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lues primaires de p et q. Dans le cas où L'on a - = i, il résulte du théorème 162

- ' = i, et par suite l'exactitude de la loi de réciprocité pour v et q. Supposons maintenant ,— — — (=1= i • P étant de première espèce, il existe une unité : telle que — = i ,

(p\ (p) IP)

el on peut de plus toujours supposer qu'une certaine puissance de s-/., d'exposanl

premier à /, est = i + X, mod !" (cela ressort d'une considération à la Gn t\<- la démonstration du lemme 39). Considérons le corps kummerien c(\Ax, -')• D'après le théorème i/j8, le discriminant relatif de ce corps par rapport à c(Ç) contient les deux facteurs premiers 1 cl q ; q étant de deuxième espèce, on a, \u les lemmes 36 el .'Î7. pour loute unité : de c(Ç)

et, d'après cela, le nonihre des caractères distinctifs du genre d'un idéal de c{\ ex, '.') est égal à a. D'après le lemme 35 le nombre des genres de ce corps esl donc g ^.l. Déterminons alors, d'après le lemme la, un idéal premier c de c(Ç) tel que l'on ail

i r j 'US ( r r1" '

A cause de la première égalité, r esl, encore décomposable dans c[\/ £•/.. ÇJ. Soit -3t un de ses facteurs premiers dans ce corps et p un de ses nombres primaires. L'idéal *X a dès lors dans c.(y/ex, ÇJ les deux caractères

Comme le second caractère est =|= 1, les idéaux "Jî. 9t\ ... . 9i' délcrminenl des genres tous différents, et il n'y en a pas d'autres, vu la limite supérieure trouvée pour <j. En appliquant la première loi complémentaire (S iôg), on obtient

\ ?J s* / j t 1 jp, si ( £j ( J j |L| = ii MAl = ^! = i ( X i \ q j j 1 )( q) ( r j ( q i (r ) j r j \x\

C'est-à-dire que le produit des deux caractères (1^7) est égal à 1. Comme toul idéal de c\\/f/., Zj appartient à l'un des / genres, il en résulte que tout idéal île c{\' iv.. l)

a deux caractères de produit égal à 1. A cause de j — (= '. V Psl encore décomposable dans c(\/v/., l) ; soit <|> un de ses facteurs premiers dans ce corps: les deux caractères de cet idéal sont les symboles