=—b+bi pa——b—bi.

avec :

WF à VAKI — F?

b=+x PERS On a donc :

ae (Me? Ne À) que l’on transforme facilement en :

x—e""! X Asin (b’t—B), d’où :

da

le à Abe XX sin (b't— B) + Ab'e — D cos (b't — B).

Les constantes A et B se déterminent par les conditions initiales. Prenons pour origine des temps, l’époque d’un passage à la position d’équilibre, c’est-à-dire que l’on a simultanément :

da t—0 a = 0 TH 8

(C'est là aussi Le cas d'une déviation balistique du compas gyroscopique.) On en déduit :

B=0; et :

À = p° da :

On alors pour «et PT les valeurs suivantes :

er e PE sin b't da + a —ùt / / LE mr (b' cos b't — b sin b't).

. La première de ces équations montre bien que le mouvement est oscillatoire et amorti, puisque « est un produit de deux facteurs

dont l’un décroît constamment et dont l’autre oscille entre —1 et +1.

, do ds L'élongation a lieu pour Ent. c'est-à-dire à un temps 7, tel

que :

b' cos b’z = b sin br, (| / ES EN ( Trois pr arc lang à L / y

1 n’est défini qu’à un multiple près de x. Si on )

Mais are tang f?

À Me 7 so appelle p le plus petit arc inférieur à — dont la tangente soit —

7 go es

valeurs de + seront :

v= - (u + kr).

Entre deux élongations conséculives de part et d'autre de la position d'équilibre, il s'écoule un temps :

et entre deux élongations consécutives du même côté de la position

d'équilibre, un temps :

"RD er

T' qui est constant est la période du mouvement oscillant amorti :

Si on cherche maintenant les valeurs du temps pour lesquelles « == Ü, on trouve :

bi kr l— À # p # Q LP 2 Entre deux passages consécutifs au zéro, il s’'écoulera un temps mn et h entre deux passages conséculifs au zéro, mais avec la vitesse dirigée dans le même sens, il s'écoulera un temps :

Nous rappelons que le temps qui s’écoule entre un maxiunum et le zéro n’est pas le même que celui qui s'écoule entre ce zéro et le pre-

mier maximum de sens contraire au précédent. En effet, soient : a l’époque du premier zéro qui a lieu pour { — 0; b l’époque du premier maximum positif qui à lieu pour 1 b’ GEAUEEe (ange Lab t , ® . T c l’époque du deuxième zéro qui a lieu pour D

d l'époque du premier maximum négatif qui a lieu pour !

RS | b = Ty arc lang 7 °n aura donc :

c--b = 7 — arc lang 5)

de tang .

Or:

donc :

LA

arc lang = ee 5

ete c—b>d—c.

Variation des amplitudes. — L'instant du premier maximum est donné par :

é| / LE X arc lang 5’

el sa valeur sera :

— DT + }, Æmax pos — b' X € sin b't.

fi

3 | 1ù Un second maximum aura lieu au temps ++ g> St valeur sera :

T/ a’ TE (= AP r) F | T’ Emax nég be X e sin b (+ 5):

Que + corresponde ou non à un maximum pour sin b’+, on a toujours :

PT=9r sin ba sind (+ 5):

d’où, en valeur absolue :

Emax pos n — — €

max nég

Si l’on numérote les maxima dans l’ordre où ils se présentent

Pi

dans le temps, et si on désigne par À la valeur constante ——, on

posera :

(2 ñ Ft

Les amplitudes décroissent donc en progression géométrique; la quantité x s'appelle le « décrément logarithmique » des oscillations, c'est une caractéristique du mouvement périodique amorti.

Rapport de la période T sans amortissement à la période T’ avec amortissement. — On se rappelle (voir $ 15) que :

rerrl/T.

Donc :

On voit que l’on ne peut admettre que le frottement proportionnel à la vitesse ne modifie pas sensiblement la durée de l'oscillation que s’il n’est pas trop grand.

$ 34. — Discussion des équations types dans le cas des oscillations du compas gyroscopique. —- Ii résulte de tous les raisonnements du paragraphe 33, ce qui suit:

1° — Xatleint des valeurs très élevées pour ne pas exagérer le temps qu’exige le lancement de l'appareil. Par suite, F est assez grand ct T’ diffère notablement de T.

Avec amortissement, la période est pratiquement augmentée de la

Fe valeur T X SEL c’est-à-dire :

e) WL2 COS SR

On a en effet :

K = ÿwQ cosL, et :

I=C+ Mga’

20 — L’équation du mouvement oscillant est :

a = 5e °'sinb't,

a" est lié à l'écart initial de par la relation :

bT’

/ ’ 4 CAE ACT TION

cu Fe. 58 sut Re) SENTE u) 2(c D a) te ia M D)

Le compas atteindra sa position d'équilibre après un temps qui sera toujours le même, quelle que soit la latitude à laquelle on se trouve. Cela tient à ce que b ne dépend que de la construction de l'appareil.

Mais le nombre d'oscillations qu’il fera avant d'atteindre cette position d'équilibre varie avec la latitude : il fera d’autant moins d’oscillations que la latitude sera plus élevée.

On délerminera donc F pour que, avec un écart initial donné, le compas mette un temps déterminé à prendre sa position d'équilibre.

On voit qu'il y « toujours intérêt à placer le compas aux environs de sa position d’équilibre avant de mettre en

marche, car on diminue ainsi le temps avant lequel on pourra pratiquement l'utiliser.

En effet, le terme D dépendant de «,, l’écart « avec le méridien

sera d'autant moindre que «, sera plus petit. Si a, est assez petil, l'écart « pourra être, au bout de très peu de temps, plus petit que approximation recherchée pour la route,

3° — Il est facile de calculer l'équation du mouvement de nutation amorti, car on sait (voir $ 17) que le mouvement de nutation est un mouvement sinusoïdal de même période que le mouvement de précession, en quadrature dans le temps avec lui.

Jw da 3 wQ sin L

QE — nn —, Mga di a M ga

Or, d’après l’équation ci-dessus, on a :

da C4

a -bt ‘4 es se / :

Pr pe (b' cosb bsinb't)

Considérons un angle : défini par la relation :

al

tang € —

x étant le décrément logarithmique du mouvement oscillant amorti, il vient :

= se "co (b't+e) X