CHAPITRE II
Les idéaux du corps.
Si- — I.V MULTIPLICATION DES IDÉAUX FT LEUR DIVISIBILITE. — L'iDEAL PREMIER.
Le premier problème important de la théorie des corps algébriques est la recherche des lois de la décomposition (divisibilité) des nombres algébriques. Ces lois sonl d'une admirable beauté et d'une grande simplicité. Elles présentent une analogie précise avec les lois élémentaires de la divisibilité pour les nombres entiers rationnels et elles ont la même signification fondamentale. Ces lois ont été découvertes d'abord par Ruminer, mais le mérite de les avoir établies pour le corps algébrique général revient à Dedekind et à Kronecker.
Les principes fondamentaux de cette théorie sont les suivants :
\f[ D. HILBERT.
Un système d'un nombre infini d'entiers algébriques a,, a,, ... du corps A\ tel que toute combinaison linéaire X,a, + X,a, ... (où \, \, ... sont des nombres entiers du corps) appartienne encore au système est dit un idéal a.
Théorème G. — Dans chaque idéal a il y a m nombres /,, ;',, ..., im tels que tout autre nombre de l'idéal est une combinaison linéaire
où /, /,„ sont des entiers rationnels.
Démonstration. — Soit s un des nombres i, 2 m; imaginons qu'on ait calculé
tous les nombres de l'idéal de la forme
it =J, wt+ ... -f- J,«>,.
où J, J"', ... sont des nombres entiers rationnels: admettons que J,=|=o est le plus grand commun diviseur des nombres Jv, j'1', .... on en déduira comme précédemment que les m nombres it, ..., im satisfont à la condition indiquée.
Les nombres i /,„ sont dits la base de l'idéal a. Toute autre base de l'idéal
peut être mise sous la forme
où le déterminant de coefficients a = +i.
Soient a, xr, r nombres de l'idéal a tels que des combinaisons linéaires de
ces nombres avec l'emploi de coefficients algébriques X donnent tous les nombres de l'idéal, j'écrirai
Si a = u,, a %r) et b=($1 fis) sont deux idéaux, je désignerai par (a,b)
l'idéal obtenu en réunissant les nombres a,, a2 a, : <ir (i„ p,, et j'écrirai
Un idéal qui contient tous les nombres de la forme X<x et ne contient que ces nombres où À désigne un nombre entier quelconque appartenant au corps et y. un nombre entier déterminé du corps est dit un idéal principal; on le désigne par (a), ou plus brièvement par y., dans le cas où il ne peut être confondu avec le nombre a.
THEORIE DES CORPS DE NOMBRES AI.I iElIRKjl ES. 10
Tout oombre * de l'idéal a = (a1 *r) esl il il congru à o, suivant l'idéal a
Lorsque la différence de x el p esl congrue à o d'après ii. on dit i jin ■ •/. el (3 sont congrus suivant « ; on écril
sinon on dil qu'ils sont incongrus; on écrit
Lorsqu'on multiplie chaque nombre d'un idéal a = (*, »r) par chaque nombre d'un idéal b=(pi, pa [J,) et que l'on combine linéairement les nombres ainsi
obtenus au moyen de coefficients algébriques du corps, le nouvel idéal obtenu se nomme le produit des deux idéaux a et b. c'est-à-dire
ab = | ï, p, xri8 y, [î, xrpj .
Un idéal c est dit divisible par l'idéal a. s'il existe un idéal b tel que c^=ab. Si c est divisible par a. tous les nombres de c sont congrus à o suivant l'idéal il. On a relativement aux diviseurs d'un idéal le théorème suivant :
Lemme i. — In itléal j n'est divisible que par un nombre limité d'idéaux.
Démonstration. — Que l'on forme la norme n d'un nombre quelconque t(=]=b)de l'idéal j et soit a un diviseur de j, il est évident qu'alors le nombre rationnel entier /! = o suivant a. Supposons que les m nombres de base de a soient de la forme
<xi = «nw1 + • • • + «„„«„, ■J.m = alinwi + . . . + «„„„<•>„,.
où «,, amm sont des nombres entiers rationnels. Soient a'it a'mm les plupetits restes possibles des nombres alt alnm par n. on a :
« = Ki »h + ■■■ + ",„, w„, ",„, «, + • ■ ■ + ",„,„ <-■>,„ i
= «i <•), + ...+ a\m wm a'mi ,..., + ... - amm <•>,„ . n
et cette dernière représentation tic l'idéal a montre l'exactitude de notre affirmation.
Un idéal différent de i et qui n'est divisible par aucun autre idéal que par luimême et par l'unité est dit un idéal premier.
Deux idéaux sont dits premiers entre eux. -i à part i ils ne sont divisibles en commun par aucun autre idéal.
Deux nombres entiers x et p, un nombre entier a et un idéal a sont dits premiers si les idéaux principaux ( y. i et (p) ou -i l'idéal principal (<x) et a sont premiers entre eux. [Dedekind*.]
j() D. HILBERT.
$5. Un idéal n'est décomposable qie d'une seule manière en idéaux premiers.
On a le fait fondamental :
Théorème 7. — Tout idéal j peut être décomposé en un produit d'idéaux premiers et il ne peut l'être que d'une seule manière.
Dedekind a donné récemment une nouvelle exposition de sa démonstration. [Dedekind1.] Êa démonstration de Rronecker repose sur la théorie (créée par lui) des formes algébriques appartenant à un corps. La signification de cette théorie se comprend mieux, si l'on établit d'abord les théorèmes de la théorie des idéaux ; c'est alors (pie le lemme suivant rend de grands services.
Lemme 2. — Lorsque les coefficients de deux fonctions entières de la variable x :
G(x)=^x+'ii.r"1 + ...
sont des nombres algébriques entiers et que les coefficients y,, y,, f,, ■•• du produit
F 1 as) G (x) = Tl xT" + Yî x'-*-1 + ...
sont tous divisibles par le nombre entier 10, chacun des nombres a^p,, a.p,. ..., ■j qj . -x B est divisible par w. [Rronecker19, Dedekind7, Mertens1, Harwitz»'*.]
îi I Si î * L
De ce lemme on déduit successivement [Ilurwitz1] :
Théorème 8. — Y chaque idéal (humé a = (a. a, a,.), on peut faire correspondre un idéal b tel que le produit ab soit un idéal principal.
Démonstration. — Posons F = a, a, + ... + xTur et formons le produit des m — 1 formes avec les coefficients conjugués
r = (»;«, + . . . + »>,) . . . «"-".«, + ....+ «T'V) = hf, + ■■■ + ?»/.
où/, ./', sont certaines puissances différentes ou des produits de puissances des
u ,u ur et où p , 'y. P, sont des nombres entiers du corps K, FR = nl où n
est un nombre entier rationnel et U une puissance entière à coefficients entiers, dont les coefficients n'ont pas de diviseur commun. U en résulte que n = o suivant le produit des deux idéaux a et b = (p,, p,, ..., p.). Le lemme 2 nous montre que chaque nombre 7.,,% est divisible par n; en appliquant ce lemme (2) aux deux fonctions obtenues lorsque dans F et R on pose
On a donc
ab = n.
Théorème 9. — Si l'un a pour les i mis idéaux abc, a c = te, on a aussi
Démonstration. — Soil m un idéal l < ' 1 que cm suit un idéal principal (a) d'après
l'hypothèse
acm = bcm,
aa = ■xb , cl par suite
Théorème io. — Si tous les nombres d'un idéal c sont = o suivant a, c esl divisible par a.
Démonstration. — Si uni esl égal à l'idéal principal (*), tous les nombres me sont divisibles par x et par suite il existe un idéal tel que
mc = ab.
et par suite
amc = y.ab, xc = xab , c = ab.
Théorème ii. — Lorsque le produit de deux idéaux ab esl divisible par un idéal premier p, l'un des deux idéaux a ou b est divisible par p.
Démonstration. — Si a n'est pas divisible par p. l'idéal [a, p) est différent de p et de plus contenu dans p, c'est-à-dire = i ; d'après cela, on aurait i — ot + r, où x est un nombre de a et z un nombre de p; en multipliant par un nombre quelconque fi de b, on aurait fi = afi + sfi = xfi suivant p par hypothèse, «fi = o suivant p. par suite aussi ,8 = 0 suivant p.
Dès lors on démontre le théorème fondamental 7 de la théorie des idéaux ainsi qu'il suit :
Si j n'est pas un idéal premier, on a j = ab où a est un diviseur de j différent de j et de 1. Si l'un des facteurs a ou b n'est pas un idéal premier, nous le représenterons lui-même comme un produit d'idéaux et nous aurons j = abc' et nous continuerons ainsi. Nous ne pourrons pas continuer indéfiniment, car, d'après le lemme 1 , un idéal n'admet qu'un nombre fini de diviseurs. Soit r ce nombre, j ne peut être le produit de plus de r facteurs, car -
j était = a,XfliX.-.X a,.,
il serait divisible par les >• + 1 idéaux différents
l8 D. HILBERT.
La représentation
j = pq ... I
a'esl possible que d'une seule manière, car si l'on avait
i serait divisible par p', et par suite aussi l'un des facteurs du premier produit (théorème 1 1 i on aurait p = p', et par suite d'après le théorème 9
on continuerait de la même manière.
Nous déduirons du théorème fondamental :
Théorème 12. -- Tout idéal j d'un corps k peut être représenté comme le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers du corps ■/. et p.
Démonstration. — Soit y. un nombre divisible par j et p un nombre divisible par
j. niais tels que - et ~ soient premiers entre eux, on a j = (y., p).
§ 6. — Les formes uns coups algébriques et leurs contenus.
La théorie des formes de kronecker [Kronecker16] exige d'autres formations :
l ne fonction entière rationnelle F d'un nombre quelconque de variables, dont les
coefficients sont des nombres algébriques entiers du corps h, est dite une forme du
corps /,-. Si l'un substitue dans la forme F aux coefficients successivement tous leurs
nombres conjugués et si l'on fait le produit des formes conjuguées ainsi obtenues
F' F'"-1 et de la forme F, on obtient une forme entière des variables il, v, ...,
donl lès coefficients sonl des entiers rationnels; prenons-la sous la forme nU(a, v, ...), où /) est un entier rationnel el U une fonction entière rationnelle, dont les coefficients sont des entiers rationnels sans diviseur commun, n s'appelle la norme île la forme F. Lorsque la norme /! est égale à 1, la forme se nomme une forme unité. Une fonction entière, dont les coefficients sont des entiers rationnels sans diviseur commun , est dite/or/ne unité rationnelle. Deux formes sont dites équivalentes (ce qui s'exprime pai- le signe ;^.) lorsque leur quotienl est égal au quotient de deux formes unités ('): en particulier, toute forme unité j». 1. Une forme 11 est dite divisible par une forme G s'il existe une forme Ci telle que II ~ FG. Une forme P est dite une forme première lorsque P, dans le sens restreint, n'est divisible qui par elle-même et par 1.
Le rapport de la théorie des formes de Kronecker avec la théorie des idéaux
(1) Kronecker emploie l'expression « ôqui\ alente au sens restreint ».
THEORIE UKS COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. Il)
devient claire par la remarque que de chaque idéal a — (x, xp) on peul tirer une
forme F, et cria en multipliant les rj bres x, xr par des produits différents de
puissances d'indéterminées u. v, ... et en additionnant ces produits. Réciproquement, chaque forme de coefficients x,, ... x, fournit un idéal a = u, xr). C'est
cet idéal que l'on nomme contenu de la forme F. ( >n a alors :
Théorème i3. — Le contenu du produit de deux formes est égal au produit de leurs contenus.
Démonstration. — Soient F et G des formes d'un uombre quelconque de variables
et soient x,, .... a(. et . rit |îv leurs coefficients respectifs. Soi i II = F(> une forme de
coefficients y,. •••> Yr ^e phis, so't P" 'a plus haute puissance de l'idéal premier p
contenu dans a = (x1 xr) et p* la plus liante puissance de p contenu dans
b = (S,, ..., fi5). Supposons qu'on ail ordonné les ternies de F et de ('• d'après les puissances décroissantes de u, puis les tenues contenant les mêmes puissances de a d'après les puissances décroissantes de v, et ainsi de suite. Soit alors xu*u' ... le premier terme de F dont le coefficient n'est pas divisible par une puissance de p supérieure à la a,lrae. et, d'autre part, j3u*V ... le premier terme de b dont le coefficient n'est pas divisible par une puissance de p supérieure à la bème, il est évident que le coefficient v du terme yuh+h'vt+l' ... de II ne sera pas divisible par une puissance de p supérieure à la (a-\-b)éme. Tous les autres coefficients de II seront certainement divisibles par p" ft. Il en résulte que
(V...,«0(fc....,p,) = (T„....ï.)-
De 1 3 il résulte facilement que toute forme unité a pour contenu i, cl que réciproquement toute forme dont les coefficients ont pour plus grand commun diviseur idéal l'unité est une forme unité. Il en résulte aussi que deux formes équivalentes ont le même contenu et que toutes les formes de même contenu soiil équivalentes.
On a d'autres conséquences du théorème i3.
Théorème i4- — A toute forme donnée F on peut adjoindre une forme H telle que le produit FH soit égal à un nombre enlier.
Théorème i5. — Lorsque le produit de deux formes est divisible par une forme première, l'une des formes au moins e>l divisible par P.
Théorème i(ï. — Toute forme peut être (dans le sens de l'équivalence) décomposée en produit de formes premières et ne peul l'être que d'une manière. Ces théorèmes sont parallèles aux théorèmes 8 et i i et au théorème 7. théorème fondamental de la théorie des idéaux.
20 D. H1LBERT.
\ part 1rs méthodes suivies par Dedekind et Rroneckcr, il existe encore deux méthodes plus simples pour démontrer le théorème fondamental 7: la théorie des nombres de Galois est la base de l'une. Voir § 36. [Hilbert12.]
La deuxième méthode est fondée sur ce théorème que les idéaux d'un corps se répartissent en un nombre limité de classes. L'idée principale de la démonstration de ce théorème peut être considérée comme la généralisation de la marche suivie pour déterminer le plus grand commun diviseur de deux nombres, d'après la méthode d'Eurlide. [Hurwitz3.!
