CHAPITRE PREMIER

Le nombre algébrique et le corps algébrique.

S I. — Le corps algébrique et les corps algébriques conjugués.

Un nombre a est dit lin nombre algébrique s'il satisfait à une équation de degré m de la forme

où a^, a, a„, sont des nombres rationnels.

Soient a, p, ..., x des nombres algébriques quelconques en nombre fini, toutes les fonctions rationnelles à coefficients entiers de a, p, ..., x forment un système fermé de nombres algébriques que l'on nomme Corps de nombres, corps au domaine de rationalité [Dedekind *• *, Kronecker"]. Comme en particulier la somme, la différence et le quotient de deux nombres d'un domaine de rationalité est encore un nombre de ce domaine, cette notion de domaine est un invariant relativement aux quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication, division.

Théorème i . — Dans tolit corps k il existe un nombre 6 tel que tous les autres nombres du corps sont des fonctiçns rationnelles entières de 0 à coefficients rationnels.

Le degré m de l'équation de plus bas degré à coefficients rationnels satisfaite par 6 s'appelle le degré du corps k. Le nombre 6 est dit le nombre qui détermine le corps k.

L'équation de degré m est irréductible dans le domaine de rationalité des nombres rationnels.

Réciproquement, chaque racine d'une pareille équation irréductible détermine un corps de degré m.

Si 6', 6*, ..., ô'"*"*' sont les m — i autres racines de l'équation, les corps k', k", ..., Ar'"*"*' déterminés respectivement par 6', 6", ..., 6<'"-*' sont dits les corps conjugués du corps k.

Soit a un nombre quelconque du corps k et soit

où c,, c,, ... , c„ sont des nombres rationnels, les nombres

sont dits les nombres conjugués de a ou encore les nombres issus de a par les substitutions

<'=(o:ô'), ..... «'"-''^(ôiô'"'-*').

Sa. — Le nombre algébrique entier. -

Le nombre a est dit un nombre entier algébrique ou tout simplement un nombre entier s'il satisfait à une équation de la forme

où a^, a,, ..., a„, sont des nombres rationnels et entiers.

Théorème a. — Toute fonction entière F à coefficients entiers d'un nombre quelconque d'entiers a, ^, ... , y, est encore un nombre entier.

Démonstration. — .Désignons par a', a". ..., p', p', ..., %', %', ... les nombres conjugués à a, p. ... , X et formons toutes les expressions de la forme

F (a, (3 YF(a', p, ...,y.), F(a, fi', . . . , y.), F(x, [i, . . . , y/), F(a'fJ', . . . , x), ....

le théorème connu sur les fonctions symétriques nous apprend que l'équation à laquelle satisfont ces expressions n'a que des coefficients entiers et que le coefficient de la plus haute puissance = i .

En particulier, la somme, la différence et le produit de deux nombres entiers est lin nombre entier. Le concept « entier » est un invariant pour lestrois opérations : addition, soustraction, multiplication.

Le nombre entier y est dit divisible par le nombre entier a s'il existe un nombre entier y tel que a^fiy.

Théorème 3. — Les racines d'une équation quelconque de degré ;• de la forme

x''-+ ay-^'-\- ay-- + . . . + a,,= o ~

sont toujours des nombres, entiers, dès que les coefficients a,, a,, .... a^ sont des nombres algébriques entiers.

Théorème 4- — Lorsqu'un nombre entier algébrique est rationnel, il est un nombre entier rationnel.

Démonstration. — Si on avait * = t» a et 6 étant rationnels entiers et premiers

entre eux et 6>> i, et si a satisfait à une équation dont les coefficients a,, ... , a„, sont des enti.ers rationnels, on aurait, en multipliant par 6*""*,

Ç = — a^a"'-' — a^ba"'-'—. . . - a^b"'-' = X où A est un nombre entier rationnel, ce qui est impossible. [Dedekind ', Kronecker'*.]

S 3. — La norme, la différente, le discriminant d'un nombre. La base du corps.

Soit a un nombre quelconque du corps k et soient a', ... , x'™ *' les nombres conjugués à «, le produit

n(a) = aa'..-. a""-*'

est dit la norme du nombre x. La norme d'un nombre a est toujours un nombre rationnel. De plus, le produit

est la différente du nombre x. La différente d'un nombre est encore un nombre du. corps k.

Car si l'on pose

rdfjxn

L dx J^=,

Enfin, le produit

rf(a) = (a — %y (x — x')* (x' — x')' . . . (x"""'' — x'"-*»)'

est dit le discriminant de x.

Le discriminant d'un nombre rationnel est un nombre rationnel et au signe près il est égal à la norme de la différente ; en effet

Si a est un nombre qui détermine le corps, sa différente et son discriminant sont différents de zéro. Réciproquement, si la différente et le discriminant d'un nombre sont différents de zéro, ce nombre détermine le corps.

Si a est entier, sa norme, sa différente et son discriminant sont entiers.

Théorème 5. — Dans tout corps de degré m, il existe m nombres entiers w,, ti),, ... , ù>„ tels que tout autre entier du corps w puisse être représenté par

OÙ a,, a,. ... , a„, sont des entiers rationnels.

Démonstration. — Si a est un nombre entier déterminant le corps, tout nombre w est représentable par

où r , r , ... , r„ sont des nombres rationnels. En passant aux nombres conjuguée

il en résulte pour s = i, 2 m

•"II. a,..., a'-* x'^'l* d(a)'

où A, comme fonction entière de a, a*, ..., a'""**, w, w', ..., w*'""*' est un nombre entier. Comme, d'autre part. A, est égal au nombre entier r,d(i). A,, d'après le théorème 4, est un nombre entier rationnel. Tout nombre entier w peut donc être représenté par

.rfw

où A,, A,, ... , A„ sont des entiers rationnels et où rf(a) est le discriminant de a.

Soit à nouveau s un nombre de la suite i, a, ... , m; supposons qu'on ait- calculé tous les nombres du corps de la forme

or'

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l3

OÙ les 0, O''', O'**, ... sont des nombres entiers rationnels, nous pouvons admettre que 0, =1= o et qu'il est le plus grand commun diviseur des 0,, O],'', Of', ... Alors les m premiers nombres correspondants w,, ..., w„ forment un système satisfaisant à la condition demandée. En effet, soit un nombre iù mis sous la forme (i); d'après ce que nous venons de dire, on devra avoir A„ = a„0^ où a^ est un nombre rationnel, mais alors la différence

a la forme

et l'on aura A^^ = a^^0^^ ; si nous considérons là différence w** = (ù* — a,„^ w„ et si nous poursuivons ce raisonnement, nous en concluerons l'exactitude du théorème (5).

Les nombres w,, ... , u)„ forment ce que nous appellerons une base du système de tous les nombres entiers du corps k, ou tout simplement une base du corps k. Toute autre base du corps est donnée par les formules

vC> ' ^

OÙ le déterminant dès coefficients a = ±: i. [Dedekind ', Kronecker'^]"