CHAPITRE II

Les idéaux du corps.

s 4- — La multiplication des idéaux et leur divisibilité. — L'idéal premier.

Le premier problème important de la théorie des corps algébriques est la recherche des lois de la décomposition (divisibilité) des nombres algébriques. Ces Iqis sont d'une admirable beauté et d'une grande simplicité. Elles présentent une analogie précise avec les lois élémentaires de la divisibilité poiir les nombres entiers rationnels et elles ont la même signification fondamentale. Ces lois ont été découvertes d'abord par Kummer, mais lé mérite de les avoir établies pour le corps algébrique général revient à Dedekind et à Kronecker.

Les principes fondamentaux de cette théorie sont les suivants :

l4 D. HILBERT.

Un système d'un nombre infini d'entiers algébriques a,, a,, ... du corps k, tel que toute combinaison linéaire X,a, + X,a, ... (où X,, X,, ... sont des nombres entiers du corps) appartienne encore au système est dit un idéal a.

Théorème 6. — Dans chaque idéal a il y a m nombres t,, i, i„, tels que tout

autre nombre de l'idéal est une combinaison linéaire

où /,, ... , /„j sont des entiers rationnels.

Démonstration. — Soit s un des nombres i, i, .... m; imaginons qu'on ait calculé tous les nombres de l'idéal de la forme

^ =J. u),-l-...-f J,w,, ?i =''1 to.-|-...-f J. w,.

où J, J***, ... sont des nombres entiers rationnels; admettons que J, =|=o est le plus

grand commun diviseur des nombres J,, J*'* on en déduira comme précédemment

que les m nombres i, i„, satisfont à la condition indiquée.

Les nombres i,, ..., /„, sont dits la hase de l'idéal a. Toute autre base de l'idéal peut être mise sous la forme

où le déterminant de coefficients a = ± i.

Soient a^, . . . , a^, r nombres de l'idéal a tels que des combinaisons linéaires de ces nombres avec l'emploi de coefficients algébriques X donnent tous les nombres de l'idéal, j'écrirai

Si a = (a^, ».^. . . . , «J et b = (p^ p,) sont deux idéaux, je désignerai par («, h)

l'idéal obtenu en réunissant les nombres a^, a.^, . . . , a,; p^, p^, . . . , ^,, et j'écrirai

Un idéal qui contient tous les nombres de la forme Xa et ne contient que ces nombres où X désigne un nombre entier quelconque appartenant au corps et x un nombre entier déterminé du corps est dit un idéal principal; on le désigne par (a), ou plus brièvement par a, dans le cas où il ne peut être confondu avec le nombre a.

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGiÇBRIQUES. 10

Tout nombre a de l'idéal a = (x^, . • • , * J est dit congru à o, suivant l'idéal a

Lorsque la différence de a et p est congrue à o d'après a, on dit que a et p sont congrus suivant a; on écrit

sinon on dit qu'ils sont incongrus; on écrit

Lorsqu'on multiplie chaque nombre d'un idéal a = (a^, . . . , «J par chaque nombre d'un idéal h = (p^, p^. . . . , p,) et que l'on combine linéairement les nombres ainsi obtenus au moyen de coefficients algébriques du corps, le nouvel idéal obtenu se nomme le produit des deux idéaux a et h, c'est-à-dire

ab = (x3 aS ,...,a 8, ...,a8).

Un idéal c est dit divisible par l'idéal a, s'il existe un idéal h tel que c = ah. Si c est divisible par a, tous les nombres de c sont congrus à o suivant l'idéal o. On a relativement aux diviseurs d'un idéal le théorème suivant :

Lemme I. — Un idéal j n'est divisible que par un nombre limité d'idéaux.

Démonstration. — Que l'on forme la norme n d'un nombre quelconque /(=|=o) de l'idéal i et soit a un diviseur de ), il est évident qu'alors le nombre rationnel entier n^o suivant a. Supposons que les m nombres de base de a soient de la forme

OÙ «14 «„,„, sont des nombres entiers rationnels. Soient a[^, ..., a|„„, les plus

petits restes possibles des nombres a^^, .... a,„„, par n , on a :

a = ia,,oy,-\-...+ a,,„ w,„ , . . . , a,„^ ^^ -f . . . + a,„„, u),„) = («'il o>, + . . . -f al,„oi„, , . . . , «;„, w, + . . . + a,„,„w,„ , n)

et cette dernière représentation de l'idéal a montre l'exactitude de notre affirmation.

Un idéal différent de i et qui n'est divisible par aucun autre idéal que par luimcmc ot par l'unité est dit un idéal premier.

Deux idéaux sont dits premiers entre eux, si à part i ils ne sont divisibles en commun par aucun autre idéal.

Deux nombres entiers a et ,8, un nombre entier a et un idéal a sont dits premiers si les idéaux principaux (a) et (,8) ou si l'idéal iirincipal (a) et a sont premiers entre eux. [Dcdekind'.]

S 5. — Un idéal n'est décomposable que d'une seule manière en idéaux premiers.

On a le fait fondamental :

Théorème 7. — Tout idéal j peut être décomposé en un produit d'idéaux premiers et il ne peut l'être que d'une seule manière.

Dedekind a donné récemment une nouvelle exposition de sa démonstration. [Dedekind'.] La démonstration de Kronecker repose sur la théorie (créée par lui) des formes algébriques appartenant à un corps. La signification de cette théorie se comprend mieux, si l'on établit d'abord les théorèmes de la théorie des idéaux ; c'est alors que le lemme suivant rend de grands services.

Lemme 2. — Lorsque les coefficients de deux fonctions entières de la variable x :

sont des nombres algébriques entiers et que les coefficients y^, y,, y»» ••• du produit

F(x)G(x) = y, x'^ + yX"'-' + . . .

sont tous divisibles par le nombre entier w, chacun des nombres a, p^, a,^,, .... *iP»' *«Pt ®^^ divisible par w. [Kronecker'*, Dedekind^, Mertens*, Harwitz'*.] De ce lemme on déduit successivement [Hurwitz'] :

Théorème 8. — A chaque idéal donné a = (a, a, a^), on peut faire correspondre un ideâl b tel que le produit ah soit un idéal principal.

Démonstration. — Posons F = a,u, -|- ... 47 a^u^ et formons le produit des m — i formes avec les coefficients conjugués

R = (a>, + . . . + «>,) . . . (ar-*'«. + . • . + <-'•",) = ?./.+ ..- + P./,

où/j, ...,/, sont certaines puissances différentes ou des produits de puissances des H,, u,, ... , u^ et où p,, p^, ..., p^ sont des nombres entiers du corps R, FR = nU où n est un nombre entier rationnel et U une puissance entière à coefficients entiers, dont les coefficients n'ont pas de diviseur commun. Il en résulte que n^o àuivant le produit des deux idéaux a et 6 = (.8,, p,, ... , |i,). Le lemme 2 nous montre que chaque nombre a^p^ est divisible par n\ en appliquant ce lemme (2) aux deux fonctions obtenues lorsque dans F et R on pose

On a donc

ah = n.

Théorème 9. — Si l'on a pour les trois idéaux abc, ttc = bc, on a aussi

Démonstration. — Soit m un idéal tel que cm soit un idéal principal (a) d'après l'hypothèse

atm = hcm, aa = ab, et par suite

Théorème 10. — Si tous les nombres d'un idéal c sont ^ 9 suivant a, c est divisible par a.

Démonstration. — Si a m est égal à l'idéal principal (a), tous les nombres me sont divisibles par * et par suite il existe un idéal tel que

mc = ab,

et par suite

amc = aab, ac = aab, c = ah.

Théorème ii. — Lorsque le produit de deux idéaux ah est divisible par un idéal premier p, l'un des deux idéaux a ou b est divisible par p.

Démonstration. — Si a n'est pas divisible par p, l'idéal (a, p) est différent de p et de plus contenu dans p, c'est-à-dire = i ; d'après cela , on aurait i = a -|- ir, où a est un nombre de a et % un nombre de ^>; en multipliant par un nombre quelconque p de b, on aurait P = olP + nfi^x^ suivant p par hypothèse, a^ ^ o suivant p, par suite aussi p^o suivant p.

Dès lors on démontre le théorème fondamental 7 de la théorie des idéaux ainsi qu'il suit :

Si î n'est pas un idéal premier, on a j = ab où a est un diviseur de j différent de i et de I. Si l'un des facteurs a ou b n'est pas un idéal premier, nous le représenterons lui-même comme un produit d'idéaux et nous aurons j = tt'b'c' et nous continuerons ainsi. Nous ne pourrons pas continuer indéfiniment, car, d'après le lemme i , un idéal n'admet qu'un nombre fini de diviseurs. Soit r ce nombre, i ne peut être le produit de plus de r facteurs, car si

i était = a, X 0, X ... X a^^

il serait divisible par les r 4- i idéaux différents

l8 D. HILBERT. \

La représentation n'est possible que d'une seule manière, car si l'on avait

i serait divisible par p', et par suite aussi l'un des facteurs du premier produit (théorème 1 1) on aurait p = p', et par suite d'après le théorème 9

on continuerait de la même manière.

Nous déduirons du théorème fondamental :

Théorème 12; — Tout idéal i d'un corps k peut être représenté comme le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers du corps x et p.

Démonstration. — Soit x un nombre divisible par j et p un nombre divisible par

y. p j , mais tels que t et 7- soient premiers entre eux, on a j = (x, p).

V X* v^"^ S 6- — Les formes des corps algébriques et leurs contenus.

^'^r \ La théorie des formes de Kronecker [Kronecker**] exige d'autres formations : ^> Une fonction entière rationnelle F d'un nombre quelconque de variables, dont les Ar «Nj

coefficients sont des nombres algébriques entiers du corps k, est dite une forme du ix .'^ corps k. Si l'on substitue dans la forme F aux coefficients successivement tous leurs nombres conjugués et si l'on fait le produit des formes conjuguées ainsi obtenues ^

F', ..., F"""* et de la forme F, on obtient une forme entière des variables u, v, ..., f dont les coefficients sont des entiers rationnels; prenons-la sous la foraie n\](u, v, ...), où n est un entier rationnel et U une fonction entière rationnelle, dont les coefficients sont des entiers rationnels sans diviseur <;ommun, n s'appelle la norme de là forme F. Lorsque la norme n est égale à i , la forme se nomme une forme unité. Une fonction entière, dont les coefficients sont des entiers rationnels sans diviseur commun , est dite forme unité rationnelle^ Deux formes sont dites équivalentes (ce qui s'exprime par le signe :^) lorsque leur quotient est égal au quotient de deux formes unités (*) ; en particulier, toute forme unité ^^ i. Une forme H est dite divisible par une fornje G \ s'il existe une formels telle que H r^ FG. Une forme P est dite une forme première lorsque P, dans le sens restreint, n'est divisible que par elle-même et par i .

Le rapport de la théorie des formes de Kronecker avec la théorie des idéaux

(ï) Kronecker emploie l'expression « équivalente au sens restreint ».

devient claire par la remarque que de chaque idéal a = (a,, .... a,.) on peut tirer une forme F, et cela en multipliant les nombres a,, ... , %^ par des produits différents de puissances d'indéterminées ii, v, ... et en additionnant ces produits. Réciproquement, chaque forme de coefficients a,, ... ot^ fournit un idéal a = (a,, ..., aj. C'est cet idéal que l'on nomme contenu de la forme F. ^-C^iA^v On a alors :

Théorème i3. — Le contenu du produit de deux formes est égal au produit de leurs contenus.

Démonstration. — Soient F et G des formes d'un nombre quelconque de variables et soient a,, ... , a^ et ,8,, ... , p, leurs coefficients respectifs. Soit H = FG une forme de coefficients y,. •••» fr ^^ plus, soit p" laplus haute puissance de l'idéal premier p

contenu dans a = (a, aj et p'' la plus haute puissance de p contenu dans

b = (,8,, .... pj. Supposons qu'on ait ordonné les termes de F et de G d'après les puissances décroissantes de u, puis les termes contenant les mêmes puissances de (Cà d'après les puissances décroissantes de v, et ainsi de suite. Soit alors au* y' ... le premier terme de F dont le coefficient n'est pas divisible par une puissance de p supérieure à la a*""», et, d'autre part, pu^'u'' ... le premier terme défont le coefficient n'est pas divisible par une puissance de p supérieure à la è*"»*, il est évident que le coefficient y du terme Y«*"'"*'f'"'^''- •• de H ne sera pas divisible par une puissance de p supérieure à la (a + ô)*""*. Tous les autres coefficients de H seront certainement ^ divisibles par p"'^. Il en résulte que

De i3 il résulte facilement que toute forme unité a pour contenu i, et que réciproquement toute forme dont les coefficients ont pour plus grand commun diviseur idéal l'unité est une forme unité. Il en résulte aussi que deux formes équivalentes ont le même contenu et que toutes les formes de même contenu sont équivalentes.

On a d'autres conséquences du théorème i3.

Théorème i4. — A toute forme donnée F on peut adjoindre une forme R telle que le produit FR soit égal à un nombre entier.

Théorème i5. — Lorsque le produit de deux formes est divisible par une forme première, l'une des formes au moins est divisible par P.

Théorème i6. — Toute forme peut être (dans le sens de l'équivalence) décomposée en produit de formes premières et ne peut l'être que d'une manière. Ces théorèmes sont parallèles aux théorèmes 8 et 1 1 et au théorème 7, théorème fondamental de la théorie des idéaux.

vâ^

A part les méthodes suivies par Dedekind et Kronecker, il existe encore deux méthodes plus simples pour démontrer le théorème fondamental 7; la théorie des nombres de Galois est la base de l'une. Voir S 36. [Hilbert**.]

La deuxième méthode est fondée sur ce théorème que les idéaux d'un corps se répartissent en un nombre limité de classes. L'idée principale de la démonstration de ce théorème peut être considérée comme la généralisation de la marche suivie pour déterminer le plus grand commun diviseur de deux nombres, d'après la méthode d'Euclide. [Hurwitz*.]