CHAPITRE XXXV
Nouvelle méthode pour la théorie d un corps kummerien régulier.
S 166. — Prophiétés ESSENTIELLES DES i NITÉS d'| n corps circi laire régi lier.
Nous avons vu quel rôle imporlanl joue le sj mbole — — dans la théorie des corps
kummeriens. Pour la défihltion de ce symbole (paragraphe i3i) el la recherche de ses propriétés, du paragraphe 1 3 1 au paragraphe i33 nous avons, comme K.ummer, introduit les dérivées de logarithmes des polynômes œ(a;), adjoints à un nombre
u = i, mod 1. Les calculs des paragraphes [3i bis à i33 pour le sj mbole dans
les corps kummeriens correspondent d'ailleurs aux considérations du paragraphe <i'i
pour le symbole ( -■ — ) du corps quadratique. Quoique nous soyons déjà parvenus
à réduire à de moiiMres proportions les calculs employés par Kummer, il me parait cependant nécessaire, surtout en vuedu développement futur de la théorie, de chercher s'il n'est pas possible d'édifier la théorie des corps kummeriens sans ers calculs. J'indique brièvement dans ce chapitre la marche à suivre.
D'abord on peut établir aisément sans calcul et sans les nombres de Bernoulli les propriétés essentielles ci-après des unités du corps circulaire régulier ci Q. Rappelons-nous, pour le théorème i56, la dernière démonstration indiquée au paragraphe 1 4 1 -
Nous pouvons alors déduire, du théorème iô6, le théorème [55 de la manière
suivante. Nous entendons par s, ï;« un système quelconque de l* unités réelles
de cÇÇ) ; nous déterminons alors des exposants positifs et c,.. et des entiers
rationnels a, , .... «r . bt I>r. vérifiant les congruenecs
l = at + btX% (t'.-").
Et, = a,. + b^\ {V>*+<).
Nous supposons que e, ait la valeur mini ma parmi les exposants e. Nous pouvons alors, on le voit aisément, multiplier les f — i unités =2, .... s! par des puissances des,, telles que ces /* — i produits s^, .... s'ia vérifient les congruences
e'. = «.s/« = a'. + V.X-.; (rn.
V& = a;, + 6;er«, (fv")
284 D- HILBERI.
les a' et les 6' étant des entiers rationnels premiers à /, et les exposants e'„, ..., ejq étant tous plus grands que e1. Les unités e, , e!,, e£ eje forment encore un système d'unités fondamentales dans c('Ç). Soit e'„ le moindre des e' ; il est encore possible de multiplier les unités e3, ..., &'* par des puissances de s!,, de manière que les T — 2 produits obtenus s!,', ..., e" vériflent les congruences
= a"ie + b"iar"", (V"> 'i.
les a" cl //' premiers à / et les e" tous plus grands que e'2.
Les unités e, , e1. s" . î". • ■•, e" forment encore un système d'unités fondamentales de c(Q. En poursuivant ainsi, nous arrivons à un système d'unités fondamentales de c(Ç), s, . ;!. e" ' ~" vérifiant les congruences
< = < + &;vs (r'"+i).
les a et les I, étant premiers à / et les exposants e, ej'c*,) vérifiant les inégalités
Comme les unités considérées sont toutes réelles, tous les exposants e, , e!,, ...sont pairs. Or, si on avait
e" "-" serait, d'après le théorème i56. la /il"'" puissance d'une unité y, de c(Z). En exprimant alors y, au moyen des unités Z, e,, z, ëj"~ ' sous la forme
h i -, -2 • • • ' -,. ; les « étant des exposants entiers rationnels, et en élevant celte égalité à la /"'"e puissance, nous obtenons une relation entre les /* unités e,, e!, s1/;"11 avec des exposants Don tous nuls; ceci est contraire au fait que e, . z'„ e1/-" forment un système d'unités fondamentales de c(Q. Par suite, on a
Il en résulte, vu les inégalités (162), que l'on a nécessairement ,, = 2, e; = 4, < = 6, ..., ^-" = /-3,
et on en conclut immédiatement l'existence d'unités s, e,< ayant les propriétés
indiquées au théi irème 1 55.
Le théorème 157 résulte, comme au paragraphe \'\>. du théorème i55.
THÉORIE DES COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 2o5
S 1(17. — DÉMONSTRATION D'UNE PROPRIÉTÉ DES NOMBRES PRIMAIRES D'IDEAUX PREMIERS DE SECONDE ESPÈCE.
Nous nous basons sur la définition du symbole , : donnée paragraphe i3i,
/ lo »
. (v, lll • ■■•
niais nous nous passons provi soi rendent du symbole .— -~ : nous n utilisons par
suite les théorèmes if>o. i">i que pourn>=|=t. Les théorèmes i58e1 1 5g s'établissenl alors immédiatement comme on la montré, si l'on l'ait L'hypothèse restrictive que Le discriminant relatif de c{\/\>. , Z) par rapport à c(Ç) est premier à 1. Avec celte res
triction, nous arrivons, sans employer le symbole < — — — > , a la notion de caractère
d'un idéal de c{\J \i , ç), à la division des classes d'idéaux d'un corps kummerien en
genres, ainsi qu'aux lemmes 33, 34, 35, et nous démontrons ensuite Le len
suivant :
Lemme 43. — Tout nombre primaire y. d'un idéal premier <\ de seconde espèce est congru mod l' à la /"'■"" puissance d'un entier de cQ.
Démonstration. -- Soient s, s,e, les /* = unités fondamentales du
corps c(Ç) définies au paragraphe 166 et désignées alors par s, =(',""; soienl
ensuite », »,, .... », des idéaux premiers de c(£) autres que 1, tels que l'on ait
( » S M ' US ! v )
(i63) (If», S (V, * '**' (».* '' "" ÏP<
Ç*, £ Çj« étant des racines /"'"""de l'unité quelconque autres que 1. L'existence
de tels idéaux résulte du théorème iSa; en nous reportant à la démonstration de ce théorème, nous voyons que non seulement le nombre, mais encore la somme des inverses des normes de tous les idéaux premiers r y étaient infinies, et ceci nous permet, comme le montrent les considérations faites en démontrant le théorème 83.
de supposer du premier degré -dans le cas actuel tous les idéaux premiers p, », », •
Nous pouvons aussi supposer tous différents les nombres premiers rationnels divi-
sibles par », », », . Soient -, -, -,-- des nombres primaires de ces idéaux.
Occupons-nous maintenant dû cas où il existerait /* + 1 exposants entiers
u. u u. . non tous divisibles par /. tels que l'expression * = -"-'[< ... ::".' soit
congrue mod 1' à la /'" puissance d*un entier de c(Ç). D'après le théorème 1^8, le
discriminant relatif du corps kummerien c(\/x, Z) renferme alors comme facteurs
un certain nombre t des idéaux premiers p p, . niais non l'idéal 1. D'autre part,
il résulte de (i63) et du théorème 1 5 1 que le degré m de la famille des unités de i-(l),
normes relatives d'unités de c(\/a, 'l) . est au plus = I ; on aurait alors pour le
corps kummerien c\\/j.. ".)
ce qui est impossible d'après le théorème i58. Le cas envisagé est donc impossible.
Soil y, un nombre primaire de l'idéal premier q. Nous déduisons de la démons-
(/-ii/'"3 , . .
tration du théorème 107 qu il existe exactement — , nombres primaires
de c(£) incongrus, mod l'1. et, par suite, (/ — i)V ""' incongrus, mod 4': d'autre part, la /'""" puissance de tout entier de a'I) premier à 1 est congrue mod l' à l'un
des / — r nombres i, a / — i. De ce qui précède résulte alors qu'il est toujours
possible de déterminer les exposants u . u, «,» de manière à ce que l'expression
;j. = t." -"•... r."':! •/. soit congrue, mod l', à la /"""' puissance d'un entier de c(Ç);
u. ut a, étant ainsi déterminés, posons y. — y." ... •/."', de sorte que ;i=r/., et
occUpons-nous maintenant du cas où un certain nombre positif a des explosants u,
u ut sont premiers à /, les a autres étant divisibles par /. On aurait
alors, vu (i63), pour le corps kummerien <'(,\/;j.. Zj, avec les notations du paragraphe i4o, l = u+ i, r* = a, i=l — r*=i, et, par suite, d'après le lemme 35, toutes les classes d'idéaux de ce corps sont du genre principal. D'où le résultat sui-
\anl : r étant un idéal premier quelconque de c(Ç), tel que l'on ait — == i, et p désignant un nombre primaire de r, le nombre ;p aura, avec un choix convenable de l'unité ;. tous ses caractères égaux à i dans le corps c(v;j., '1) ; on a donc en particulier
. ( ï ) el comme o est idéal de deuxième espèce, on a aussi — =i-
Désignons maintenanl les idéaux premiers conjugués de q el autres que q par q', q", ..., et les substitutions du groupe de c(Ç) changeant q en q', q", ... par s', s", ... : h el //' ayant alors la signification du paragraphe i^o el q étant le nombre premier divisible par q, on a, vu la remarque à la fin du théorème 107.
THÉORIE DES CORPS l>K NOMBRES ALGÉBRIQUES. a^y
s étant une unité de c(Ç). Vu notre hypothèse sur 1rs exposants ». ", ", . les
idéaux p pr étant du premier degré et les nombres premiers qu'ils contiennent
étant distincts, nous pouvons conclure du théorème i5a qu'il existe dans c(Ç) un idéal premier r tel que l'on ait
Ç* étant une racine /"""' de l'unité an lie que i . Ces égalités i iti'i i donnent de suite fr65) i-^r-i i-^-Ui i-^-i=i
La première égalité ( i65) donne, d'après ce i|iii précède — [= i. et les suivantes
donnent de même \— ;l = i, ,—r, = i, ... ; d'où, en faisant le produit, I— =i, ce
U'J (<ti ' '/ S
qui est incompatible avec (166), vu le théorème i4o.
Nulle point (le départ est donc faux et tons les exposants u, ut u, doivent
être divisibles par /: 2 est donc la /"'""' puissance d'un nombre de c(Ç); on en déduit
que ■/, est congru à la /'"""' puissance d'un entier de c(Ç), niod V, ce qui démontre le
lemme 43.
S l68. — DÉMONSTRATION DE LA LOI DE RÉCIPROCITÉ POUR LES CAS OU L'UN DES DEI S IDÉAUX PREMIERS EST DE SECONDE ESPÈCE.
Lemme 44- — Soit q un idéal premier de seconde espèce cl r un idéal premier de
première ou de seconde espèce de c(l) ; alors si - ! = i, on a aussi , — \ = i .
Démonstration. — Soient •/., p des nombres primaires de q, r. D'après le lemme 43, le discriminant relatif du corps c(\/v., ';) ne possède (théorème i48) qu'un seul facteur premier q et tous les idéaux de ce corps (lemme 35) appartiennent alors au
genre principal. Comme on a • — ' = i . r est dans le corps <*(y , L'j le produit de
/ idéaux premiers; nous avons pour le caractère d'un de ces / idéaux premiers la valeur
SPi^l-iJLj — ,
ce qui démontre le lemme.
I.emme 43. — q, q étant deux idéaux premiers quelconques de seconde espèce de
^ / \ Â / e . ). on a toujours - = - .
Démonstration. - ■ est =1= i (le cas contraire venant d'être démontré). Soient
x, -7 des nombres primaires de q, q : q', q", ... les idéaux premiers conjugués île q et distincts de ce dernier; •/.', y.". ... les nombres primaires correspondants conjugués de •/.. Mêmes notations avec - pour q et v.. Soit enfin q le nombre premier divisible par q : on a alors ■/.■/.'■/." ... = l'q1""1, s étant une unité de c(Ç). D'après le théorème i5a, il existe un idéal 1 pour lequel on a
( I (ici i ; = I , ( > I , 'i ) I . • • • » i i I>
l* étant une racine /""'" de l'unité autre que i de c('Q et où ;,, ..., i,< désignent les /• unités désignées par e,, ss, ... , é^"i] au paragraphe 166. De (167) on tire
JXXV...) \±)y
cl par suite aussi, : étanl un nombre primaire de r (voir théorème i4o),
ilj — S-L l-L -P US MMU'I
D'autre part, on a, vu ( 167) et le lemme l\l\,
(pi ( r / .
et pai suite on tire de (170) : , — ,: -, — , — w [ q j / q >
On a donc
THÉORIE DES COUPS L)K NOMBRES Al.l .l'.liHKjl ES. 20()
• Mi tire de même de i 168) la relation
Déterminons niaintonnnl la puissance p1, de ; de façon que l'on ail -, = 1. el
considérons le corps kummerien c(y v.p'\ .'-'). Commeq par hypothèse el r à cause de (169) sont idéaux de seconde espèce, il résulte du lemme i3 que le discriminanl relatif de ce corps ne contient que les deux idéaux premiers q el r. Le corps < \\' /.;', L'j contient alors au plus /genres (lemme 35). L'idéal premier t esl la /"""' puissance d'un idéal premier 9Î de c\\/yLpe, Z). Les deux caractères de s5f dans ce corps sonl
\p. ■/.-/) \v 1 \?. v.?ei ^ \ -/. r' = \* r'
I « I loi' I t j ( t S (ri
et on en déduit les caractères de 9t\ 91 \ ... , 9t .
Les /idéaux 91, 9ts 91' déterminent, vu (171), /genres différents et le produit
des deux caractères de chacun d'eux esl égal à 1 d'après la même formule. Ce dernier
résultat est par suite vrai pour tout idéal de c(\/v.pe. u. Comme on a \-±- : = i, q est décomposable dans c(y//.p1', ç); les caractères d'un facteur premier de q sonl :
y., xp' /■ \ y- '/-fi /r/-/
i q < i\a i* (ri
el par suite on, a
la si « r
Comme on doit avoir, d'autre part,
on en déduit, d'après 172,
Lemme 46. — Soit p un idéal premier de première espèce et q un idéal premier de
seconde espèce de c(Z); si 1 on a ,- ■ = 1, on a aussi — =1.
Démonstration. — Soient -, Z des nombres primaires de p, q. Supposons que l'on ait - =h 1. Il existe (théorème rôa) un idéal premier r, différent de p et de q. pour
2(jO D. HILBERT.
lequel on a
n-s. i-U-. iJLUb,
('/-.) jr] I, Jt J-I, .... Ir l I,
e,, •••, s, étant les unités g,, £..'. ... du paragraphe 166.
V cause de (174). £ est idéal premier de seconde espèce; p étant un nombre pri-
maire de r, on a , — -|=i, car un déduirait de .— >=-r, à cause du lemme 44.
|| = i. contrairement à (178). Nous pouvons alors déterminer une puissance pe de p
telle que l'on ait ,— == 1. r, q étant idéaux premiers de seconde espèce, il résulte du lemme 43 et du théorème i48 que le discriminant relatif du corps c(\/%p', Çj ne contient que les deux idéaux premiers q. r. Or, on a d'après (ij3) ■- rl= i, et d'après le lemme 45
ol il en résulte, comme dans la démonstration du lemme 45? que le produit des deux
/Cl
caractères de tout idéal de c( y •/. f , Çj est égal à i . \ u - = i , p est décomposable
dans c(vxpe, Çj; tout facteur premier de p a les deux caractères
î q S US' I r ) ( r )'
Le premier étant par hypothèse égal à i, il faudrait que — fût égal à 1, con-
( r \ Irai renient à ( 173).
ta) Notre hypothèse - =|= 1 est donc fausse.
Lemme k~- — C| étant un idéal premier de deuxième espèce et p un idéal premier de première espèce, on a toujours
