J'l D. HILJ3ERT
et on on conclut, d'après la première Loi complémentaire,
\-~ ï'-i \p) = \^ji \9\__\j l [1:1 -
j i j \ q ] ( I j j q ) ' *> » ' q » ou
ce qui démontre la loi de réciprocité pour les idéaux p et q.
Soient, en troisième lieu, q et q* deux idéaux premiers de deuxième espèce, •/., •/.* des nombres primaires de q, q*. Considérons le corps kummerien cyy-/.-/.". "S). Les nombres /. e| y.* sont, on l'a vu dans la démonstration du lemme 3-, congrus mod V à des /•'""'" puissances de nombres de c(Ç); il en est donc de même de y.-/.*, et par suite, d'après le théorème i/lS. le discriminant relatif du corps c{\/v.y'. ':) n'est pas divisible par t. Ce discriminant relatif ne contient, par suite, que les deux facteurs premiers q el q'. Or, on a pour toute unité ; de c(ç)
et par suite le nombre des caractères distinctifs des genres de c{\/y.y.'. L'j est r=2. D'après le lemme 35, on a alors g-^.1- Ensuite, d'après le théorème iâa. on peut toujours déterminer un idéal premier r de c('l) tel que l'on ait
\?£) __ , ('i)i , IjLl i,
( r i — ' j-tS+ ' (rT1' '
r est encore décomposable dans n Ç). Suit $ï un de ses facteurs premiers, p un de ses nombres primaires. Les caractères de l'idéal 9Ï dans le corps kummerien sont les deux s\ mbi îles
Comme le premier caractère est. d'après le théorème i(W, nécessairement =|=i,
puisque — 1=1= r, les idéaux SJt, 9ï': 9t' déterminent /genres distincts et il n'y
en a pasd'autres. Comme on a — =|=i, r est un idéal de première espèce: par
suite, d'après ce qui précède, la loi de réciprocité s'applique d'une pari à r. q; d'autre part à r. q'. et le produit des deux oaractères 1 1 i8) est donc
i i ',,,, it| > r ; __ \ q / \ q ' / __ \ •/.-/.' i
Comme tout idéal de r(v'/.-/.*, g appartient à un des / genres, il résulte de 1 l'iu) ([ne tout idéal a deux caractères don) le produil esl égal à i. Or, l'idéal »i esl égal à la /"""• puissance d'un idéal premier G de r{\ ■/./', t). Les deux caractères (je G dans
ce corps sont alors
( q \~~( c\ \ (qj Uî ' | o* * !«•) («T
et leur produit devant être égal à 1, on obtient
V|ii.j
US Ut
La loi de réciprocité est ainsi démontrée pour deux idéaux premiers quelconques.
§ l6l. — DÉMONSTRATION DE LA DEUXIÈME LOI COMPLÉMENTAIRE.
Soit d'abord p un idéal premier de première espèce et - un aombre primaire
de p. Déterminons une unité î de c(Ç), telle que l'on ait -| = i. et considérons le
corps kummerien cfvsX, '.'). Comme — {= i, p est encore décomposable dans ce
corps; soit <J> un de ses facteurs premiers. .Nous voyons que l'idéal %* a un seul
caractère, "' "A ; et comme il n'y a aussi qu'un genre (lemme 35), le genre prin-
I s I (t, ej cipal, ce caractère doit être égal à 1 . Par suite, comme (S iôq) . — = — j- . on a de
suite l'égalité
( X'| ("' Xj / p * ( I )'
Soit, en second lieu, q un idéal premier de seconde espèce, et ■/. un nombre primaire de a; il v a deux cas à distinguer, suivant nue l'on a , — , = 1 ou != 1. Dans
le premier cas. la considération du corps kummerien c{\/\, ^J montre que l'on a aussi — — =1. Dans le second cas, on déterminera, d'après le théorème [5a, un
idéal premier », pour lequel on ait ! — } = — f=|=i. Alors p est nécessairement de
( P * ( P * première espèce, et il résulte du théorème 162, - étant un nombre primaire
de », — =|=i: on lient donc déterminer un entier rationnel « de façon que — , = '• v [ q \ l l { q )
En considérant le corps efvy W. l)< comme on a ]'' '" = — -|= 1, un idéal n'a
encore dans ce corps qu'un seul caractère, toujours égal à 1. Appliquant ceci à un
yyf, D. HILBERT.
facteur premier G de q dans ce corps, cm a - — - — = i— , — r- , = i. et en 1 [\)[p)(\)
,,,.-,■.. * p / » <\ i \'A i v- ri
tenant compte de 1 eyalite — =; — .on a., — = — - — .
i q \ /pi i (f \ [ I )
C'est Ruminer qui a démontré le premier la loi de réciprocité des résidus de puissances pimes. Notre démonstration nouvelle diffère de celle de Kummer, surtout en ce que kummer obtient d'abord la première loi complémentaire, au moyen de calculs considérables, par une généralisation très babile des formules de la division du cercle, et que c'est seulement alors en s'appuvant sur ces calculs, qu'il en déduit la loi de réciprocité entre deux idéaux premiers; au contraire, dans les développements qui précèdent, les démonstrations de la loi de réciprocité et des deux lois complémentaires découlent d'une source commune.
Parmi les luis de réciprocité particulière que l'on traite à l'aide des formules de la division du cercle, citons la loi de réciprocité des résidus biquadraliques [Gauss . I jm snstein8 ']. celle des résidus cubiques [Eisenstein '■ :, Jacobi1], puis les recherches de (iineiner '• -• 3 pour les résidus bicubiques et celles de Jacobi ' pour les restes de puissances 5', 8' et 12'.
Mentionnons aussi que Eisenstein a donné sans démonstration une loi de réciprocité pour le- restes de /''""" puissances el a même envisagé le cas où le nombre des classés du corps circulaire des racines /'"'" de l'unité est divisible par /. [Eisenstein '• '-.]
