CHAPITRE XXXIV

Nombre des genres d'un corps kumraerien régulier.

S 162. — Théorème sur le symbole

Théorème i63. — v et p. étant deux entiers quelconques =|=o d'un corps circulaire régulier ci l'i. on a toujours

le produit étant étendu à tous les idéaux premiers u> de c(Ç).

Démonstration. — Soit /* le nombre des classes d'idéaux de c(Ç) el h* un entier positif tel que hh'=\. mod /. Posons v = Vplpt... et [y. = ï*<j1qs..., <i el 6 étant des exposants entiers el p , p., <i , et.,. ••• des idéaux premiers déterminés de

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. Wj-j

c(Z). r. , -„. .... y. , y. étant des nombres primaires des idéaux premiers v,.

v cr , q , ... et tels que l'on ail

mi a. en posant X = i — L',

(i."iO) v*" = £ À""" r, -2 . . . . ;,.*" = y, ),"** y,/.;...,

e et t) riant des unités de c(ç). m> étanl un idéal premier quelconque, on a toujours

'"uT* ~ / ïv '

Soient alors v. q deux idéaux premiers distincts autres que 1 de c(Ç) et -. /. deux nombres primaires correspondants; soient, de plus, ?. y, tics unités quelconques de c(Z). t'n tire facilement du lemme 36 et du théorème » < > i les formules

|U!!, Sflil — , I I ï~ ' / 1 i (i5a)

e, ? s. rc/ t~-*/ *"•*/

iv étant un idéal premier autre que 1, non diviseur de ;;., le discriminant relatif du corps kummerien c(\/;j., Çj est (théorème i48) premier à tv; si tv est aussi premier à v. v est résidu de normes du corps kummerien çvyfjt,, Z) (théorème i5o) et on a,

par suite (théorème 1 5 1 ). !-^-!-(= t. Par suite (vu 1 5a ) le théorème est vrai si l'un

1 / iv *

des deux nombres v. \j. est soit une unité, soit une puissance quelconque de À. soit un nombre primaire d'un idéal premier =|=I; à cause de (i5o) et (i5i) et des règles (So) et (83), le théorème i63 est donc général.

S 1 63. — Théorème fondamental sur les genres d'un coups m mmerien régulier.

Théorème i64- — Soit r le nombre '/es- caractères distinctifs d'un genre du corps kummerien régulier C = c(\/[j., Z); pour qu'un système donné de r racines /""" de l'unité caractérise un genre de C, il faut et il suffit que le produit de ces- r caractères soit égal à i . Le nombre des genres de C est par suite lr~*.

Démonstration. — Soit h le nombre de classes du corps circulaire régulier c(Ç),

h" un entier positif, tel que l'on ait hh" = i. mod /: soient I, fp les /' facteurs

premiers du discriminant relatif de C choisis conformément au paragraphe i/jo. Soit A une classe d'idéaux quelconque de C, 3 un de ses idéaux premier à f = | i — Z)

v-,S D. HILBERT.

<'l au discriminant relatif de C; soit v = (-Nc [3])**" l'entier de c(Ç), formé selon le paragraphe i Vj et pourvu d'un certain fadeur unité de telle sorte que

*»Ht1 «^H'tI'

soienl les r caractères distinctifs du genre de 3. Suit p un idéal de c(Z). dans le cas <iù il en existe un. figurant dans v avec un exposant dhisible par /; p est alors sûrement différent de 1 et premier au discriminant relatif de C. Nc(3) étant la norme relative d'un idéal, p doit être décomposable dans C. On a donc (théorème 149) pour

un tel idéal p : ! — ( = i, et par suite aussi \-^4-i=^i. \u le théorèms i(r3. il en résulte

(i53) II

le produit étant étendu à tous les facteurs idéaux premiers n> distincts de ( du discriminant relatif de C et, en outre, à l'idéal premier 1. Ensuite on a. lr , (, étant

les autres facteurs premiers du discriminant relatif, vu le paragraphe i ig :

Si alors le discriminant relatif du corps C contient l'idéal premier 1, 1 153) montre déjà que le produit des /• caractères est égal à i. Dans le cas contraire, le nombre v est (théorème nio) résidu de normes du corps C, mod 1. et par suite (théorème i5i)

-y^- = i ; on \iiil encore dans ce cas, d'après (i53) et (i54), l'exactitude de l'une

des parties du théorème 164.

Pour abréger, nous ne démontrerons la seconde partie que dans le cas où le discriminant relatif de G ne contient pas f. Soient alors encore l, lt ses facteurs

premiers dans c(Ç) et /, À, des nombres primaires correspondants; soit ct l'exposant de 1, dans ;j. et e* un entier tel que e,c,*= r. mod /. Enfin, soient y, y,.>

y racines /""(le l'unité quelconques donl le produit y, ■■■.y,.= i; d'après le théorème i5a, il existe alors toujours dans c(£) un idéal premier p non diviseur de [j. et remplissant les conditions

pour un exposant m de la série 1 , 2, .... / — 1 . - étant un m un lue primaire de p, on a. vu (i55), d'après le théorème 161,

;h i m ma ", met

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 2y<>

On oblicnl de même, \ u | i56 1,

Comme y, y, ... yP = i, on a, mi i iô-i el i i">s

le produit étant étendu à i"ii^ les idéaux premiers (, !,. Si alors to est un idéal

premier de cÇl) autre que p, 1, t,. le nombre tz (théorème i5o)est reste de normes

du corps kummerien, nu ni uv el par suite i théi irème i 5 i i on a touji mrs ' " ' ' ' ' = i .

On tire de là et de (i5q) et du théorème [63 que l'on a aussi " = i, c'est-à-dire

— ==i. D'après cette dernière égalité, p se décompose dans C en / idéaux premiers

(théorème iVi'. «T> étant l'un d'eux, l'idéal vV" a évidemment, vu i i r> — . el i i58), pour caractères distinctifs les racines /'""■- de l'unité données y y , el le théorème i<i'i esl ainsi complètement démontré dans le cas considéré. Si t figure dans le discriminant relatif du corps C, il faut apporter à la démonstration une modification

facile à déduire par analogie de ce cpii a été dit dans le cas du corps quadratique (Miir S Si).

kumnier a basé ses recherches sur un certain anneau de nombres du corps C = c[y ;a. çj et non sur la totalité des entiers de ce corps. La notion du genre subit alors un changement. Ruminer a eu le grand mérite de découvrir et de démontrer pour cet anneau le théorème qui répond au théorème i64- [Kummer20.] En dehors de l'anneau étudié par Kummer, il y en a encore dans C une infinité dont la théorie pourrait -r développer avec autant de succès.

!» ili'i. — Les classes du genre principal dans l> corps ki mmeiuex régulier.

Nous plaçons dans ce paragraphe et le suivant quelques conséquences importantes du théorème fondamental 1 64 analogues aux théorèmes développés pour le corps quadratique dans les paragraphes 71, 72 et 8a.

Théorème i 63. — Le nombre des genres g d'un corps kummerien régulier est égal au nombre de ses complexes invariants.

Démonstration. — / el 11 axant le même sens qu'au théorème 1.J9. si l'on considère

... I ' - 1 que g=l ' (théorème r64), il résulte du lemme 3!\ ■. r — î-^l/ — « — • . cl

comme, d'après le lemme 33, on doit avoir I + n <C r — 1 , il en résulte

Le nombre a des complexes invariants (déterminé dans la démonstration du lemme '■'<] 1 est, par suite. ï~' ; on a donc a = g.

Théorème 166. - - Tout complexe du genre principal dons un corps kummerien régulier est la 11 — S)'éme puissance symbolique d'un complexe de C, c'est-à-dire <jiie /mile classe du genre principal est le produit de la (1 — S)""" puissance symbolique dune classe et d'une classe contenant des idéaux de c(Ç).

Démonstration. — On a obtenu, dans la démonstration du lemme 34, l'égalité "/' = ///': a est le nombre des complexes invariants,/' celui des complexes égaux à îles (1 — S)'""ts puissances symboliques de complexes, g est le nombre des genres, /'celui des complexes du genre principal. Connue, diaprés le théorème i65, a = g, on a /'=/, ce cpii démontre que tout complexe du genre principal est la ( 1 — syéme puissance symbolique d'un complexe.

§ 1 65. — Sun LES NOMMES RELATIVES DES NOMBRES 1)1 \ CORPS KUMMERIEN RÉGILIEB.

Théorème 167. — v, ;j. étant deux entiers du corps circulaire régulier c(Ç), \>. non

égal à la I"' puissance d'un nombre de c(Z). cl vérifiant, pour tout idéal premier u>

de c(Ç), /'/ condition

/<• nombre -1 esl toujours égal à lu nonne relative d'un entier ou d'une fraction \ 1I11 corps kummerien C = c(vi*, Z).

Démonstration. — Démontrons d'abord ce théorème dans le cas où v est une unité de c(Ç). Donnons encore à l el à n le même sens qu'au théorème 1Ô9 ; dans la démonstration du théorème i(i">. on a montré nue r — 1 =/ + n — — , c'est à-dire que

t + r. Considérons, d'autre part, les ;•* = / — r unités s,, .... tr définies

au paragraphe i'io. \u les égalités (i4o), un produil de puissances de ces r' unités ne peul être la /"' puissance d'une unité de c(Ç) que si tous les exposants sunl divisibles par /. On peut donc, la totalité des unités de c(Ç) formant une famille de

degré .déterminer r* autres unités : a ,. i e,, de c(Q, telles

THÉORIE UKS COUPS DE NOMBRES ALGEBR1Q1 ES. :*8l

que toute unité ; de r(Ç) puisse se représenter par

x, xl t étant des exposants entiers rationnels et = une unité appropriée de i -

En posant alors

les r* égalités

(a = i. J, ...,-;-; > = 1. i, .... re|

(,6o) m=I- ict (^

donnent les /•* congruences linéaires en art, a-, r,,

(161) (mo,l /,.

/ elr as + e,,..», + ... + <?,, x = o . \

A cause de (îAo). nous avons

tfs, = i , tj. = o, . . . , er*, = o ,

e,.= i, ..., epC. =o, }(mod /),

et par suite les r* congruences linéaires (161) sont indépendantes: il en résulte que toutes les unités r remplissant les conditions (160) forment une famille d'unités de

l — i / — i degré r = t +.r.

Nous avons établi, au début de cette démonstration, que le degré n de la famille de toutes les unités de c(Ç), normes relatives d'unités ou de fraction-, de C, a la même valeur. Comme, de plus, toute unité de c(Ç), norme relative d'une unité ou d'une fraction de C, est évidemment résidu de normes de C, mod 1 et doit par suite (théorème 1 5 1 ) vérifier aussi les égalités (i.6o), toute unité de la première famille appartient aussi à la seconde; ces deux familles ayant même degré sont donc identiques. Or, l'unité donnée v satisfait par hypothèse aux conditions | 160) et appartient, par suite, à la seconde famille; v est donc aussi contenue dans la première, c'est-à-dire que v est norme relative d'une unité ou d'une fraction de C.

Soit maintenant-/ un entier quelconque de c(Ç), vérifiant les conditions du théorème 167 ; considérons les facteurs idéaux premiers de v dans ci ' Posons ) = 1 — Ç

282 1). IHLBERT.

et ( = (\). Si l'idéal premier 1 entre dans v, mais avec un exposant b non divisible par /. et qu'il n'entre pas dans le discriminant relatif du corps C, on a. d'après la lin du paragraphe 1 33,

j VJJ. / j 'AjL )(!*') ~* I I,J il.) |ï j '

et, vu L'egalite qu'on en tire, - =1, test (théorème 1^9) decomposable dans C

en / facteurs premiers. Si S est l'un d'eux, on a : Ï=NC(£).

Soit ensuite p un idéal premier de c(Ç) autre que t. et entrant dans v avec un exposant h non divisible par /; au contraire, supposons son exposant a dans \i. divisible par /: on a alors par définition

et il en résulte, vu l'hypothèse du théorème 167, = 1 : donc (théorème 149) p est

aussi dans C le produit de / idéaux premiers. %* étant l'un d'eux, on a p = M,.fl,i.

Enfin, les idéaux premiers de c(Ç) facteurs du discriminant relatif de C sont toujours des puissances /'""-* d'idéaux premiers de C. et sont par suite aussi normes relatives d'idéaux de C. De-tout cela résulte que v doit être norme relative d'un idéaj JpdeC : v = Ne($).

De plus, vu l'hypothèse du théorème 1C17. »Vj appartient au genre principal de C et Huns pouvons par suite poser, d'après le théorème 1 60,

j étant un idéal de c(Q el 5 un idéal de C. Si h est le nombre des classes d'idéaux

de c(Ç), on a j -»- 1, et par suite A= ( — rzr- doit être un nombre entier ou fraction-

naire de C; sa nonne relative N< (A) est évidemment égale à vi". 1 étant une unité de c{'l). De la dernière égalité résulte, d'après le théorème i5i. que l'on a, pour tout

idéal premier i» de ci L'). , — ! = 1, et par suite aussi , — = 1 . Or, on a mon lie.

dans la première partie de la démonstration, que dans ces conditions ; doit être norme relative d'un nombre de C: posons £=NC(H). H étant un nombre de C. h et e étant alors des entiers rationnels tels que l'on ait l>h 4- el= 1, on a

v = Y<A'rr'V).

et la démonstration du théorème 167 est ainsi complète.

Dans cette démonstration nous pouvons, dans les deux cas. restreindre l'application du théorème i5i au cas de i»=|-ï, car d'après le théorème i63 les conclusions subsistent . même p0UTtV = I.

On esi iiiii^i parvenu ;'i étendre aux corps km 11 me rie n ■< réguliers I un tes les propriétés déjà établies et démontrées par (iniiss pour les corps quadratiques.

THEORIE DES COUPS DE NOMBRES AI.CKIiHK 11 l s.