CHAPITRE III

Les congruences suivant les idéaux.

S 7. — La norme d'un idéal et ses propriétés.

La théorie exposée au chapitre II sur la décomposition des idéaux en facteurs nous permet d'étendre la théorie des nombres rationnels aux nombres d'un corps algébrique.

Nous exposerons d'abord les notions et les théorèmes suivants :

Le nombre des entiers incongrus l'un à l'autre suivant l'idéal a d'un corps k est dit la norme de l'idéal a: il s'écrit rua).

Tiiéohème 17. — La norme de l'idéal premier p est une puissance du nombre rationnel p divisible par p.

Démonstration. — Soient les /nombres entiers u>t, ..., <ar d'une base du corps /.' indépendants l'un de l'autre, en ce sens qu'entre ces nombres il n'existe aucune congruence de la forme

aiiùl+...+artùf=o (p)

où al af sont des entiers rationnels non tous divisibles par /), et supposons de

plus que chacun des m —./'autres nombres de la base soit congru à une expression de la forme

suivant le module p; cette expression pourra être congrue suivant p à un nombre quelconque, et le nom lue des nom lues incongrus suivant p sera p' ; /est dit le degré de l'idéal premier p.

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. ai

Théorème 18. — La norme du produit ai de deux idéaux esl égal au produit de leurs normes.

a Démonstration. — Soit -j. un nombre divisible par a tel que - soit un idéal premier

avec b. Si ; parcourt un système de /uni nombres incongrus suivant a. et r; un systèiue de j/i b i nombres incongrus suivant b. le nombre xr, -f : représentera un système complet de nombres incongrus suivant a b : un pareil système comprend n(a) n(b) nombres.

Théorème io. — Lorsque

'. = «>■«,+ ... +"„„ol,„.

mm m

représente une base de l'idéal a. la norme m a < est égale à la valeur absolue du déterminant des coefficients ".

Démonstration. — Mettons la ba>e de l'idéal sous la forme trouvée dans la démonstration du théorème 0, où tous les coefficients an sont =o pour *•>>', le déterminant des coefficients est alors

D'autre part, l'expression

u,«o,+ ... + »,„<•>„, où

représente un système complet de nombres incongrus à a. ce qui démontre le théorème 19. De plus, on voit que la réciproque est vraie. Les rapports de ce qui précède avec la théorie des formes de Kronecker résultent du

Théorème 20. — Soit F une forme qui a pour contenu a. la norme de la forme F est égale à la norme de l'idéal a. c'est-à-dire n(F) = n(a). En particulier, la norme d'un entier -j. est égale à la valeur absolue de la norme de l'idéal principal a = (a).

Démonstration. — Soient i0 im une base de l'idéal a: construisons une forme I'

F = it «,+ ... + /„,'(,„:

alors

c„, f = /„;,+ ... + itmim,

où lu lmm sont les formes linéaires des », um à coefficients entiers et rationnels. Nous démontrerons tout d'abord que le déterminant [ln] des formes / /„,„,

est une forme unité rationnelle.

En ofTet. car si au contraire tous les coefficients du déterminant [f ] étaient divisibles par un nombre premier p, il exciterait au moins m formes L, Lm, dont les

coefficients sont des entiers rationnels, non tous divisibles parp, et tels que

k /,,+... + LJml=o (p),

Il en résulterait

M«.+ ..:+LJU.s=o (p).

(L1o1| + ... + L,„w,„)F = o, (po)

c'est-à-dire que le produit la serait divisible par pa où l désigne le contenu de la forme L,©, + ... + L„,o>,„, et par suite 1 serait divisible par p, ce qui n'est pas

possible, car un nombre de la forme a, m, + ... + «,„<.>„, où a, «„, sont des entiers

rationnels ne peut être divisible parp que si tous les coefficients at a le sont.

D'après le théorème de la multiplication des déterminants

et en divisant par le facteur

nu '<"

Iwi-I)

on a la relation

FF'... F"-'-mni, B(F) = n(«).

La deuxième partie du théorème est évidente pour F = a.

Si l'on applique à tous les nombres 7.t, a.,, ... de l'idéal a la substitution !' = (<) ; G'), l'idéal a' qui résulte de l'idéal a par la substitution t' , a = (/'*,. /'a2 ..). s'appelle l'idéal conjugué de <i.

Si l'on considère le corps composé de k, k' A-'"-1, les théorèmes 18 et 20 nous

apprennent que le produit de a et de tous les idéaux conjugués à a est égal à un nombre entier rationnel nia).

De là découle une nouvelle définition de la norme d'un idéal a qui correspond à la définition de la norme d'un nombre entier et qui est susceptible d'une importante généralisation. (Voir § 14.)

Théorème 21. — Dans ton t idéal j il existe deux n bres don! les Dormes ont

pour plus grand diviseur la norme de j.

Démonstration. — Suit a= ra(j) el soil ■/ un nombre de j tel que - soil premier

avec a. Uors si -/ a'"-' sont 1rs nombres conjugués de x el j' j'" ' les idéaux

coninsfues de i. — , — : — ; ci par mi Me — L = seront premiers avec a, c est-a-dire

(jne

n(j) = 0 = (am, n(a)) = („,,/:. R(a)).

S 8. — I.E THÉORÈME DE FERMAT DANS LA THÉORIE DES IDl'u V ET LA PONCTION ï(a).

En s'appuyanl mu- les mêmes conclusions qui- dans la théorie des nombres

rationnels, on obtient le fait suivant correspondant au théorème de Fermât. [Dedekind1.]

Théorème 22. — Si p est un idéal premier de degré /, tout nombre entier o> du

corps sa listait à la congruence

Le théorème de Fermât généralisé se transporte aussi facilement dans la théorie des corps. On démontre sans peine les théorèmes suivants. [Dedekind1.]

Théorème 23. — Le nombre des nombres incongrus suivant l'idéal a et premier

avec a est

»(+) = n(a)(i jï-rY 1 —})■■■

n(pt)J\ n(pt)J

où pt. p, pr sont les idéaux premiers différents qui divisent a. On a pour le

nombre s les formules

a,(a)o(»= =,ia&>,

bien entendu si a et b sont premiers entre eux :

S<p(t) = n(a); dans cette dernière formule la sommation s'étend à tous les idéaux t diviseurs de a.

Théorème %l\- — Chaque nombre entier u premier avec un idéal a satisfait à la

congruence

Ainsi chaque nombre entier qui n'est pas divisible par un idéal premier de degré /

satisfait à

u'^-'lsi (p'-)[.

On a de plus les faits suivants :

^/j D. HIU3ERT.

Théorème 25. — Si ot, .... ar sont des idéaux premiers entre eux deux à deux et

>i x % sont des entiers quelconques, il y a toujours un nombre entier u> satis-

faisant aux congruences

10 = x, , (a,), •■-, co= a,.. (*r) ■

Théorème ali. — Une congruence de degré r suivant l'idéal p de la forme ax,'+a1JCr-i+... + x, = 0 (?)

où a, a a,, sont des nombres entiers, admet au plus r racines incongrues

d'après p.

Théorème 27. — Soit p un idéal premier diviseur du nombre premier rationnel p il suit x une racine de la congruence

où a, a, a sont des nombres entiers rationnels, x'' est aussi racine de cette

congruence.

Démonstration. — Désignons le premier membre de la congruence par Yx: on a, d'après le théorème de Fermât, la congruence identique en x,

Y(x") = (F(x)y suivant p, ce qui implique le théorème.

S 9. — Les nombres primitifs suivant in idéal premier.

Un nombre entier p du corps />• est dit un nombre primitif suivant l'idéal premier p si les pr — 1 premières puissances de ce nombre représentent // — 1 nombres incongrus suivant p premiers avec p. En procédant comme pour les nombres rationnels, un arrive facilement à démontrer les faits suivants.

Théorème 28. — Il y a <!»(// — 1) nombres primitifs pour l'idéal premier p où «Im// — 1 1 désigne le nombre des restes rationnels incongrus suivant // — 1 el premiers avec pr — 1 .

On n'a pas encore développé une théorie des nombres primitifs pour les puissances d'un idéal premier p: mais on reconnaît sans peine les résultats suivants. [Dedekind6.]

Théorème 29. — Soit p un idéal premier quelconque du corps k, on peut toujours trouver dans k un nombre p tel que toul autre nombre du corps soit congru à une certaine fonction de p à coefficients entiers rationnels suivant une puissance p' de l'idéal premier p, quel que soil /.

Démonstration. — Soil p" un nombre primitif quelconque de p. il esl évidenl que tous les nombres entiers sont congrus à certaines fonctions à coefficients entiers de p" suivant p. Soit

1 1 cbngruence de degré la moins élevée à laquelle satisfait p*.

Si le degré de la fonction 1'=,/". aucune expression de la forme

à coefficients entiers a,, at a^ ne peul être congrue à o d'après ipi. à moins que

(<>u- ses coefficients a,, as a.» ne soient congrus à o d'après p. Comme, d'autre

part, tout nombre eut ici ilu corps esl une expression de cette forme, il en résulte /'=/■

Dans le eas où P(p*) = o suivant p', on posera ? = ?' + ~. où - est divisible par p

. , rfP(p') , . .

et non par p". On a alms a cause de — — - — = - o, suivant p nécessairement,

dp

P(p) = P.(p' + ic) = P(p*) + «^?^=o, (p).

p est un nombre ayant la propriété demandée, car si rt. 7, », parcourent toutes

les expressions de la forme at -r ".p + ... + <ifrf~'. où '/,. ", a. sont des nombres

de la suite o, 1 p — 1 , la somme st, — ïsP(p) 4- •■• + *e[P(p)]'1 représente des

nombres incongrus par rapport à yr, et comme il y a ici //' nombres, on a épuisé 1rs restes incongrus d'après p'.

Il est évident que tout nombre congru à p suivant p" possède la même propriété.

N'ous utiliserons cette dernière circonstance pour représenter un idéal p.

Théorèvie 3o. — Étant donné un idéal p de degré/, il y a toujours dans le corps k un nombre p entier satisfaisant au théorème 29 et de plus tel (pie

où Pi p 1 est une fonction entière de degré/de p à coefficients rationnels et entiers.

Démonstration. — Suit p = p'a où l'idéal a n'est pas divisible par p. De plus, soit a un nombre entier non divisible par p mais divisible par a. D'après le théorème ai. ^(pf-n = [ suivant p~. Remplaçons le nombre p trouvé tout à l'heure par p -/.',r ""'-"; le nombre p conserve sa propriété précédente; comme de plus le dernier coefficient de Pi p 1 n'est pas divisible par/>, pour le nouveau nombre p P(p) est premier avec a. de sorte que