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Considérons maintenant le corps kummerien c(v;j., I). r étant le aombre des caractères distinctifs d'un genre de ce corps, il existe, d'après le lemme 35, au j > 1 1 1 — lr~' genres dans ce corps, y,, •■•■ yr étant alors r racines /"""'sde l'unité dont le produit soit égal à 1, nous pouvons démontrer, exactement comme dans la démonstration du théorème 1O4, qu'il existe toujours dans c(\/y., Z) des idéaux dont 1rs caractères sont y,, ••■> Yr- Il n'y a qu'à ajouter aux conditions (i55), (i56), auxquelles doit satisfaire l'idéal désigné par p, les conditions supplémentaires
(Jl — , [3.1 - {'îl
s,, .... :, désignant les unités s, s\° du paragraphe f66\ De cette façon, on
trouve de même que p doit être un idéal de deuxième espèce et nous avons alors le droit, d'après les lemmes i~> et '17, d'appliquer la loi de réciprocité de la même manière qu'on l'a fait dans la démonstration du théorème iti'i. Au lieu du théorème iii.'i qu'on y a employé, nous utilisons ici la formule 1 1 — ."S 1 . Il en résulte ru même temps qu'il y a effectivement t~ ' genres dans c{\ 1. Ç-j et, par suite, que le produil des /• caractères doit être égal à 1 pour chacun d'eux. Appliquons maintenant ces résultats à la démonstration du lemme 48 dans le cas où v est unité, puis dans celui où v est nombre primaire d'un idéal premier de première espère.
Soienl encore tt, ..., 3, les unités dont il vient d'être question; 1,. ..., 1, les / idéaux premiers distincts qui entrent dans le discriminant relatif de c(y ['■■ - '■.. ■'• ' '
2()2 D. HJLBERT.
choisissons, comme au paragraphe i4a, I, , I,, I,. ,: soient >.,, .... Xr+1 des
nombres primaires correspondants et ; une unité quelconque de c(Q. D'après le théorème i5a, il existe un idéal premier q el un exposant m premier à /, tels que l'on ait
Soil y. un nombre primaire de q. Vu l'égalité 1 -| = i, q se décompose dans
cWu., u, et, d'après les autres conditions (176), C| est idéal premier de deuxième espèce. Les r caractères d'un facteur premier de q ont, comme on voit d'après (177) et les lemmes 45 et h~ que l'on a :
) — m \ 1 * — lit »
1rs valeurs suivantes :
Or, d'après ce qui précède, leur produit doit être égal à 1 ; ceci, joint à (178) et à la dernière égalité (176), donne
lu \
le produit s'étendanl à tous les idéaux premiers w différents de f : on en tire, grâce
(.179) n'|i-^l = i, c'est-à-dire n'S^j==i;
le lemme 48 est donc démontré quand v est une unité quelconque de c(Ç).
Suit ensuite v un idéal premier de première espèce, vérifiant la condition - = 1
et, par suite, décomposable dans c\\f\>., -')• Les r caractères d'un facteur premier quelconque de p sont :
- désignant un nombre primaire de v el z unfe unité convenable de cl Q.
I (Il DES MIIII'S DE NOMBRES Al.i.l llHlnl ES. :<<)•>
Leur produit devant être égal à i, il en résulte encore
Il |i^j = i,
