CIRCULAIRE RÉGULIER
11 est nécessaire de distinguer: pour la suite deux espèces d'idéaux premiers clans < ' - 1 : un idéal premier p autre que I de ci ç) sera de première espèce lorsque toute
unité de c(Q ne sera pas reste de /'""' puissance mod p: dans le cas contraire, il sera de seconde espèce. [Kummer"'.!
Le m me 'M\. — \ et : étant des unités quelconques du corps circulaire c(JQ, X = i — T,
I = (5 . i. on a les égalités
ri j [il
Démonstration. — Si ; est la / " puissance d'une unité de c(ç), les formules ci-dessus sont évidentes. Dans le cas contrai re,\ = définit un corps kummerien <•((/ :' »),
el lo considérations du paragraphe \'\- s'appliquent à ce corps. Toutes les
unités de c(Ç) et, de plus, le nombre >. sont alors normes relatives de i bres
dec(v=. t), d'où, vu le théorème i5i, les égalitésà démontrer.
Si l'on veut n'appliquer ici le théorème i ."> i pour m = I que dans le ca* imité en détail paragraphes t33, où >j.= i+)>, mod 1". on achèvera en prenant d'abord,
pour s. Ç,l ; ensuite on aura ^- = i, -^-j = i(l). On déterminera ensuite, dans
le cas de e .uni té quelconque de c(Ç), une racine /'""e de l'unité I*. telle que l'on ail Ç*»'-i= i 4-Àj mini 1\ En prenant alors dans la démonstration précédente Vi' '. au lieu de :, on a, vu la deuxième formule (83), paragraphe i3i,
Fr1=< - |VI-
Levime 3-. — v étanl un idéal premier de première espèce el - un nombre primaire de p. il existe dans c(Ç) au moins une unité =, pour laquelle on a
Si, au contraire, q esl un idéal premier de seconde espèce et /. un nombre primaire de q , mi a pour toute unité ; de c(Ç)
Démonstration. — Pour démontrer la première partie, supposons qu'on ait, au contraire, pour toute unité ; de c(Ç),
Posons T. = a-\-bV, mod V '. a et /* étant des entiers rationnels el e le plus
grand exposant -^ / — i, pour lequel une telle relation est possible; - étanl un
nombre primaire, on doit avoir nécessairement e> i et -.s 2 t. doit être congru
mod / à un entier rationnel (.s- - représente la substitution (Ç ; Ç ') du corps circu-
laire c(Ç)). Gomme on a s~*~'k= — À. mod V, on a
r..J^r.~(a + ble)(a + b(-\)*), (V ') , el il en résulte que, dans le cas de e</ — i. e doit être nécessairement impair.
(') N. T. — \'oir la fin du S r3i, et remarquer que V~: = ( ' — X)'— ' = i — (/— i)X= i + X, (mod f).
/ — 3 Nous avons trouvé, en démontrant le leinine 29, que les f = imites î,
du corps c(ç) vérifiaient les conditions
Si l'on porte, dans l'égalité J-^| = i, successivement les unités 1 st à la
place de ;, on déduit de la définition (82) du symbole -^— j et de son extension (S i3i) les congruences
l1'-» (-'-') = o, lu-'] (-'-*) = o, l"-e)(~'-l) = o, .... /|3!|-'-') = o. (111.nl /1 :
elles mollirent que clans la congruence iz = a + b\e, mod V '. e ne peut prendre
aucune des valeurs / — 2, / — l\, l — (i 3. Ceci joint aux conditions déjà trouvées
pour e montre que e = l — r. Comme d'ailleurs à'- *= — /. mod I , onaî: = « — M, mod l'. et, par suite, la norme de - vérifie la congruence
n(-) = (a- bl)1-1 = -'-', (i1).
D'autre part, on tire de la définition du symbole ($ i3i ) et du leimne n'j\ (§ i3a)
et comme le symbole du premier membre doit être égal à 1. il en résulte n(z)= 1, mod /\ c'est-à-dire -'~' = i, mod l'. ou z = -', mod l'. D'après le théorème 1 A8. le corps kuiunierien déterminé par y r. possède, vu la dernière congruence, un discriminant relatif premier à I, et, par suite, p est le seul idéal premier figurant dans le discriminant relatif de i\y-. l).
Posons p = çp'; %s est le seul idéal invariant de ce corps. De y/~ = V** = Vp ' résulte que s1> est équivalenl à un idéal de c(Ç). La famille de tous les idéaux invariants est donc de degré o pour le corps kummerien <'[y-, ?). Comme le nombre /
îles idéaux invariants de ce corps est 1 . il résulte du théorème 1 58 : 1 + m = 0.
c'est à-dire m = — — . Par suite, toute unité de c(Ç) est norme relative d'une unité :>
de c(v-, £J' et on a donc toujours (tbéorème i5i) !■ : ==1, et, par conséquent
aussi, , nie - — = = -- . — = i, conl rai renient a l'hypothèse que
I idéal y est de première espèce.
Pour dé nirei la seconde partie, considérons, comme dans le lemme 36, le
corps kummerien c(\ "-. "-). ; étant 1 unité quelconque de c(Ç), différente cepen-
THEORIE DES COUPS DE NOMBRES AI.GEBRJQl ES. 2Ô5
dant de la /" puissance d'une unité de c(Q. Comme on l'a démontré à la fin du
paragraphe 147, toute unité de c(Ç) esl aorme relative (l'une unité de c{\ ;. ') el les deux familles d'unités des théorèmes i58 el i5g ont, par suite, toutes deux le degré
Comme, de plus. t= 1, le lemme 34 donne g -^ 1. Donc .7= 1 , toutes les classes d'idéaux du corps c(v;,!) appartiennent au genre principal. *i étanl idéal premier de deuxième espèce, On a -f = i, et, d'après le théorème t4o, <| se décompose en /idéaux premiers distincts du corps ''{y: . ÇJ. Soit fit l'un d'eux. I a nombre *| =|=o) du corps c(l) a dans c(\/;. ç) le caractère unique — '— ; ce dernier esl toujours égal à 1 (lemme 36) si x esl une unité de c(Ç). Le caractère «le l'idéal premier Ci dans c(y£, l) est. par suite, -, et ce dernier doit être égal à 1 d'après la proposition antérieure. Le lemme 37 esl dune complètement démontré.
Si l'on voulait encore ne considérer le théorème 1 5 1 comme démontré dan-, le cas de M) = t que si p.= i + X, mod 1". la répartition des genres, el en particulier le lemme 34. ne seraient aussi valables (pie dans ce cas. Nous devrions alors, pour démontrer la deuxième partie du lemme 37. prendre d'abord ; = Ç'-', puis £=Ç*e'-', £ étant une unité quelconque de c(Ç) et Ç* une racine /'""" de l'unité, telle que l'on ait ç*£,'= i + 1, mod l\
§ IÔ6. — LEMMES SI 11 LES IDÉÀl X PREMIERS DE PREMIÈRE ESPÈCE.
Lemme 38. — Soil p un idéal premier de première espère du corps circulaire régulier c(Ç) et - un nombre primaire de p . S'il existe alors dans cl -'1 une unité : telle que l'on ait
jTr|r1, lJ\ = l~^\^
on a pour toute unité ; de ci -') l'égalité
Démonstration. — Le corps kunimerien c\\J-, Z) contient, p étant un idéal premier de première espèce, deux idéaux premiers invarjants M et sl>. à savoir ceux donl les puissances /"""'* sont l et p (voir démonstration du lemme 3;i. L'idéal premier invariant >T> étant évidemment idéal principal dans c{\/-, 'l), la famille déclasses des
2Ô6 U. HILBEHT.
idéaux invariants de ce corps est de degré o ou i. suivant que S* est ou non idéal
principal. D'après le théorème 1 58, le nombre 2 + 111 est donc égal à o ou
a 1. c est-a-dire que Ion a m = ouw = . Comme l'unité e. vu llivpo-
thèse ~V"(=I=I' n es' certainement pas (théorème r5i) norme relative d'une unité
de <"(v "• -') • on a nécessairemenf m = , et. par suite, toute unité ; dec(Ç)peut
se mettre sous la forme ; = ïBj. a étant un entier rationnel et S une unité égale à la lionne relative d'une unité de c(v -, il). Pour ce motif, on a donc (théorème i5i)
il) ' { p ) tp] '
et par switc aussi ^11—' = — ; il en résulte, d'après la deuxième formule (83), que [ l ) ( p )
I on a aussi — — ■ = — . C. q. 1. d.
Si le théorème i5i n'est admis pour tp = t que si y. = 1 + /,. inod V, on déterminera une racine l'iaie de l'unité 'Ç, telle que Z*~'~l= 1 + X, mod 1". et l'on considérera le corps c(\/'Ct:'~' , Z) au lieu de c\\Jk, LJ. Puis on appliquera le lemme 36.
Lemme 3o. — p, p* étant deux idéaux premiers de première espèce de c(Ç) et t., z" deux nombres primaires de p, p', si l'on a, pour toute unité ; de c(Ç),
lp\ II) (p*) I 1 \
on a
Démonstration. — p* étant idéal premier de première espèce, nous pouvons déterminer une unité ï de c(Ç), telle que — = 1. Considérons alors le corps kumme-
rien c{\/i-, l). Son discriminant relatif ne contenant que les deux facteurs premiers 1 et p, un nombre a(=|=o) de c(Q ne possède que les deux caractères
(a, eicl . ja. ew) (aj
Comme on a — = 1, p* est décomposable dans c(ys~> ")- so'' V l'un de ses fac-
IP ) leurs premiers dans ce corps.
Pour tonner les caractères de *}>". observons que p est un idéal premier de pre-
ière espèce; on peu! donc déterminer une unité =* de c(Ç), pour laquelh
el sT> possède le caractère unique - - - • . Nous concluons alors, du Lemme .'>■">.
(j -^ 1 pour le corps c\\/i-, l), c'est-à dire que dans ce corps toute classe d'idéaux appartient au genre principal, el le caractère ci-dessus a donc la valeur t. Or, nous
avons — = 1. c'est-à-dire, à cause du la formule i* 1 13),
ensuite ,^-^- = 1 , c'est-à-dire I P '
