IU

et on en tire. \u i i 7g 1,

ir,:

Enfin, si p est un entier premier de première espèce premier à ;/. tel <|in- l'on

;iit — -i-=i. nn déterminera un idéal premier q de seconde espèce tel que l'on ail

'— (=| 1. Alors, d'après le lemme 44, on aura aussi - =|= 1. /.désignant un 1 ibre

(4) primaire de

qui précède.

primaire de q et •/.'' une puissance de ■/. telle que l'on ait - =1. "ii a, d'après ce

et comme on a aussi, d'après le lemme '17.

' m » ' p > (qi

on a encore

I in

(un

le lemme 48 est donc aussi démontré lorsque v est un nombre primaire d'un idéal de première espèce. Des égalités 1 1 7 ."» . . 1 179), 1 180) résulte sa complète généralité.

S 170. — Le symbole v, \> [ et la loi de réciprocité entre dei x im':u x premiers

QIELCONQLES.

Nous arrivons maintenant d'une manière très simple à la nouvelle base de la théorie des corps kummeriens réguliers annoncée au début de ce chapitre. Posons,

v et >j. étant deux entiers de ci £),

le produit 11 étant encore étendu à tous 1rs idéaux premiers de ci 1) différents de 1 :

le symbole {v, \j.\ représente ainsi une racine /'"""' de l'unité complètement déterminée par les nombres v, \i., et on tire de (80) les formules

(■8a) jv, |*,h} = {v, [*,] Jv, |A,j,

( iv. v\ !,. v| = , .

v, v , v , \j.. ;/,, (A, étant des entiers quelconques de c(Ç). r désignant ensuite une racine primitive mod / et «• = (£: f) la substitution correspondante du groupe de cl Q, "ii a (i83) j*v, s\k) = jv, i*jr.

On a ensuite la proposition

Lemme 49. — Si v, ij. sont deux nombres primaires de c(Ç), le symbole jv, [/.] a toujours la valeur 1 .

Démonstration. — On a d'abord, a étant un entier rationnel quelconque premier à 1 et à v (théorème i4o), l'égalité

(184) jv, a* =

[j. devant être primaire, \x.s • p: est congru mod 1' ' à un entier rationnel. On peut, par suite, déterminer un entier rationnel a tel que l'on ait la congruence

que de plus a soit premier à v. On obtient alors, en appliquant le lemme 48,

JV-, "! JV. [tj JV, «2"[l,}=ijv, '/.JJ...V - [*} = I,

I par Miite aussi, vu (184).

On démontre de même

jv, S - \j.\\s - v, a- - ;j.j = l'uis on tire de 1 183)

Les trois dernières égalités réunies donnent

[v,|aJ*=i, c'est-à-dire jv,(ji| = i. C.(|.f. d.

Si l'on choisit, en particulier pour v, ;jl, des nombres primaires de deux idéaux

premiers quelconques p, q de c(ç), l'énoncé du lei ig est équivalent à la loi

générale de réciprocité i(ii pour ces idéaux premiers.

THEORIE IMS COHI'S DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 2()i

i 171. — Coïncidence des sïmboles v, y.; et — — .

Nous déduisons du théorème i5i, don! le cas u.z I esl seul utilisé, que [v, y.| a toujours la valeur 1 si v esl norme iolati\ e d'un entier du mips r{\/<j., l); et D0U9 arrivons enfin maintenant à montrer que a, p.j a aussi la valeur 1 si 7. csl reste de normes du corps c[\/[i.. '!)■ En effet, supposons pour abréger que les deux nombres a, y. soient premiers à 1 et posons v. = \.(A). niod l'. A étant un entier de c\\ y. Çj, le nombre a.(Nc(A)' ' est évidemment congru à la l'"'" puissance d'un entier mod l ; par suite on a, en utilisant les formules (182), les remarques faites ,1 le lemme Vs-

;, ,\, iAm'-'. ;,; = ;.. ;J.i!\i al -a'" = \*.?\ = i,

comme nous l'avions annoncé. Si l'un des nombres 7.. y ou tous les deux --mil divisibles par t, la démonstration se fait aussi sans difficulté au moyen des mêmes

procédés.

Si y. esl un entier de c(Ç) premier à I, on tire aisément de (181)

le*!

1— «do

le svni-

par suite, l'expression jv, p.j remplit toutes les conditions que remplit jjole J-^-Ë (fin du s 1 33 1 ; on a donc, en prenant la définition du symbole .-redonnée paragraphe 1 33,

on retrouve dans cette égalité le théorème 1 63.

Si les deux nombres v, y. sont premiers à I et que v, y désignent des entiers de c('Ç) vérifiant les congruences

v = v, ij. = ii, (mod l'),

on obtient facilement, à l'aide du lemme 48.

y. V- ) __ \ ïjjl )

De là et de la considération des formules (182) nous tirons le résultat suivant : Si les deux nombres v, y. sont premiers à f et si l'on pose

v = a'(i +X)".(i + X*)"*...(i +X'-')"'-'. (mod V), .;.= //( , + })»',,, 4. >.»)-, . . . (1 + X'-)'"'-'. (mod ['),

</, '/ et les exposants n et m étant des entiers rationnels, on a une égalité de la forme

I. étant ici une fonction bilinéaire homogène des deux séries de variables nt, ...,

n , m, mi-,< et ^s coefficients de L sont des entiers rationnels ne dépendant

que du nombre premier /et faciles à calculer pour une valeur donnée de /en prenant des valeurs particulières pour v et \j..

\|iirs avoii délini le symbole j-^-j et établi ses propriétés les plus importantes,

nous pouvons laisser de côté la restriction maintenue jusqu'à présent dans ce chapitre pour les corps kummeriens d'avoir leur discriminant relatif premier à I: c'est ce qu'on parvient à démontrer, comme 'plus haut, en s'appuyant sur les théorèmes 164, 1 65, i6G et surtout sur le théorème fondamental 1(17. Ce dernier et le théorème c5a permettent de montrer ensuite que v. y. étant deux entiers quelconques

de c(Ç), tels que l'on ait — p-j = 1, et que y. ne soit pas égal à la /'' puissance d'un

nombre de c(L'), le nombre v est toujours résidu de normes, mod i, du corps kumnierien c(y f/., '1). Par suite le théorème 1 5 1 est vérifié par surcroît pour W = l, ainsi par conséquent que le théorème lôo pour w = l . Avec cette nouvelle manière d'édi- (ier La théorie des corps kummeriens réguliers, ces théorèmes i5o et i5i pour n> = t paraissent les clés de voûte de toute la construction, contrairement à la première méthode.