IP

et enfin " = 1, ou, avec les formules (83),

Comme (lemme 36) : j— ^—[= i, et (lemme 3o) : " ' = i, la dernière formule

devient

Comme, vu notre hypothèse, on a

on tire de 044)

égalité qui, jointe au\ formules ( i4a). (i43), conduit à celle du lemme.

Si l'on veut encore n'appliquer le théorème iôi pour w = l que si y. = i +/,, mod T, on prendra dans la démonstration ci-dessus une unité -. telle que l'on ait,

outre J— ï = i, (=-)" = i +7,, mod f\ pour un exposant a premier à /. C'esl toujours

possihle si !-— f = i. Mais si — ' =1= i et que *— -|-i, cette condition peu! être vér ( p* j [ P ) ( P ]

rifiée encore si l'on prend pour $ une puissance convenable de 'Ç. Il n'y a encore

doute que si ! — =1- i et ,— — i . Dans i :e cas, renversons les rôles de p, r. et p", -*

fp*\ ( p* i

dans la démonstration : alors il ne reste plus que le cas où l'on aurait en même

temps I — >=l=i, I — (=l=i, et ^— =i. — J = i. Mais dans ce cas les deux der-

1 |p*j (p\ iv-\ i p \

nières conditions montrent sans plus l'exactitude du lemme.

Lemme 'io. — p étant un idéal premier de première espèce de c(Ç) et - un nombre primaire de p: si l'on a pour toute unité ; de c(£)

)j\=" \~t\' si, en outre, p* est un idéal premier =|= p de première espèce tel que l'on ait

Mll = l*!|=b, h'i Ici ' '

il existe toujours dans c(l) une unité £ telle (pie

-* étanl un nombre primaire de p*.

Démonstration. — Nous procédons exactement comme dans le lemme précédent et nous arrivons, en introduisant certaines unités £ et =*, aux trois formules (142),

C i A3), (i44)- Mais, vu l'hypothèse ! — ( = \ '" ' " t , ceci et ] — !==) — =|- i, ainsi que

les tu lis formules indiquées, conduisent à la démonstration du lemme 4o.

Si le théorème i5i n'est admis que dans le cas de \j. = i + /-. mod I*, il suffit de ■

déterminer î de manière à vérifier, oui re : ;== i . encore la congruence u-)"= i + /.,

!p'^ mod V, avec a premier à /. détermination toujours possible ici.

§ iô-. — Cas particulier de la loi de réciprocité pour deux idéai x premiers.

Théorème 162. — p et q étant deux idéaux premiers quelconques d'un corps circulaire régulier pour lesquels - =1, on a aussi - =1.

Démonstration. — Soient r. y. des nombres primaires de p et .■). Considérons le corps kummerien ''(v-, l) et distinguons deux cas, suivant que p est de première ou de seconde espèce.

Dans le premier cas, le discriminant relatii de <\v~. I) contient les deux idéaux

premiers I et p et il existe, d'après le lemme .17. une un lié : de cil) Ici le que — j— =1= i- I 11 idéal de <'{\/~, t) n'a, par suite, qu'un seul caractère, c'est-à-dire que /'=i et (lemme 35) </ — 1. Comme -! = i, q est décomposable dans c\\/r.. L'j; soil Q un

de ses facteurs premiers. - et 7. étant primaires, on a (lemme 3o) — - — = 1. et G

appartenant au genre principal, on a aussi - = - = 1 . C. q. f. d.

Si p esl de seconde espèce, i>u a (lemme '.'>- i pour toute unité : de c(Ç) : \~- = i . et par suite (démonstration du lemme 3-j) le discriminant relatif de c(\ -. i) ne contient que L'idéal premier p. Par suite, on a encore r= i, o= i . < — = i, donc

c\ est décbmposable dans c(\, ;'z. ç). Suit Ci un de ses facteurs premiers. Ci étant du

. . , » ;• - i . w., - i \ q , genre principal et comme un a {—7- =i, on a aussi =,- =i. !.. m. t. m.

Dans le cas où le théorème i ."> i . et par suite aussi le lemme 35, ne seraient admis pour io = 1 que dans le cas de n= i + À. mod I\ il faut ajouter ce qui suil dan- le cas où p est de première espèce.

p étant un idéal premier quelconque et - un de ses nombres primaires, on déduit

de la définition du symbole \-^- <!> i3i i et du lemme ->'4 ($ i3a) l'égalité

Or. si l'idéal premier o est tel que l'on ait — = i. déterminons une racine / de

l'unité !* (elle que l'on ait l'z'"' = ï — À. mod V. et envisageons au lieu de c{\/t., Ï)

le corps c(\A*~'-1. -)• Nous employons alors la méthode indiquée plus haut. Comme

on a

et qu'on a, comme plus haut, 1-^— =i; que d'autre part, vu(i 45), j— t-1 = ,- =i>

il en résulte ' " " " — =i, et nous en tirons " — ' = i. c'est-à-dire , -\ = i.

Suit, d'autre part, — =!= ï : p élant de première espèce, il existe sûrement une

unité £ telle que — ( =1= '• Vît de plus (lemme 37) une unité e, telle que j— ; — =|=i.

' * I p \ ' (Il

On peut, de plus, choisir ces unités = 1 + X.mod.F. Nousen déduisons l'existence-d'une

unité s, pour laquelle — H=i et s^—^'-,-i. et telle que '.= = 1 -)-X, mod V En ( p ) { l )

effet, si ces conditions ne sont remplies ni par s, ni par s., on a simultanément

. et alors î = (= s ) - serait une unité vérifiant ces conditions.

Déterminons alors une puissance v, = t" de 1 telle que l'on ait — = 1. Si l'on avait

t— ='= 1. à serait sûrement premier à /et on aurait -1— — =|= 1. I p\ ' I '

De plus, •/. étant primaire, il esl \i-ible qu'une certaine puissance de r,x d'expo-

saut premier à / est congrue à i + À . niod I*. De ( i^ô) et du lemme 36 résulte encore ' =|= i. Le corps kummerien ((y/v,-/. , ç) ne possède donc qu'un genre. Comme

-f = i, p est décomposabïe dans ce corps; ty étant un de ses facteurs premiers, ' P ( son caractère est égal au symbole

i «" I loi' Ç étant une racine /""'e de l'unité telle que l'on ait , "' '••[= '• Vu la dernière

égalité et comme on a ^— - =i, il en résulte j* ' — ' ' = i, et. à cause de

— — ! }=|=i, ' est aussi =|= i, c'est-à-dire, vu (i45)> ,-- =1= ' : on a dune L" =|= i. ( 1 ) ( l ) ( (\ i

Mais comme L'un des caractères de l'idéal premier s}> doit être égal à î. il résulte de .-' = i nécessairement — = i, contrairemenl à ce qui précède.

>; [58. — Existence d'idéaux premiers ai xiliaihes pour lesquels la loi de réciprocité se vérifie.

Lemme !\i. — p étant un idéal premier quelconque du corps circulaire régulier c(Z), il existe toujours dans c(Ç) un idéal premier r vérifiant les conditions

jiU, ii.î — iJLl-u,

| tj"1 • \t) I p j ' '

Démomtratï&ïi. — Soit h le nombre de classes de c(Ç) et. comme aux paragraphes i V) et [54, //* un entier positif tel que l'on ait hh" = i. niod /. Soit p le nombre premier divisible par p et s=p**° un nombre primaire de p: soient, de plus, p', p". ... les idéaux premiers distincts conjugués de pdans c(Ç)et -' = p'1'1' . -" = ?"'''' . etc., Les conjugués de - dans c(Q : ils sont primaires pour p'. p" On a ensuite

p=pp'p"... . Comme, de plus. — — j — doit être une unité de c(ç) el quecesl un

nombre primaire, il résulte du théorème [56 (voir aussi § i '( ^ i que ce quotient représente la /""'" puissance d'une unité z de c(0 :

appliquons alors Le théorème i52, en prenant

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES A LGEBRIQ1 ! s. 2^1

'i a'étant pas la /"'""' puissance d'une unité de c(t) et -. -', -". ... étanl des puissances d'idéaux premiers donl les exposants sont premiers à /, les conditions du lhé<>rème 1 5a sont remplies, et il existe par suite dans c(V) un idéal premier r el un certain exposant m premier à / tel que l'on ail

it m

t " * ' Iti ' ' /r »

c'est-à-dire

où C'est une racine /'""e de l'unité autre que 1.

. ip**"] \r'n"" 1 (--'-"...) De (i46), on tire , = , = , = ;c, el par su île on a aussi, \u

le théorème lio, — — = t". 0 étant un nombre primaire de r. Comme maintenant, (p**«j " '

vu ( r .v>i et le théorème 1G2. on doit avoir \±-, = 1, j-jj = i, ... et que

nous obtenons

jîH|!=ç'- Cq-fd-

Lemme 42. — p étant un idéal premier quelconque du corps circulaire régulier

c(l) et - un de ses nombres primaires, ; étant une unité quelconque de ci -> non égale toutefois à la /'"'"' puissance d'une unité de c(Ç), il existe toujours dans c(l) un idéal premier r vérifiant les conditions

\îll- iJLj = iJL| + ! il S ' 1 x \ \p \ l

Démonstration. — Soient -. 7:', -". ... les mêmes nombres que dans la démonstration précédente; prenons pour le théorème 132

Y, = '• Ti=Ç> Y3='- 7. = '• Y,= I

les nombres a,, % , ... vérifiant encore les conditions du théorème i5a. I ne démonstration semblable à la précédente conduit à un idéal premier r remplissanl les conditions de l'énoncé.

S i5g. — Démonstration de la première loi complémentaire.

Pour démontrer la première loi complémentaire clans le cas d'un idéal premier p de première espèce, appliquons le lemme 4i : on peut déterminer un idéal premier r Ici que l'on ait

et que, par suite, il soit de la première espèce. D'après (i45), on a pour l'idéal r l'i'iralité

c étanl un nombre primaire de r. Comme on a , — =1= i, on a pour toute autre unité r i x \

; de c(Ç) (lemme 38)

et par conséquent les conditions du lemme 4o sont remplies par les idéaux r et p. D'après ce lemme, il existe donc dans c(Ç) une unité s telle que l'on ait

- étant un nombre primaire de p. Par suite, on a (lemme 38) pour toute autre unité

r de cl - ) l'égalité — = ^— , ce qui démontre la première loi complémentaire de

la loi de réciprocité si p est de première espèce.

Suit maintenant q idéal premier de deuxième espèce de r(Ç). Alors on a. pour toute

unité S de c(£), — = i, et y. étant un nombre primaire de q. on a toujours aussi ( 0 )

i lemme Bn \ * —^-2 = i . On a donc encore la première loi complémentaire

M Mi'

S l60. — DÉMOKSTRATIQ3 DE LA LOI DE RÉCIPROCITÉ ENTRE DEl X IDÉAt X PREMIERS